高校入試数学［短期］マスター講座 第14回

関数関連の問題は、数学の入試問題では、定番中の定番です。


　　　　　　　　　　問題：　図において、曲線①は関数 y = x2 のグラフであり、曲線②は y = ax2 のグラフである。（ただし、a > 0）
　　　　　　　　　　　　　　　　3点 A, B, C はすべて曲線①上にあり、点A の x 座標は 4、点B の x 座標は 3 であり、線分ACはx軸に
　　　　　　　　　　　　　　　　平行である。また、曲線②上に点Dがあり、線分ADはy軸に平行である。このとき、点Eは線分ADとx軸
                                          の交点であり、AE : ED = 4 : 3 である。さらに、 y 軸上に点Fがあり、線分DFはx軸に平行である。


　　　　　　　　　　　　


　　　　　　　　問 1　　a の値を求めなさい。


　　　　　　　　問 2　　直線EF の式を求めなさい。


　　　　　　　　問 3　　x軸上に、△ABCの面積と△ABGの面積が同じくなるような点Gをx軸上にとるとき、
　　　　　　　　　　　　　　　　点Gの座標を求めなさい。ただし、このとき、点Gのx座標は負の値とする。 



　　この問題の解答と解説は次回
　

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高校入試数学［短期］マスター講座 第13回の答えです！

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問 1：　円錐の高さを x として直角三角形CAO について考えます。
　　　　この円錐の母線は 12cm ですから △CAB は二等辺三角形になり、

　　　　　　　　　　　　　　　「円錐の高さ＝△CAB の垂直二等分線」

　　　　の関係が成り立ちます。よって、　△CAO において　
　　　　AO = 4cm,  CO = xcm,  CA = 12cm　となり三平方定理により、
　　　　

　　　　　　　　　

　　　　　　　　　



問 2　　図4のように、母線CBの中点Dを通りABと平行な線分D'Dをとると

　　　　　△CD'D と △CABにおいて
　　　　　中点連結定理より　△CD'D = 1/2△CAB　から　DH = 1/2CO = 4√2cm　――　①
　　　　　D'D = 1/2AB = 4cm　であるから　AH = 6cm　――　②

　　　　　①②より、直角三角形DAH の3辺の関係は三平方定理より

　　　　　　　　　

　　　　　　　　　



問 3　　点AからBCを通り点Aまで1回巻きつけた中で、最も短い長さになるのは、図 5のような
　　　　　円錐の側面の展開図であるおうぎ形において、A～A' 間を直線で結んだ場合になります。

　　　　　　　　

　　　　　直線の長さは、二等辺三角形CAA' の頂角の二等分線CPによってできる2つの直角三角形
　　　　　ACP と A'CP のそれぞれの1辺 AP,  A'P の長さを三平方定理を使って求めることで得られます。

　　　　　まず、おうぎ形の中心角を求めましょう。　

　　　　　


　　　　　よって、　△ACP と △A'CP は内角が 30°,  60°,  90°の直角三角形ですから各辺の長さの比は　　　　　　

　　　　　　　　　　CP：AC（A'C）：AP（A'P）= 1：2：√3　

　　　　　になります。したがって、 AP = A' P = 6√3　　AA' = 12√3　

　　　　　　　　　　∴　ひもの長さ　 12√3 (cm)


この問題は「三平方定理」についての応用問題ですが、特に問3の円錐の底面の1点からひもを巻き付けるときのひもの長さを求める問題

にはほかにもいろいろな類題があるので、問題集などでしっかりチェックしておきましょう。



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高校入試数学［短期］マスター講座 第13回

 

　今年の入試問題から、代表的な図形問題です。


　　　　　　　　　　問題：　図 1は、線分ABを直径とする円Oを底面とし、線分ACを母線とする円錐である。
　　　　　　　　　　　　　　　　線分BCの中点に点Dを定め、AB = 8cm,  AC = 12cm であるとき、次の
　　　　　　　　　　　　　　　　問いに答えなさい。


　　　　　　　　　　　　　　　 


　　　　　　　　問 1　円錐の体積を求めなさい。ただし、円周率は π とする。




　　　　　　　　問 2　線分BCの中点Dと点Aとの間の距離を求めなさい。




　　　　　　　　問 3　図2のように、円錐の表面上に点Aから線分BCを通り点Aまでひもを巻きつける。
　　　　　　　　　　　このうち、長さが最も短くなるように巻きつけたひもの長さを求めなさい。


　　　　　　　　　　　





　　この問題の解答と解説は次回

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高校入試数学［短期］マスター講座 第12回の解答と解説です！

1．の答え　（142－a）°


　　　　　

　　　　　△ABC はAB = AC の二等辺三角形ですから
　　　　　∠ABC = ∠ACB = 71°　であり、
　　　　　∠BAC = 180 - (2 × 71) = 180 - 142 = 38°　――　①
　　　　　∠ABP = a　のとき
　　　　　∠BQC = ∠ABP + ∠BAQ = a + 38　――　②（△ABQの外角）
　　　　　よって、∠PQC = 180 - ∠BQC
　　　　　　　　　　　　　　　　= 180 - (a + 38) = 180 - 38 - a = 142 - a

2．ア　の答え：　〈証　明〉

　　　　　

　　　　　△ABQ と △ACR において

　　　　　仮定より、AB = AC　――　①　（二等辺三角形の2辺）
　　　　　　　　　　　　BP = CR　――　②
　　　　　∠ACR は弧APの円周角ACP と一致するので
　　　　　∠ACR = ∠ABP　――　③　（円周角の定理）

　　　　　①～③より、
　　　　　2辺とその間の角がそれぞれ等しい2つの三角形は合同であるから
　　　　　△ABQ ≡ △ACR　である　　・・・　証明終わり

イ　の答え　28/3 cm

ここでは、アの図4から下の図5へ頭を切りかえられるかが問題を解くカギとなります。

　　　　　

　　　　　①　AB = BP　から　AB = AC = BP = CR

　　　　　②　∠APB = ∠ACB　（弧ABの円周角）
　　　　　　　　　これにより　△ABP ≡ △ABC　となる
　　　　　　　　　∴　△ABP ≡ △ACR ≡ △ABC

　　　　　③　合同な2つの三角形ABC と ACR が重なり合う四角形ABCRは
　　　　　　　　　2組の向かい合う辺が等しい平行四辺形になります

　　　　　④　△ACR と △APR は、2角が等しい相似な関係にあり
　　　　　　　　CR : AR = AR : PR = 12 : 8 = 3 : 2
　　　　　　　　よって、　AR : PR = 3 : 2 　より
　　　　　　　　　　　　　　8 : PR = 3 : 2     3PR = 8     PR = 8/3
　　　　　　　　CR = CP + PR　
　　　　　　CP = CR – PR
　　　　　　　　= 12 – 8/3 =28/3


この問題は、2学年の「平行と合同」「平行四辺形の性質」、3学年の「相似」と「円周角の定理」の各項目を

合わせた融合問題になります。1つでも分からない項目があると、問題は解けませんから、

分からないときはもう1度これらの項目へ戻って要点を整理してください。


　　　　　☆　受験［数学］講座：平行と合同を見る　〉〉

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高校入試数学［短期］マスター講座 第12回

今回の問題は、2015年今年の入試問題のうちの図形問題です。解き方をしっかり覚えましょう。

　　　　　　　　　　1．図1において、△ABC は AB = AC,  ∠BAC が鋭角の二等辺三角形である。点Oは、△ABCの頂点A, B, C を
　　　　　　　　　　　通る円の中心であり、点Pは、頂点Bを含まない弧AC上にある点で、頂点A, C のどちらとも一致しない。また、頂点Bと
　　　　　　　　　　　点Pを結び、辺AC との交点をQとする。∠ABC = 71°、∠ABP = a° とするとき、∠PQC の大きさを a を用いた
　　　　　　　　　　　式で表しなさい。


　　　　　　　　　　　



　　　　　　2．図2は、図1において、頂点Aと点P、頂点Cと点Pをそれぞれ結び、線分CP をPの方向にのばした直線上にあり　　
　　　　　　　　　　BP = CR となるような点Rをとり、頂点Aと点Rを結んだ場合を表すものである。

　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　ア　△ABP ≡ △ACR であることを証明しなさい。


　　　　　　　　　　イ　AB = BP = 12cm、BC = 8cm であるとき、線分CPの長さを答えなさい。 



　　この問題の解答と解説は次回

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