超自然数は超現順序数とはかくも異なる(Ⅱ)

超現順序数列｛ω・ω＋１・ω＋２・・・｝は対角線論法によるアンチテーゼとして、あるいは試みとして当然出てくる思いを具現化しただけの姿をしているように私には見える。

だから内部集合論による超準解析学が、標準解析における十分に大きな数Ｎの代わりに証明手段として持ち込むのは無限大ではなく無量大数で、それは「標準的な自然数のすべてよりも大きな非標準的な数」「その大きさは無限ではなくて有限である」と定義かつ規定されている。内部集合論はロビンソンの超準解析と比べて後発で、やや常識的な論証だが徹底して形式主義でなければならぬという掟があり、認識して解いていくような昔ながらの素朴な数学の姿をしていない。標準解析において十分にい大きな数Ｎといえば、内部集合論では標準的な自然数よりも大きな無量大数という非標準的な数と位置付ける。

なにやら超現順序数ωと似たような印象を受けるのは私だけだろうか？

このωを無限量を顕わしているように考えたら矛盾してくるということは前回に述べさせていただいた・・。

アインシュタインは光速度定数ｃを宇宙において無限大のような役割を果たすとその初稿においてすら述べていたが、そのｃは有限量であるにも拘らず速度合成公式としてｃ＋ｖ＝ｃと書かれる。超現順序数はペアノ公理に沿って一つづつ増えていくように描かれるから、無限大をほのめかしている記号であるにも拘らず、ω＋ｎ≠ωかつω＋ｎ＞ωになってしまってイカサナイわけだ！

さて無量大数はそこに任意の標準的な自然数を加えても変化しなかっただろうか、その肝心な所を忘却してしまったが、変化しないと考えて先を急ぐことにするｗ）

そういう意味でははっきり有限だと明記してある無量大数のほうが、超現順序数ωなどよりも概念としてまだしも無限大に近いモノがある。真の無限大とはかくも得がたい物なのであるが、それをたやすく得る方法を前回において教示しておいたように思う。それが実数の桁数としてのωだったということだ。カントールの表記（１＝0.999…）を用いることによってすべての実数は無限少数で書き表され、その桁数は自然数桁ではなくはっきりすっきり「無限桁と言うことができる」だろう。自然数論ではすべての自然数にωを付け加えた集合が自然数濃度であるように考えているらしいが、それは明らかに認識として甘過ぎた話であり、何のためにカントールが一つの反例によって一線を画して証明としたかに関して無言である。

この実数の桁数としてのωを最初の超自然数と定義したいのだ！

そうすると超自然数列｛ω・２ω・３ω・・・ｎω・・・ｎ²ω・・・ｎ^ｎω・・・｝が出現してすべての謎を解き明かすカギとなる！

ωは対角線論法によって最初の非可附番数であり、ゆえに無限の大きさを持ち、そして非可算である。実数の桁数は自然数で数え終わることはできないことにできたわけだ。もちろん自然数集合にωを付け加えた集合を考えれば対等である、だがそれを（私としては）可算濃度だといいたくない、いや、むしろ自然数を無限集合だといいたくはない。そうだ、きのう決めた決めごとによるならば自然数は延長可能だけど有限集合の類にするのだった。

すべての要素が有限なのに無限集合だなんて矛盾じゃないか、無限集合が可算だなんて矛盾じゃないか、数え切れないから無限というのではなかったか？

そしてここからでも実数の桁数としての無限と実数集合の濃度としての無限というのは一線を画していることが証明できるｗ）

超自然数列｛ω・２ω・３ω・・・ｎω・・・ｎ²ω・・・ｎ^ｎω・・・｝にはωの冪（２^ω）が出てこない、それは出てこないばかりではなくて超自然数列のすべての要素よりも真に大であることは明らかだ。それが超現順序数だと不明確に終わる、いや不明確に終わるというよりも証明できないだけで比較によって否定される、なんとならば超現順序数ω^ωは可算濃度という他ないそうだが、それは比較によって実数集合の濃度よりも真に大きいことになる、なんとならばω^ω＞２^ωだから。これが使えないのは２^ωがペアノ公理に妨げられて超現順序数列には出てこないからだが、それが数学証明の不完全性と軌を一にしているように感じられて困ってしまう。私は数名にその旨を数学の現実として提示してみたのだがまるっきり無視された。それが超自然数列を用いたら証明不用なぐらいに完璧に示されてしまう、そうなるとωが非可算数だから何といったらいいのかは分からないが、とにかく無限のランクとして異なるということが明確化してくる。




（この結論はくりこみ理論と無関係ではあるまい）