外登法第10条の2（登録の訂正）

第10条の2
第8条第1項及び第2項、第9条第1項及び第2項、第9条の2第1項、第9条の3第1項並びに前条第1項に規定する場合を除くほか、市町村の長は、登録原票の記載が事実に合つていないことを知つたときは、その記載を訂正しなければならない。

登録原票の内容と事実が異なることを知った市町村長は、登録原票の内容を訂正しなければなりません。これは義務です。
「第8条第1項及び第2項、第9条第1項及び第2項、第9条の2第1項、第9条の3第1項並びに前条第1項に規定する場合」というのは、住所変更、在留資格変更等、本人である外国人が変更申請する事項です。
つまり、外国人自身が変更申請しなければならない事項を除いて、事実と違う登録がある場合は、市町村長が登録の変更を行う、ということです。

２ 　市町村の長は、前項の規定による訂正を行つたときは、第6条の2第2項の規定により登録証明書の引替交付の申請をすべきことを命ずる場合を除き、当該外国人に対し、その所持する登録証明書を提出すべきことを命ずることができる。

３ 　前項の規定による登録証明書の提出を受けた市町村の長は、当該登録証明書に訂正に係る記載を行い、これを当該外国人に返還しなければならない。

登録原票の内容と事実が食い違い、それを訂正した市町村長は、その外国人に登録証明書を提出させ、変更の記載をし、これを返還しなければなりません。