算額（その641）

算額（その641）

長野県飯田市 元善光寺 推定天保15年(1844)
中村信弥「改訂増補 長野県の算額」
http://www.wasan.jp/zoho/zoho.html

大小 2 個の正方形が接しており，正方形の頂点を結ぶ線分で分割された領域に，甲円，乙円，丙円を入れる。大小の正方形の面積の我が 113 平方寸，線分の長さが 17 寸のとき，2 個の正方形の一辺の長さ，甲円，乙円，丙円の直径を求めよ。

正方形の一辺の長さを a, b とする。
甲円の半径と中心座標を r1, (r1, r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (a - r2, a - r2)
丙円の半径と中心座標を r3, (a + b - r3, b - r3)
とおき，以下の連立方程式を解く。なお，x は頂点を結ぶ線分と小さい方の正方形の上辺の延長線の交わる点の座標 (x, b) である。

include("julia-source.txt");
# julia-source.txt ソース　https://blog.goo.ne.jp/r-de-r/e/ad3a427b84bb416c4f5b73089ae813cf

using SymPy
@syms A::positive, B::positive, a::positive, b::positive, x::positive, r1::positive, r2::positive, r3::positive

(A, B) = (113, 17)
eq1 = a + (a + b) - sqrt(a^2 + (a + b)^2) - 2r1
eq2 = a + (a - a*b/(a + b)) - sqrt(a^2 + (a - a*b/(a + b))^2) - 2r2
eq3 = (a + b - x) + b - sqrt((a + b - x)^2 + b^2) - 2r3
eq4 = a^2 + b^2 - A
eq5 = a^2 + (a + b)^2 - B^2
eq6 = b/(a + b - x) - (b - a*b/(a + b))/(a - x)
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6], (a, b, r1, r2, r3, x))

   2-element Vector{NTuple{6, Sym}}:
    (8, 7, 3, 8/5, 21/8, 15/8)
    (22*sqrt(5)/5, 9*sqrt(5)/5, -17/2 + 53*sqrt(5)/10, -187/31 + 583*sqrt(5)/155, -153/44 + 477*sqrt(5)/220, 403*sqrt(5)/110)

算額の問題を解くとき，解が複数個あるのは稀であるが，この問題においては，解は 2 組ある。
正方形の一辺の長さは (8, 7) （上図）

a = 8;  b = 7;  r1 = 3;  r2 = 1.6;  r3 = 2.625;  x = 1.875

と (22/√5, 9/√5) （下図）である。

a = 9.8387;  b = 4.02492;  r1 = 3.35116;  r2 = 2.37824;  r3 = 1.37093;  x = 8.19214

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (a, b, r1, r2, r3, x) = res[n]
   @printf("a = %g;  b = %g;  r1 = %g;  r2 = %g;  r3 = %g;  x = %g\n", a, b, r1, r2, r3, x)
   plot()
   rect(0, 0, a, a, :red)
   rect(a, 0, a + b, b, :blue)
   segment(0, a, a + b , 0, :green)
   circle(r1, r1, r1, :brown)
   circle(a - r2, a - r2, r2, :magenta)
   circle(a + b - r3, b - r3, r3, :black)
   segment(x, b, a, b, :gray70)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       vline!([0], color=:black, lw=0.5)
       hline!([0], color=:black, lw=0.5)
       point(r1, r1, "甲円:r1,(r1,r1)", :brown, :center, delta=-delta/2)
       point(a - r2, a - r2, "乙円:r2\n(a-r2,a-r2)", :magenta, :center, delta=-delta/2)
       point(a + b - r3, b - r3, "丙円:r3\n(a+b-r3,b-r3)", :black, :center, delta=-delta/2)
       point(a, 0, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(a + b, 0, "a+b ", :blue, :right, :bottom, delta=delta/2)
       point(x, b, "(x,b)", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;

draw(1, true)
savefig("/Users/aoki/Downloads/fig1.png");

   a = 8;  b = 7;  r1 = 3;  r2 = 1.6;  r3 = 2.625;  x = 1.875


draw(2, true)
savefig("/Users/aoki/Downloads/fig2.png");

   a = 9.8387;  b = 4.02492;  r1 = 3.35116;  r2 = 2.37824;  r3 = 1.37093;  x = 8.19214