算額（その1077）

算額（その1077）

百 大船渡市猪川町 雨宝堂 現雨宝山竜宝院 文政10年(1827)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：円8個，累円，直線上

直線上に甲円を中心として，左右に乙円，丙円，丁円 が互いに外接している。その上にそれら全ての円に外接する天円が載っている。乙円，丁円の直径がそれぞれ 4 寸，16 寸のとき，天円の直径はいかほどか。

天円の半径と中心座標を R, (0, 2r1 + R)
甲円の半径と中心座標を r1, (0, r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (x2, r2)
丙円の半径と中心座標を r3, (x3, r3)
丁円の半径と中心座標を r4, (x4, r4)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt")

using SymPy

@syms R::positive, r1::positive, x1, r2::positive, x2::positive,
     r3::positive, x3::positive, r4::positive, x4::positive
(r2, r4) = (4, 16) .// 2
x1 = 0
eq1 = x2^2 + (2r1 + R - r2)^2 - (R + r2)^2 |> expand
eq2 = x3^2 + (2r1 + R - r3)^2 - (R + r3)^2 |> expand
eq3 = x4^2 + (2r1 + R - r4)^2 - (R + r4)^2 |> expand
eq4 = (x2 - x1)^2 + (r2 - r1)^2 - (r2 + r1)^2 |> expand
eq5 = (x3 - x2)^2 + (r3 - r2)^2 - (r3 + r2)^2 |> expand
eq6 = (x4 - x3)^2 + (r4 - r3)^2 - (r4 + r3)^2 |> expand
eq4 = x2^2 - 4r1*r2
eq5 = (x3 - x2)^2 - 4r2*r3
eq6 = (x4 - x3)^2 - 4r3*r4
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6], (R, r1, x2, r3, x3, x4))[1]

   (49/4, 7/4, sqrt(14), 28/9, 7*sqrt(14)/3, 5*sqrt(14))

乙円，丁円の直径がそれぞれ 4 寸，16 寸のとき，天円の直径は 49/2 = 24.5 寸である。

「答」では，32 寸としているが，それでは図が描けない。

条件として与えられたのが「乙円径 4 寸，丁円径 16 寸」，答えは「天円径 32 寸」
これを図にしようと，まず直径 32 の天円を描き，それに接するように直径 4 の甲円を描くが，その左に天円に外接する甲円が描けるように天円と乙円の中心座標を調整する。

次に，直径 16 の丁円を天円に外接するように描く。これはたいした苦も無く描ける。次いで，その左に天円と外接するように丙円を描く。これも容易に描ける。
が，しかし。乙円と丙円は外接しない。
要するに，「問」と「答」を満たすような解はないということだ。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r2, r4) = [4, 16] ./ 2
   (R, r1, x2, r3, x3, x4) = (49/4, 7/4, sqrt(14), 28/9, 7*sqrt(14)/3, 5*sqrt(14))
   @printf("乙円，丁円の直径が　%g, %g のとき，天円の直径は %g である。\n", 2r2, 2r4, 2R)
   @printf("(r1 => %.15g, r2 => %.15g, r3 = %.15g, r4 = %.15g)\n", r1, r2, r3, r4)
   plot()
   circle(0, 2r1 + R, R, :blue)
   circle(0, r1, r1)
   circle2(x2, r2, r2, :green)
   circle2(x3, r3, r3, :magenta)
   circle2(x4, r4, r4, :orange)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, 2r1 + R, "天円:R,(0,2r1+R)", :blue, :center, delta=-delta)
       point(x4, r4, " 丁円:r4,(x4,r4)", :orange, :center, delta=-delta)
       point(x3, r3, " 丙円:r3,(x3,r3)", :magenta, :center, delta=-delta, deltax=10delta)
       point(x2, r2, "乙円:r2,(x2,r2)", :green, :center, delta=10delta)
       point(0, r1, "甲円:r1,(0,r1) ", :black, :right, :vcenter)
   end
end;

インチキな図を書くプログラム

function draw2(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r2, r4) = [4, 16] ./ 2
   (R, r1, x2, r3, x3, x4) = (16, 1.78, 3.73, 3.4, 10.6,20.96)    
   @printf("乙円，丁円の直径が　%g, %g のとき，天円の直径は %g である。\n", 2r2, 2r4, 2R)
   @printf("(r1 => %.15g, r2 => %.15g, r3 = %.15g, r4 = %.15g)\n", r1, r2, r3, r4)
   plot()
   circle(0, 2r1 + R, R, :blue)
   circle(0, r1, r1)
   circle2(x2, r2, r2, :green)
   circle2(x3, r3, r3, :magenta)
   circle2(x4, r4, r4, :orange)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, 2r1+R, " 天円径=32", :blue, :center, delta=-delta, mark=false)
       point(x4, r4, " 丁円径=16", :orange, :center, delta=-delta, mark=false)
       point(x3, r3, " 丙円", :magenta, :center, :vcenter, mark=false)
       point(x2, r2, "乙円径=4", :green, :center, delta=10delta, mark=false)
       point(0, r1, "甲円", :red, :center, :vcenter, mark=false)
   end
end;