算額（その1352）

算額（その1352）

九 群馬県群馬郡群馬町引間 妙見寺 寛政9年(1797)
キーワード：正方形，4等分割
#Julia, #SymPy, #算額, #和算

正方形の田んぼがある（45°回転）。図のように 3 本の割線で区切って，面積を 4 等分する。甲の長さはいかほどか。

正方形の一辺の長さを x
a, b, c を図のように定め，連立方程式を解く。
甲の長さは c - a + b である。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positive, b::positive, x::positive
c = x/√Sym(2)
eq1 = (c - b)^2 - x^2/4
eq2 = ((c - a) + (c - b - a)) * b/2 + (c - a)^2/2 - x^2/4
res = solve([eq1, eq2], (a, b))[1]  # 1 of 4

   (-x/2 + sqrt(2)*x - sqrt(-x^2 + (-x + 2*sqrt(2)*x)^2)/2, -x/2 + sqrt(2)*x/2)

a = -x/2 + sqrt(2)*x - sqrt(-x^2 + (-x + 2*sqrt(2)*x)^2)/2
b = -x/2 + sqrt(2)*x/2

甲の長さは正方形の一辺の長さの (x/sqrt(Sym(2)) - a + b) 倍である。
a, b を代入して，sqrt(2 - √2) 倍である。

甲 = (x/sqrt(Sym(2)) - a + b) 
甲 = 甲(a => res[1], b => res[2]) |> simplify
甲 |> println

   x*sqrt(2 - sqrt(2))

甲の長さは，正方形の一辺の長さの sqrt(2 - √2) 倍である。

正方形の一辺の長さが 10 寸のとき，甲は 10*sqrt(2 - √2) = 7.653668647301794 である。

x = 10
x*sqrt(2 - √2)

   7.653668647301794

function draw(x, more)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   c = x/√2
   (a, b) = (-x/2 + sqrt(2)*x - sqrt(-x^2 + (-x + 2*sqrt(2)*x)^2)/2, -x/2 + sqrt(2)*x/2)
   甲 = sqrt(2 - √2)*x
   @printf("正方形の一辺の長さが %g のとき，甲は %g\n", x, b + c - a)
   println((a, b))
   @printf("x = %g;  a = %g;  b = %g;  c = %g\n", x, a, b, c)
   plot([c, 0, -c, 0, c], [0, c, 0, -c, 0], color=:blue, lw=1)
   segment(c - b, -b, b - c, -b, :red)
   segment(a, -b, a, c - a, :red, lw=1)
   segment(-a, -b, -a, c - a, :red)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(c - b, -b, " (c-b,-b)")
       point(a, -b, "(a,-b)")
       point(a, c - a, " (a,c-a)", :green, :left, :vcenter)
       point(c, 0, " c", :green, :left, :vcenter)
       point(0, c, "c", :green, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, 0, " 0", :green, :left, :vcenter)
       point(a, (c - a - b)/2, " 甲", :green, :left, :vcenter, mark=false)
   end  
end;

draw(10, true)

 

算額（その1351）

算額（その1351）

九 群馬県群馬郡群馬町引間 妙見寺 寛政9年(1797)
キーワード：直角三角形2個
#Julia, #SymPy, #算額, #和算

2 つの直角三角形が共通の底辺を持つ。長股（高さの長い方）が 30 寸，短股（高さの短い方）が 20 寸のとき，矢（2 つの斜辺の交点から底辺へおろした垂線の長さ）はいかほどか。

注：底辺の長さにかかわらず矢は一定の長さである。

短股，長股，矢をそのまま変数名とする
斜辺の交点座標を (a, 矢) として，以下の方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positive, 矢::positive,
     短股::positive, 長股::positive
eq = 矢/短股 - (長股 - 矢)/長股

res = solve(eq, 矢)[1]
res |> println

   短股*長股/(短股 + 長股)

矢は，短股*長股/(短股 + 長股) である。
長股，短股が 30 寸，20 寸のとき，矢は 12 寸である。

function draw(長股, 短股, a, more)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   矢 =  短股*長股/(短股 + 長股)
   b = a*長股/短股
   @printf("短股 = %g;  長股 = %g;  矢 = %g;  a = %g;  b = %g;  a + b = %g\n", 短股, 長股, 矢, a, b, a + b)
   plot([0, a + b, 0, 0, a + b, a + b, 0], [0, 0, 短股, 0, 長股, 0, 0], color=:blue, lw=1)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(a, 矢, "(a,矢)", :red, :center, delta=-3delta)
       point(0, 短股, "短股", :blue, :left, :bottom, deltax=2delta)
       point(a*(長股 + 短股)/短股, 長股, "(a*(長股+短股)/短股,長股)", :blue, :right, :vcenter, deltax=-4delta)
       # xlims!(-12delta, a + b + 10delta)
   end  
end;

draw(30, 20, 18, true)