算額（その1186）

算額（その1186）

(10) 京都市中京区三条大宮西二筋目下ル 武信稲荷神社 嘉永6年(1853)
近畿数学史学会：近畿の算額「数学の絵馬を訪ねて」，平成4年5月16日 初版第一刷，大阪教育図書株式会社，大阪市.
キーワード：円4個，半円1個

半円と中円が交わってできる領域に等円 3 個を容れる。中円の直径が 1 寸のとき，等円の直径はいかほどか。

半円の半径と中心座標を R, (0, 0)
中円の半径と中心座標を r1, (0, r1)
等円の半径と中心座標を r2, (0, R + r2), (x2, r2)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, r2::positive, x2::positiv
eq1 = R + 2r2 - 2r1
eq2 = x2^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
eq3 = x2^2 + r2^2 - (R - r2)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r2, x2, R))[2]  # 2 of 2

   (r1*(2 - sqrt(2))/2, r1*sqrt(4 - 2*sqrt(2)), sqrt(2)*r1)

等円の直径は中円の半径の (2 - √2)/2 倍である。
中円の直径が 1 寸のとき，等円の直径は (2 - √2)/2 = 0.2928932188134524 である。

その他のパラメータは以下の通りである。

  r1 = 0.5;  r2 = 0.146447;  x2 = 0.541196;  R = 0.707107

function draw(r1, more)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r2, x2, R) = (r1*(2 - sqrt(2))/2, r1*sqrt(4 - 2*sqrt(2)), sqrt(2)*r1)
   @printf("中円の直径が %g のとき，等円の直径は %g である。\n", 2r1, 2r2)
   @printf("r1 = %g;  r2 = %g;  x2 = %g;  R = %g\n", r1, r2, x2, R)
   plot()
   circle(0, 0, R, beginangle=0, endangle=180)
   circle(0, r1, r1, :green)
   circle2(x2, r2, r2, :blue)
   circle(0, R + r2, r2, :blue)
   segment(-R, 0, R, 0, :red)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(R, 0, " R", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(x2, r2, "等円:r2\n(x2,r2)", :blue, :center, delta=-delta)
       point(0, R + r2, "等円:r2\n(0,R+r2)", :blue, :center, delta=-delta)
       point(0, r1, "中円:r1,(0,r1)", :green, :center, delta=-delta)
   end
end;

draw(1/2, true)