算額（その1196）

算額（その1196）

(17) 京都府京都市東山区清水 清水寺 明治25年(1892)
近畿数学史学会：近畿の算額「数学の絵馬を訪ねて」，平成4年5月16日 初版第一刷，大阪教育図書株式会社，大阪市.
キーワード：円4個，長方形，斜線

長方形の中に 1 本の斜線を引き，甲円 1 個，乙円 1 個，等円 2 個を容れる。甲円の直径が与えられたとき，等円の直径を求めよ。

長方形の長辺，短辺の長さを a, b
斜線と長方形の短辺の交点座標を (0, c)
甲円の半径と中心座標を r1, (a - r1, r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (x2, r2)
丙円の半径と中心座標を r3, (r3, r3)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positiveb, b::positive, c::positive,
     r1::positive, r2::positive, x2::positive,
     r3::positive
eq1 = dist2(0, c, a, b, r3, b - r3, r3) |> factor |> (x -> x/(a*(b - c)))
eq2 = dist2(0, c, a, b, r3, r3, r3)/a
eq3 = dist2(0, c, a, b, x2, r2, r2)
eq4 = dist2(0, c, a, b, a - r1, r1, r1)/a
eq5 = (a - r1 - x2)^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2 |> expand
eq6 = (x2 - r3)^2 + (r2 - r3)^2 - (r2 + r3)^2 |> expand;

using NLsolve

function nls(func, params...; ini = [0.0])
   if typeof(ini) <: Number
       r = nlsolve((vout, vin) -> vout[1] = func(vin[1], params..., [ini]), ftol=big"1e-40")
       v = r.zero[1]
   else
       r = nlsolve((vout, vin)->vout .= func(vin, params...), ini, ftol=big"1e-40")
       v = r.zero
   end
   return Float64.(v), r.f_converged
end;

function H(u)
   (a, b, c, r2, x2, r3) = u
   return [
       a*b - a*c - 2*a*r3 - 2*b*r3 + 2*c*r3 + 2*r3^2,  # eq1
       a*c^2 - 2*a*c*r3 + 2*b*c*r3 - 2*b*r3^2 - 2*c^2*r3 + 2*c*r3^2,  # eq2
       a^2*c^2 - 2*a^2*c*r2 + 2*a*b*c*x2 - 2*a*b*r2*x2 - 2*a*c^2*x2 + 2*a*c*r2*x2 - b^2*r2^2 + b^2*x2^2 + 2*b*c*r2^2 - 2*b*c*x2^2 - c^2*r2^2 + c^2*x2^2,  # eq3
       a*b^2 - 2*a*b*r1 - 2*b^2*r1 + 2*b*c*r1 + 2*b*r1^2 - 2*c*r1^2,  # eq4
       a^2 - 2*a*r1 - 2*a*x2 + r1^2 - 4*r1*r2 + 2*r1*x2 + x2^2,  # eq5
       -4*r2*r3 + r3^2 - 2*r3*x2 + x2^2,  # eq6
   ]
end;

r1 = 1/2
iniv = BigFloat[2.3, 1.2, 0.5, 0.38, 0.94, 0.29]
res = nls(H, ini=iniv)

   ([2.3106100960653437, 1.1638906971405691, 0.5, 0.37762626873430205, 0.9415574293824758, 0.28520319767638264], true)

甲円の直径が x 寸のとき，等円の直径は 0.37762626873430205x 寸である。

function draw(r1, more)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (a, b, c, r2, x2, r3) = res[1]
   @printf("r1 = %g;  a = %g;  b = %g;  c = %g;  r2 = %g;  x2 = %g;  r3 = %g\n", r1, a, b, c, r2, x2, r3)
   plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, b, b, 0], color=:green, lw=0.5)
   circle(a - r1, r1, r1)
   circle(x2, r2, r2, :blue)
   circle(r3, r3, r3, :magenta)
   circle(r3, b - r3, r3, :magenta)
   segment(0, c, a, b, :orange)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(a - r1, r1, "甲円:r1,(a-r1,r1)", :red, :center, delta=-delta)
       point(x2, r2, "乙円:r2,(x2,r2)", :blue, :center, delta=-delta)
       point(r3, r3, "等円:r3\n(r3,r3)", :magenta, :center, delta=-delta)
       point(r3, b - r3, "等円:r3\n(r3,b-r3)", :magenta, :center, delta=-delta)
       point(0, c, "c ", :orange, :right, :vcenter)
       point(a, b, "(a,b)", :green, :right, :bottom,delta=delta)
       xlims!(-8delta, a + 5delta)
   end
end;

draw(1/2, true)