2012年東北大入試理系数学第5問その1

どもども。


今回は今年の東北大入試理系数学の第５問をやっていきます～
問題はこちら





まぁ早い話が上の図において，(1)ｙをｘの式で表せ　(2)ｙが最大のときのｘは？
という問題です

図形的な問題なので様々な解法があるでしょう。
後半は微分です
今年の東大入試第１問に似た雰囲気があります
ｙをｘの式で表すよう指示しておきながら，ｘの関数と思って微分するより
角度を変数として微分するほうが簡単といういやらしさがあります～

それではやっていきましょう～

△PBQで正弦定理を使うパターン

まずは一番手っ取り早そうな解法からいきます～
△PBQは２辺の長さがｘ，yになってるので，なんか正弦定理とか使うとうまくいきそうですね
円の中心をO，∠PBQ＝θ（0＜θ＜π/2）とおいておきます。
ABは円の直径なので∠APBは直角です。△APBに着目するとｘ＝cosθであることが分かります
0＜θ＜π/2 なので sinθ＞０ ですから，sinθ＝√(1-x^2)です。
これでｘとθを結ぶ関係が得られましたね





答えの式がなかなか複雑です
どこまで計算して“答え”とするかは悩みどころですが，
(2)を見れば分かるようにｙが最大のときのｘを求めるのがこの問題の趣旨のようなので
(1)に関しては答えの形に関してはあまり気にしなくてもよさそうです
ただ，ｙをどのような形で表示するかによって(2)の計算の面倒さなどには影響は与えそうです。


△PBQで余弦定理を使うパターン

正弦定理を使う解法があるなら余弦定理を使う解法だってあるだろう～
ってことで今度は余弦定理を使ってみます
ただし，どの三角形のどの部分に余弦定理を使うかによって計算量は大きく変わります。
ここでは△ＰＢＱで2通りの式を使って解いてみたいと思います



先ほどとは違う形のｙの表示が出てきましたが，
最初の解法で求めたｙの式の分母を有理化をしたらこの形が出てきます。
しかしまぁ，最初にこの有理化を施した式を求めてしまった場合，
正解なのかどうか不安で堪らないでしょうね
しかもこれを微分して増減を調べなきゃいけないわけですから
(1)でうっかり計算を間違えてると取り返しのつかないことになりそうです


平行線と線分の比の関係を用いるパターン

次は三角比など用いずに中学数学程度の図形の知識で解いてみましょう～



図のように垂線ＱＨを引くと，∠ＱＰＨ＝π/6であるおかげでＱＨやＰＨなどの長さが
すぐに分かります。更にＱＨ//ＰＢなのでＡＨ：ＡＰ＝ＱＨ：ＰＢの関係式を用いて立式できます




∠Ｐを円周角とする弧を引くパターン



問題文中で円周のことをＣと定義していたので上の図で頂点をＣとおくのは
ホントはまずかったですね

Ｐがどの位置にあっても上図の点Ｃの位置はいつも一緒です。
まずはｚ，ＰＣの値を求めて，ｙ＝ＰＣ－ｚを計算すればＯＫです





△ＯＰＢが二等辺三角形であることを利用するパターン

ＯＢ＝ＯＰ＝1/2（円の半径）ですので，△ＯＰＢはＯＢ＝ＯＰの二等辺三角形です
Ｐが円周上にあるという条件を，この二等辺三角形の条件に置き換えて問題を解くことができます～
さて，∠Ｂがπ/4より大きいか小さいか等しいかで図がちょっと変わりますので注意しましょう。
特に等しい場合なんかはうっかり忘れやすいので注意です
自分はうっかり忘れてしまいました



（ウ）ＯＢ＝ＱＢのとき
△ＯＢＰは正三角形で，ｙ＝ＰＱ＝ＯＰ＝1/2，ｘ＝１/２なので
上式はこのときも正しい

ていうのをしっかり添えてやってください


座標を用いるパターン

最後に円の中心を原点として座標を入れてＸＹ平面上で考えてみます



まずはＰの座標を求めます。直線ＢＰと円の交点の1つが(1/2,0)であることを使うと
多少因数分解が楽になります
Ｐの座標を求めたら直線ＰＱの式を求めます。傾きはtan∠ＰＱＢで与えられます～
∠ＰＱＢが直角になるθ＝π/6の場合は後で別個に考えましょう



Ｐ，Ｑの座標が分かったのでＰＱの長さが計算できます



ｍとｘの関係式を求めてｙをｘの式で表せばＯＫです～
ｍ＜０であることには注意です～



最後にθ＝π/6の場合に触れて終了です～



しかしまぁ，結構な計算量でした


面積を利用するパターン

△PAB=△PQA+△PQBの関係式から
1/2・ｘ・√(1-x^2)＝1/2・√(1-x^2)・ｙ・sin(π/6)＋1/2・ｙ・ｘ・sin(π/3)
と立式することもできます
これはなかなか簡単でいいですね



次回は（２）をやっていきます