どもども。
前回に続いて今年の東北大入試理系数学第1問をやっていきます![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/kaeru_fine.gif)
問題はこちら![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/kirakira.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/15/10/9c0f1b1cf7a484141b5bb18393fefacb.jpg)
前回:http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/33187e612de08726a749204fe231aac2
s,tという2つのパラメータに依存してx,yが動くという状況でした~
(2)を今回はやりますよ~![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/panda_1.gif)
基本的には前回と同じ手法が使える(考え方4は使えないっすね
)ので,前回と同じ解法の順序でやっていってみましょう~
考え方1
(X,Y)という点が答えの領域に含まれているならば X=st+s-t+1,Y=s+t-1 を満たす
何かしらの実数s,tが存在するはずだ,それを具体的に求めてしまうことでそのようなs,tの存在性を実証しよう,
こういう発想でやってみます![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/ladybug.gif)
s,tについて解いてしまえばいいんですが2次方程式が出てくるので,
その解は√を含んだ式になってしまいます。
根号内が非負でありさえすれば,その解は実数になるので
判別式≧0をすればよいわけですね![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/dog_angry.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/67/7b/77c46c2058e1193caab0b51b4975d52f.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/6a/0d/5ecb85764fcc237750d9a8190571e21c.jpg)
考え方2
2つもあるパラメータが邪魔なので一旦1つにしてしまう方針です![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/zashiki.gif)
x=st+s-t+1……
,y=s+t-1……
からsを消去すると
x=(y-t+1)t+(y-t+1)-t+1……![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0009.gif)
が出てきます。tを消去すると
x=s(y-s+1)+s-(y-s+1)+1……![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0010.gif)
が出てきます。
「
かつ
」を考える代わりに
「
かつ
」 を考えるのですが
ちょっと面倒そうなので,更に代わりに
「
かつ
」を考えることにします![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/bakeneko.gif)
から,y={1/(t+1)}x-{2/(t+1)}+tが得られますが,
分母が0になるt=-1の場合は別に考えなきゃいけません。
まずはt≠-1の場合について考えます![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0028.gif)
tがあれこれ動いたときに,直線x=x_0上でyがどのような範囲を動くのか考察します。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/11/e5/abf18fd33958d9272891f432d9ad394d.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/10/4d/bf1ad4c86ff8366ae5297ddae1238e1b.jpg)
x_0と2の大小によって状況が変わるようですね![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/dolphin.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/27/42/1ba8429dcf04303dbab805aa74f0a14d.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/51/43/0ed6bba222ea0c993a3d3fbefd74855b.jpg)
x_0=2のときは,そもそもf(t)=tになってしまいます![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/eto_uma.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/7f/b3/862ef281eac10c870c618935db979b62.jpg)
次はt=-1の場合を考えます。このときは直線x=2を表すみたいです![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/eto_saru.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/78/ee/6e0dfa20ebe5639b1a58f116c102d17c.jpg)
あとはまとめればOKですね![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/hand_iine.gif)
ただし
についても触れなくてはいけません。
tが実数全体を動いたときに
を満たす(x,y)の存在域は上の考察から分かりますが
その領域上の各点(X,Y)とtに対してsを
によって定めることが出来るので
「
かつ
」を満たす(x,y)の存在域もまた上で求めた領域と一致してしまいます![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/eto_inu.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/2e/cf/b908735afa942611fb7e56fa97252dc9.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/6c/ec/db7e33303dc9aaa5769a4eb5b6712289.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/00/70/eff795e1a6a50a84a5d8a9f92bbce13e.jpg)
ちなみに,「
かつ
」を考えると,
どちらも同じ領域が出てきます![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/eto_tatsu.gif)
xをx=x_0に固定するのではなく,yをy=y_0に固定してもOKです,
というかそっちのほうが2次関数なので簡単です![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/dog_love.gif)
その場合の計算はほぼ次に挙げる解法と変わらなくなります~![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/hikari_blue.gif)
考え方3
すべての実数を動くs,tを変数とする2変数関数y(s,t)=s+t-1の値域は全実数です。
そこでYを定数として,y(s,t)=Yを満たすs,tに限定してx(s,t)=st+s-t+1の値域を考える方針です![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/dog_happy.gif)
s=-t+Y+1であるので,x(-t+Y+1,t)の値域を考えればよいわけですね![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/body_stand.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/51/4e/666d5c4ceaf94dd4708b6ac6e1e6c13a.jpg)
考え方4
2次方程式が実数解を持つ条件の議論を利用した解法です。
まぁ,考え方1と大体同じですが~![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/kaeru_yodare2.gif)
s-1とt+1の和と積が与えられているとみなします
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/65/e0/e16020dc45cda28e42b7c1d6acf9fb61.jpg)
あとは図を描くだけですね
前回に続いて今年の東北大入試理系数学第1問をやっていきます
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/kaeru_fine.gif)
問題はこちら
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/kirakira.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/15/10/9c0f1b1cf7a484141b5bb18393fefacb.jpg)
前回:http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/33187e612de08726a749204fe231aac2
s,tという2つのパラメータに依存してx,yが動くという状況でした~
(2)を今回はやりますよ~
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/panda_1.gif)
基本的には前回と同じ手法が使える(考え方4は使えないっすね
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/hiyo_cry2.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/apples.gif)
(X,Y)という点が答えの領域に含まれているならば X=st+s-t+1,Y=s+t-1 を満たす
何かしらの実数s,tが存在するはずだ,それを具体的に求めてしまうことでそのようなs,tの存在性を実証しよう,
こういう発想でやってみます
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/ladybug.gif)
s,tについて解いてしまえばいいんですが2次方程式が出てくるので,
その解は√を含んだ式になってしまいます。
根号内が非負でありさえすれば,その解は実数になるので
判別式≧0をすればよいわけですね
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/dog_angry.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/67/7b/77c46c2058e1193caab0b51b4975d52f.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/6a/0d/5ecb85764fcc237750d9a8190571e21c.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/apples.gif)
2つもあるパラメータが邪魔なので一旦1つにしてしまう方針です
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/zashiki.gif)
x=st+s-t+1……
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0022.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0025.gif)
からsを消去すると
x=(y-t+1)t+(y-t+1)-t+1……
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0009.gif)
が出てきます。tを消去すると
x=s(y-s+1)+s-(y-s+1)+1……
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0010.gif)
が出てきます。
「
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0022.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0025.gif)
「
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0009.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0010.gif)
ちょっと面倒そうなので,更に代わりに
「
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0009.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0025.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/bakeneko.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0009.gif)
分母が0になるt=-1の場合は別に考えなきゃいけません。
まずはt≠-1の場合について考えます
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0028.gif)
tがあれこれ動いたときに,直線x=x_0上でyがどのような範囲を動くのか考察します。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/11/e5/abf18fd33958d9272891f432d9ad394d.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/10/4d/bf1ad4c86ff8366ae5297ddae1238e1b.jpg)
x_0と2の大小によって状況が変わるようですね
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/dolphin.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/27/42/1ba8429dcf04303dbab805aa74f0a14d.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/51/43/0ed6bba222ea0c993a3d3fbefd74855b.jpg)
x_0=2のときは,そもそもf(t)=tになってしまいます
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/eto_uma.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/7f/b3/862ef281eac10c870c618935db979b62.jpg)
次はt=-1の場合を考えます。このときは直線x=2を表すみたいです
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/eto_saru.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/78/ee/6e0dfa20ebe5639b1a58f116c102d17c.jpg)
あとはまとめればOKですね
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/hand_iine.gif)
ただし
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0025.gif)
tが実数全体を動いたときに
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0009.gif)
その領域上の各点(X,Y)とtに対してsを
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0025.gif)
「
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0009.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0025.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/eto_inu.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/2e/cf/b908735afa942611fb7e56fa97252dc9.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/6c/ec/db7e33303dc9aaa5769a4eb5b6712289.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/00/70/eff795e1a6a50a84a5d8a9f92bbce13e.jpg)
ちなみに,「
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0009.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0010.gif)
どちらも同じ領域が出てきます
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/eto_tatsu.gif)
xをx=x_0に固定するのではなく,yをy=y_0に固定してもOKです,
というかそっちのほうが2次関数なので簡単です
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/dog_love.gif)
その場合の計算はほぼ次に挙げる解法と変わらなくなります~
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/hikari_blue.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/apples.gif)
すべての実数を動くs,tを変数とする2変数関数y(s,t)=s+t-1の値域は全実数です。
そこでYを定数として,y(s,t)=Yを満たすs,tに限定してx(s,t)=st+s-t+1の値域を考える方針です
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/dog_happy.gif)
s=-t+Y+1であるので,x(-t+Y+1,t)の値域を考えればよいわけですね
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/body_stand.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/51/4e/666d5c4ceaf94dd4708b6ac6e1e6c13a.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/apples.gif)
2次方程式が実数解を持つ条件の議論を利用した解法です。
まぁ,考え方1と大体同じですが~
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/kaeru_yodare2.gif)
s-1とt+1の和と積が与えられているとみなします
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/65/e0/e16020dc45cda28e42b7c1d6acf9fb61.jpg)
あとは図を描くだけですね
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/clover.gif)
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