2012年東大入試理系数学第6問

どもども。

しばらく今年の東大入試理系数学を解いてきましたが，いよいよラストです。
今回は第6問をやります

問題はこちら
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/tokyo/zenki/sugaku_ri/mon6.html

第5問に続いて行列がらみの出題です。
見た瞬間に「うわッ」と気が滅入るような
何がなんだかよく分からない，とにかく計算の面倒臭そうなf(x)が目に入ります。
腕力勝負といった感じでしょうか。
しかしまぁ，計算がしんどいという点を除けば，
決して難しい問題ではないですコレ。
いかに要領よく解くかが試される感じかな？
でもどんな工夫してもそれなりに計算量はあるような気はしますが～

まずは(1)です。f(x)の最大値を求めよ！
ということでf(x)を分かりやすい形に直してやるところから始めましょう。

最初に U(t)AU(-t)-B を計算します。
なんなんだ！このオマケのBは！余計な項をつけるなんて！
…なーんて，思うわけですが，実は計算結果をスッキリさせてくれる手助けを
してくれる項でした
厄介なので U(t)AU(-t) だけ計算してBは放置しておこう！という方針を取ると損します

U(t)AU(-t)-B は変数ｘを含んでいないのでいわば定数のようなもの。
これをとりあえずWなどとおいて，その成分もp，q，r，sなどとでもおいておきます。

次は U(x)(1 0)U(-x) を計算します。
　　　　　　(0 -1)
これはさっきの U(t)AU(-t) に近い形をしてるのですぐ計算できます。
ｔをｘに置き換えて，a=1，b=-1としてやればいいんですね。

ここまでくると大分f(x)もシンプルな形になりました。
あとは最大値を求めるだけです。
どうやら三角関数の合成が使えそうです。




上の解法では合成の際に未知の角θが出てきましたが，
実際にそれを求めてもよいです。そんな解法がこちら。



次はちょっと特殊なことをやってみます
関数f(x)は行列のトレース（対角成分の和）を用いて定義されているので
折角なので行列のトレースの性質を使って考えてみます。

２つの(2×2)-行列M_1，M_2が与えられたとき，Tr(M_1M_2)=Tr(M_2M_1)が成り立ちます。



また，Tr(M_1＋M_2)=Tr(M_1)＋Tr(M_2)も成り立つこともすぐ確かめられるでしょう。

ついでにU(x)という行列は角度ｘの回転行列であることにも注目です。
つまり U(x)U(y)=U(x+y) が成り立ちます。
そんなあたりの話を駆使して計算してみた場合の解法です



後半の項は今の最後の計算でaとbを逆にして角度をt-xからｘに置き換えれば
計算結果が得られます。



次は(2)をみてみましょう。
(1)でも骨の折れる計算をしたのにまた厄介そうな計算が待っていました。
骨だけでなく心も折れそうです

まずは挫けずに 2Tr{U(t)CU(-t)D} と Tr{U(t)AU(-t)+B}-m(t) を計算します。
それによって証明すべき不等式をもう少し明瞭化してみます。
(cost)^2=|cost|^2 に注意です。両辺が|cost|で割れます。



さて後半です。指数のcとか1-cというのがなんだか煩わしいです。
すごい複雑な評価とかしなきゃいけないのかしら？と思いきや
b^c≦a^c と b^(1-c)≦a^(1-c) を使ってaの累乗を評価しちゃうだけで
キレイにうまくいっちゃうのでした。



それとは別に，相加平均と相乗平均の関係を用いてもうまくいきます。



|cost|=XとおいてXの2次関数または1次関数を考えてもＯＫです。
両辺を|cost|で割る前の不等式を2次関数を使って証明したのがコレ。



最後に，証明すべき不等式を
m(t)≧Tr{U(t)AU(-t)-B}-2Tr{U(t)CU(-t)D-B}
と変形してみた場合の解答を挙げてみます。
(1)で U(t)AU(-t)-B は既に計算してあります。
しかもよく見ると Tr{U(t)AU(-t)-B}=0 なんですね
結局，m(t)≧-2Tr{U(t)CU(-t)D-B}
を証明することに帰着します。



　　

2012年東大入試理系数学第5問その2

どもども。

今回は前回に引き続き，2012年東大入試理系数学第5問をやってみたいと思います

問題はこちら
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/tokyo/zenki/sugaku_ri/mon5.html

前回は主に行列の累乗を求める話をやっていて(2)がまだ途中でした。
上手にkを取ると，Ｂ^kＡ または {Ｂ^(-1)}^kＡ が与えられた4つの行列に
等しくすることができる，ということを確かめる問題です。
このＢ^kＡ と {Ｂ^(-1)}^k を求めるところまで話が済んでいます。

まぁ，残りはただのやっつけ仕事なんですが

さて，ad-bc＝0，c＝0 という情報が与えられています。
このことより，(a,d)＝(1,1)＝(-1,-1)の２パターンに絞られるわけなので
まずはdの値が１か－１かで分けて考えてみます。
右上の成分のみがｋによって変動し，それが０になるときを選べばＯＫです



与えられた４つの行列に右からＡの逆行列をかけたもののいずれかが
ＢまたはＢ^(-1)の累乗の形になることを確かめるのもよいです。



(3)をみてみます。問題文はゴチャゴチャ書いてますが
早い話が， |a+c|＜|a| か，或いは |a-c|＜|a| かどちらかは成り立つことを
確かめる問題です。シンプルな話なので説明の仕方は色々あるでしょう。
±ｃの存在範囲は －|a|≦|c|≦|a|，c≠０ より
半開区間 [－|a|,0) または (0,|a|] です。
|a+c|は点ｃと点－aの距離，|a-c|は点ｃと点aの距離を表します。
ｃはaか-aかどちらかと同符号ですが，点ｃとその同符号の方の点との距離が|a|より小さいわけであります



|a+c|＜|a| か，或いは |a-c|＜|a| かを示すわけですが，
非負実数の大小比較なので，２乗の大小関係で比較してもいいです。



ｃは整数であるという仮定ですが，これを連続変数と思って
ｃの関数 f(c)=|a|-|a+c| と g(c)=|a|-|a-c| を考える作戦もあります。
このときaは固定して定数だとみなして考えるわけですね




一般に，Ｘ，Ｙ≠０のとき，ＸＹ＜０が成り立つなら
Ｘ，Ｙは異符号でどちらか一方は正，もう一方は負です。
|a|＞|a+c|のとき|a|＜|a-c|となることが図から分かると思います。
（|a|-|a+c|）×（|a|-|a-c|）＜０を示せば
|a|＞|a+c| か |a|＞|a-c|が成り立つことがいえます。
下の解法ではｃを変数として扱ってますが，わざわざそんな事しなくても
良さそうですね。



さて，上の解法に関連した別解法としては次のような方針もあります。
点ｃと点ａの距離をＬ，点ｃと点－ａの距離をＭとおくと
Ｌ＋Ｍ＝２|a|になってることが数直線から分かるはずです。
つまり|a+c|＋|a-c|＝２|a|です。これを移項すれば
|a+c|－|a|＝|a|－|a-c|となります。
この式より，|a|－|a+c|と|a|－|a-c|が異符合であることが分かるので
|a|＞|a+c| か |a|＞|a-c|が成り立つことがいえます

2012年東大入試理系数学第5問その１

どもども。

さて，今回は2012年東大入試理系数学第5問をやってみたいと思います

問題はこちら
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/tokyo/zenki/sugaku_ri/mon5.html

行列の問題です。今年は第5問と第6問，２題続けて行列絡みの出題になりました。こちらの問題はそれほど難しいものではないですが，強いて言えば，どんな風に答案をまとめようか迷うかもしれない，といったくらいでしょうか。
行列の単元はは新課程では実質的に消滅してるので今の1年生が受験生になる時からしばらく受験数学から行列の問題が姿を消してしまうと思われ，寂しい限りです。また何年かして行列が復活することは大いにありえますが

今回の問題ですが「平行四辺形の面積が～」のくだりはわざわざ必要だったのでしょうか。
はじめから |ad-bc|＝１ で与えちゃってもいい気もします
そう言ってもいいくらい，平行四辺形がどうたらみたいな話は結構どうでもいい問題です。

4点(0,0)，(a,b)，(a+c,b+d)，(c,d)を頂点に持つ平行四辺形の面積が |det(A)| で与えられることは1次変換の単元ではよく知られた基本事項です。3点(0,0)，(a,b)，(c,d)を頂点に持つ三角形の面積の2倍で，ベクトルの単元で使う面積公式で三角形の面積が S=(1/2)|ad-bc| と求められるのでそれを2倍すれば |det(A)| に等しくなりますね。
…というわけで，平行四辺形の出番は終了です



さて(1)ですが，行列ＢＡとＢ^(-1)Ａの行列式を計算するだけです。



ちなみに，行列のＰ，Ｑの積ＰＱの行列式 det(ＰＱ) は各々の行列式の積
det(Ｐ)det(Ｑ) に等しいという性質があります。覚えておくと役立つかもしれません。



次は(2)を見てみます。ｃ＝０ならば，なんかkという整数があって Ｂ^kＡ または {Ｂ^(-1)}^kＡ の少なくともどちらかは与えられた4個の行列のどれかに等しくなるよんということを証明してくれという問題です。
そんなわけで Ｂ^k はどんな行列かをまずは考えてみることにします。行列の累乗を求める問題は受験数学ではとてもお馴染みですね。

とりあえずＢ^2やＢ^3などを実験的に求めてみるのがよいでしょう。
大体どんなことが起きるのかを把握することは大事です。
運がいいと累乗の形を類推できてしまいます。今回は予想が容易い形をしていますよ
あとはササッと帰納法で証明しちゃえばよいわけですな
{Ｂ^(-1)}^k の方は Ｂ^k を利用して求めちゃうのがよいと思います。



類推が難しい場合などは別の手段でチマチマ計算して累乗を求めることになるでしょう。固有値を求めて行列を対角化する，というのは累乗を求める際のスタンダードな手法です。受験数学でも当たり前のように必須テクと化してますね。
しかしながら，今回の行列Ｂは固有方程式が (λ-1)^2=0 になってしまって
固有値がλ＝1しか出てきません
こうなると対角化は出来ないので諦めざるを得ません。
ちなみに，2×2の行列なのであまりピンときませんが，行列Ｂは上三角行列になっています。つまり対角成分より下は全部０になってる行列です。一般に，三角行列の固有値はその行列の対角成分の値になっています。Ｂの対角成分はどちらも１ですね。



2×2の行列についてなら簡単に確かめられます。



対角化はできませんが，もっと一般化された行列の標準形である
Jordan標準形というものがあって，それに変形することは可能です。
といっても，行列Ｂは始めからJordan標準形になっとるわけですが
それは対角成分に固有値を並べてその隣の成分に１が何個か並んでるという，対角化と似たような形をしています。



そんな行列の累乗を求める時は対角行列と１が何個か並んだ行列との和に分けて２項定理を使うというのが有効です。



対角行列の累乗は対角成分をｋ乗するだけだし，
もう一方は何乗かすると０になってしまいます。
なお，２項定理を使うときは積の可換性に注意してください。
一般には行列の積は非可換なので２項定理は使えません。
積が可換な２つの行列Ｐ，Ｑに対して (Ｐ＋Ｑ)^k の展開に
２項定理が使えます

行列の計算で役立つ公式といえばケーリー・ハミルトンの公式があります
固有方程式が重解１を持つため，(Ｂ－Ｅ)^2=０を得ます。
これと２項定理を利用して累乗を求めてみます。



ここでも，Ｂ－ＥとＥの積が可換である事に注意です。

次に，整式の割り算を利用したやり方を考えてみます。
n次多項式 f(x)=x^k を (x-1)^2 で割った商をＱ（x），
余りをαx＋βとおきます。このxにＢを代入して
Ｂ^k=(Ｂ-Ｅ)^2Ｑ（Ｂ）＋αＢ＋βＥ という変形を利用する作戦です。
(Ｂ-Ｅ)^2＝０なんでＢ^k＝αＢ＋βＥという形に落ち着きます。
出てくる行列が積が可換なＢとＥだけだからイケるんですね。
ただし， (x-1)^2 が重解を持つため，αとβを求めるためには
工夫が必要です。そこで微分の登場です。



もう１個だけ累乗の求め方を挙げておきます。
漸化式の解を求めるやり方に似ています



さて，本題に戻りましょう。えーと，何をする問題だったっけ

なんだか長くなってきたので，続きは次回にしましょうか

2012年東大入試理系数学第4問

どもども。

本日は2012年東大入試理系数学第4問を取り上げます

問題はこちら
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/tokyo/zenki/sugaku_ri/mon4.html

整数に関する論証問題です。
今年の問題セットの中では一番難しかったとされる問題です。
(1)，(2)，共に「連続2自然数は互いに素である」という性質がポイントになっていて，それに気付くかどうかが勝負の分かれ目になっています。
また，問題文は(1)，(2)とも似ているのですが，(1)を利用して(2)を解くという
タイプの問題ではないようです。どうやって(1)を使うんだろうという点に固執しちゃうと(2)は苦戦するかもしれません。

というわけで，まずは今回の問題のキモになる「連続2自然数は互いに素である」ことを確認しておきましょう。例えば８と９は互いに素です。８の正の約数は２だけです。偶数と奇数は交互に表れるので９が偶数になることはありません。また，９の正の約数は３だけです。３の倍数は２個おきに現れるので８は３の倍数ではありません。一般にｐ≧２のとき，ｐの倍数は(ｐ－１)個おきに現れるので，かなり荒く分布していますね。だからｐの倍数が隣り合うなんてことは無いわけです。



この「連続2自然数は互いに素である」という性質は，
試験では特に断りなく用いても良いかと思います。
連続２自然数の積N(N+1)をk^nと等しいとおいてみると，
実はNもN+1もn乗数でなければならないという事実にぶち当たります。
しかしながら，n乗数というのもなかなか荒い分布をしていて，
例えば2乗数ですら 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 …
という隙間だらけの分布になっています。
よってn乗数が隣り合うなんてことはおかしいぞ
というネタで矛盾を導きます



ただ，この「互いに素」の性質が非常に本質的であるため
これを用いない別解というものがなかなか見当たりません。
何か本質的な別解法があったら是非教えてほしいところです

N(N+1)=k^n をNの2次方程式と思うと，その判別式として1+4k^nが出てきます。これが平方数になるための条件を考えるというアプローチが例えば考えられます。
nが偶数の場合は簡単に矛盾が引き出せます。



一方でnが奇数の場合は難しいようです。1+4k^n=(2m-1)^2などとおいて整理すると結局元の命題に戻ってしまいます
何か面白い別解は無いもんですかね～

続いて(2)です。
連続n自然数の積N(N+1)(N+2)×…×(N+n-1)がk^nと書けるとすれば，
kはこの連続n自然数の相乗平均です。
さて，N(N+1)(N+2)×…×(N+n-1)は一番小さい整数Nをn回掛けた積N^nよりも
当然大きいです。そして一番大きい整数N+n-1をn回掛けた積(N+n-1)^nよりも
小さいです。このことから，N^n＜k^n＜(N+n-1)^nという評価が得られます。
従って，N＜k＜N+n-1であり，kの値の候補は絞られてしまいます。
n＝2のときは，N＜k＜N+1となりますが，NとN+1の間に自然数はありません。
この時点でもう矛盾を生じています。
n≧3のときは，kはN+1，N+2，…，N+n-2の中のどれかという事になります。
このとき「連続2自然数は互いに素である」という性質から，kはk＋1の倍数ではありませんし，k^nもやはりk＋1の倍数ではありません。
しかし N(N+1)(N+2)×…×(N+n-1)＝k^n の表示からk^nがk＋1の倍数であることが言えてしまいます。これが矛盾です



n=2の場合とn≧3の場合とを分けなければならないのが忘れやすいところだと思います。
また，もう1つ気を付けたいのは，自然数kに対し，
「kとk+1は互いに素」という性質を使うか「kとk-1は互いに素」という性質を
使うかによって微妙に議論に差異が生じることです。
上記解答では「k^nはk+1の倍数ではない」という話を用いてますが，
一方で「k^nはk-1の倍数ではない」というのは必ずしも正しくありません。
k=2のときは2^nは1の倍数ですからね
なので途中からやり直しましょう～。



この問題も何か本質的に別の解法というものは何か無いもんですかね
n=3,4の場合は次のような解法があります。



一般のnに関しても同様に(n-1)次方程式を解いてそれの解が自然数にならない
ことを言えばいいんでしょうが，「互いに素」の性質を使わないとなると
なかなか大変そうです。

　　

2012年東大入試理系数学第3問その2

どもども

前回取り上げた2012年東大入試理系数学第3問は回転体の体積の問題でした。

今回は応用として，極方程式で与えられた曲線を用いて作られる領域をx軸やy軸の周りに回転させて出来る立体の体積を考えてみます。



曲線C:r＝r(θ)（α≦θ≦β）上の点Ｐ(r(α),α),Ｑ(r(β),β)を取り,
線分ＯＰ,ＯＱ,曲線Cで囲まれる領域をx軸の周りに1回転させて出来る立体の
体積を考えましょう
発想としては,曲線C上の点Ａ(r(θ),θ),Ｂ(r(θ＋Δθ),θ＋Δθ)をΔθが十分小さくなるように取り,ＯＡ,ＯＢ,曲線Cで囲まれる領域をx軸周りに回転させて出来る立体の体積をΔθの２次以上の項は無視して１次近似し,それを積分により寄せ集めます。その際,下図の△OBCの回転体を考えれば十分です（残りの部分は無視できる量になります）。





せっかくなので,前回トライした東大理系第３問で実際に使ってみます。






元々x，yで表された関数なので，楕円に関しては極方程式化すると面倒ですね
でも積分の上端が4/√17という嫌な数字でしかも被積分関数が無理関数だってのに，計算してみるとうまーく√17なんかが消えてくれるのはちょっと面白いです。ではV_2も同様に求めてみましょう。公式の中のsinをcosに変えるだけで実はイケます。






…とまぁ，求められるわけです。

ちなみに，楕円にはパラメータ表示(1/(√2)cosφ，1/(4√2)sinφ)があります。極座標を使うなら，これを使えばいいじゃないと思うかもしれません。
しかし，気を付けなければならないことがあります。このパラメータ表示に使われる変数φは極座標で使うθとは別物であるということです。
このφはそもそも円のパラメータ表示を元にしています。楕円というのは円を縦方向と横方向に拡大縮小したものですから，このパラメータ表示でcosφ，sinφに付いた係数はそれを反映したものになっています。


先ほど挙げた極座標を用いた回転体の体積公式を使って計算する際，φを利用しても構いませんが，それは積分の変数をθからφへと変数変換して置換積分を行っているに過ぎません。最後にこの方針で答えを求めて終わりにします。






r^3が約分されて簡単な積分に落ち着くのが面白いですね。
普通に極座標表示で計算するより幾分か簡単になったかもしれません。