2012年東北大入試理系数学第3問その１

どもども。

今回は今年の東北大入試理系数学の第３問をやっていきます～

問題はこちら


なんだか長くて読むのがかったるい確率の問題です

（１）は，１～４の数字が書かれたカードが入った袋ＡとＢからカードを１枚ずつ取り出して
同じ数字のカードを引いた回数をＸとしなさい，Ｘ＝１，２，３，４となる確率は？
と聞いています。

自分の頭の中では袋Ａ，ＢではなくてＡさんＢさんになっていたようです
だから記述の仕方が微妙に変ッ
この際なので，ＡさんＢさんということで話を進めましょう～

ではまずは，ごくごく単純に，Ａが引いたカードの数字を順にa_k (1≦k≦4)，
Ｂが引いたカードの数字を順にb_k (1≦k≦4)とおくことにします



(a_1，a_2，a_3，a_4)の組は４！＝２４通りありますが，
そのうちの１つに固定して考えてみます
(b_1，b_2，b_3，b_4)の組を考えたときに，a_k＝b_kとなっているkの個数がＸですね

Ｎ＝４くらいですと，何も考えず樹形図を描いて考えるのも悪くないです
Ｘ＝１のときは，(b_1，b_2，b_3，b_4)＝(a_1，a_3，a_4，a_2)のような，
１個のkだけa_k＝b_kが成り立っているような組を見つけ出せばOKです
どのような(a_1，a_2，a_3，a_4)の組に対しても同じ樹形図が得られます。
なので最後に２４倍すればいいですな



数え漏れを防ぐためには，始めに２４通りすべての(b_1，b_2，b_3，b_4)の可能性を樹形図に描き出して，
その中からＸ＝１となるものに印をつけていく，というのも有効です。
そこで描いた樹形図をＸ＝２，３，４の場合を考えるときにも利用できますから便利です



この６通りなんかは数え漏れしやすそうです



よくよく考えればそりゃそうね～って感じですがＸ＝３となることはありえません




それにしても，Ｘ＝１，２，４で，確率を求める式の最初の1/24と最後の×２４というのが気になりますね。
相殺されてなくなる運命の項ですが，
もしかして何か無駄なことをやっているんでしょうか
後でその点について考えてみましょう

樹形図を使わずに今の方針で解いてみたいと思います
基本的に樹形図を使って解くというのは，手間がかかってめんどくさい！
という気持ちがありますし，Ｎが大きかったらますます大変です。

どのｋについてa_k＝b_kが成り立つか
そのときのa_k（＝b_k）の数字は何か
そのときの残りのカードの並び方の可能性は幾つあるか

の観点に基づいて計算します
(a_1，a_2，a_3，a_4，b_1，b_2，b_3，b_4)の組は全体で４！４！通り。
各Ｘ＝ｋに対して条件を満たす(a_1，a_2，a_3，a_4，b_1，b_2，b_3，b_4)の組の個数を求めましょう






さて，次はさっきのなんとなく無駄っぽい２４の相殺について考えてみます

最初の解答で，確率の計算式に出てきた×２４，これは何を示すものだったでしょうか。
はじめに(a_1，a_2，a_3，a_4)の組を固定して考察したので，
２４個全体分をカウントするために２４倍したのでしたね

この考え方は(a_1，a_2，a_3，a_4)と(b_1，b_2，b_3，b_4)，両方が変動するという見方をしています
見方を変えて，(b_1，b_2，b_3，b_4)だけが動くという考え方をしてみます

Ａさんの持ってる１～４の数字が書かれたカード。
各カードにＢさんの持ってるカードのどれか１枚をランダムに対応させる。
こういう状況を考えてみましょう

対応の決め方は色々考えられます。
Ｂの袋からランダムにカードを１枚ずつ引いて，取り出した順にＡの１～４のカードに対応させる。
例えばそういうやり方もあるでしょう

今回の，２つの袋から１枚ずつカード引いてペアを作る，という操作もまた
ランダムにＡの１～４のカードとＢの１～４のカードを１枚ずつ対応させる操作になっています

従って，Ａさんの持つｋの数字の書かれたカードに対応するＢのカードの数字をx_kとおくと，
x_k=kとなるようなｋの個数がＸになるわけです

(x_1，x_2，x_3，x_4)の組は全部で４！通りです。



(a_1，a_2，a_3，a_4)にあたる部分が変動しないので計算式が簡単になりました




ここで，X=0の場合について一言添えておきます
X=0とはすなわち，どのｋに対してもx_k≠ｋとなっているということです。

Wikipedia等からの抜粋ですが，
整数 1, 2, 3, …, n を要素とする順列において，i 番目 (i ≦ n) が i でない順列を完全順列といい，
その総数をモンモール数 (Montmort number) という。
これはフランスの数学者モンモールにちなんで名づけられた。1708年モンモールによりn = 13 の場合の問題として提唱された。
一般のnの場合はオイラーによって解決された。

完全順列を求めるような問題をモンモールの問題などと呼んだりします

興味のある方は調べてみてはどうでしょう



あ，(１)はXの期待値も求めなきゃいけないんですね。
では最後にそれを求めてフィニッシュです