2012年東北大入試（後期）理系数学第１問その3

どもども。　　　
　　　

今回は今年の東北大入試（後期）理系数学第１問の(2)をやっていきます～　　

問題はこちら


前々回：http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/fab5be206484546f5b690be5269a4275
前回：http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/d0512f3c3bb938617512fb0ce731a08d

(2)は(1)と直接の関連性はないので，前回までのことは一旦置いておいてＯＫです
解法パターンは色々ありそうですがかかる手間は大差は無さそうです。
色々あるといっても，変数変換するかしないかという選択だと思いますが

4^x-2・2^x+2^y≦０が表す領域を考える解法

前回やった話と同じようなやり方をします
4^x-2・2^x+2^y＝ℓ（ℓ≦０）が表す曲線のグラフを考え，ℓを動かしたときにどのような範囲を動くかを考察し
4^x-2・2^x+2^y≦０が表す領域Ｄをまず求めます





境界は上に凸な曲線で，ℓ＝０のときの曲線に対応しています。
これと直線ｘ＋ｙ＝ｋが共有点を持つようなｋの値の範囲を求めます。
領域と接するときのｋをｋ_1とおけば，ｋ≦ｋ_1が求める答えです



ｙを消去する解法その１

ｘ＋ｙ＝ｋとおくと，ｙ＝ｋ－ｘになるので，これを代入することで
ｙを消去して考えることが出来ます



まずはこの左辺をf(x)とおく解法を見てみます



ｙを消去する解法その２

指数関数のグラフより多項式のほうが考察はしやすい！
というわけで上と同じやり方で途中で２^x=tとおいてｔの3次関数に帰着してみます





ｙを消去する解法その３

今度は条件式をｋ≦f(ｘ)の形に直してみます
こうすると，y=f(x)のグラフと直線y=kが交点を持つ条件に帰着します。



２^x=tなどとおいてみてもOKですよ～

2^x=X，2^y=Yとおいてみる解法

次は変数変換を使って解きます
(1)では多くの人が変数変換を使ったと思うので，恐らく(2)でも同じように変換した人が多いのではないかと思います
(1)と違って変数変換したからといって劇的に楽になるわけではないようです～







共通接線を求めるやり方としては，今回は次のような手も使えます

2012年東北大入試（後期）理系数学第１問その2

どもども。

前回に引き続き，今年の東北大入試(後期)理系数学の第1問をやっていきます～

問題はこちら


前回：http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/fab5be206484546f5b690be5269a4275

今回も(1)についてやっていきます～

前回は主に２^x=X，３^y＝Ｙなどと変数変換して解く標準的な解法パターンで
取り組んでみましたが，今回は変数変換しないで2変数の指数関数だと思って
問題の条件式が表す領域を考えて解くパターンを考察してみます

無論，標準的な解法よりもめんどくさいです
敢えてやってみる，という趣旨でやっていきましょう～

問題文で与えられているのは
4^x-4・2^x+9^y-2・3^y≦－１　という不等式です。
そこで，ℓ≦－1を満たすℓに対して曲線　4^x-4・2^x+9^y-2・3^y＝ℓ　を考えます
ℓを変化させて，この曲線の軌跡を調べることによって
4^x-4・2^x+9^y-2・3^y≦－１　が表す領域Ｄを把握することが出来ます

4^x-4・2^x+9^y-2・3^y＝ℓ　を「ｙ＝」のかたちで表示します



まずはｆ（ｘ）について考えていきましょう～
f(x)=log()の形をしていますが＞０なので真数条件は常にクリアしてますね
でもｘの動きうる範囲は全実数では無さそうです。
また，ℓの値によっても曲線の形が違ってきそうです。



ℓ＜－５のときは曲線上の(x，y)は存在しないようですから
－５≦ℓ≦－１の場合を考えればよい，そしてℓ＝－１の場合だけ形が他と違う，
とりあえずそういうことが分かりました

それでは微分して増減を調べてグラフを描いてみましょう～



ℓ＝－１のときだけｘ→－∞のときf(x)→０となっていて
－５≦ℓ＜－１のときはℓ＝－１の曲線をクシュッと萎ませたような形になっているようです


次はｙ＝ｇ（ｘ）について考えましょう。今度は真数条件も必要です。





今回も－５≦ℓ≦－１の場合を考えればよさそうですね






なんとか問題文の条件式が表す領域を図示することが出来ました
領域Dの境界は上下ともℓ＝－１のときの曲線になっています～

この領域と曲線　2^x+3^y=k　が共有点を持つようなｋの範囲を求めればいいわけですね！！



ｙ＝F(x)のグラフは右下がりの曲線であることが分かりました。
どうも第１象限で領域Ｄと接することがありそうですよね。
第４象限では微妙です

まずは第１象限で接するときのｋを求めてしまいます。





なんともウンザリする連立方程式
解く気なんか起きやしません。て言うかキレイに解けるのかコレ

…と思って式をいじってみたら，意外とイケたりしました



ｙ＝Ｆ（ｘ）のグラフはｘ＝log_2 (k)を漸近線として持つので，とりあえず
log_2 (２－√３)＜ｋ≦３＋２√２　のときは，ｙ＝Ｆ（ｘ）のグラフは領域Ｄと共有点を必ず持ちます

では，log_2 (２－√３)≧ｋ　のときはどうなんでしょう。
実は常にｙ＝Ｆ（ｘ）のグラフは領域Ｄの下側に位置して，そのおかげで共有点を持たなくなってしまいます。
そのことをこれから確かめていきます

ちなみに境界曲線とｙ＝Ｆ（ｘ）のグラフが交点を持たないことを示せばＯＫです～
漸近線　ｙ＝log_3 (k)（＜０）　がｙ＝０より下側にあるため，境界曲線との交点が無ければ常にｙ＝Ｆ（ｘ）のグラフのほうが境界曲線より下にあります。





交点を持つと仮定して矛盾を導く，すなわち背理法！
それを試してみましょう



いま求めたｔが０＜ｔ＜ｋを満たさないことを確かめるには，
ｋ≦ｔとなっていることを言えばよいわけです



以上をまとめて，答えの範囲を得る，ということでおしまいです

おとなしく変数変換してとくほうが何倍も早いし明瞭ですね
お疲れ様でした

2012年東北大入試（後期）理系数学第１問その１

どもども。


前回までで今年の東北大の理系数学をやり終えたわけですが，
次はそのまんま後期の理系数学に突入したいと思います

後期の問題だからといって前期と比べて一段と難しくなってるわけではなく
比較的標準的な難度の問題もありますので，臆することなく取り組んでいきましょう

今回は第１問で，２変数の指数関数に関する値域の問題です

問題はこちら



(１)と(２)は独立しているので，同じような単問が２つあるような感じです。
今回は(１)をやっていきます


２^x＝Ｘ，３^y＝Ｙと変数変換して円と直線の問題にする考え方

さて，パッと問題を見てまず何をしたくなるか。
そのインスピレーションは大事ですね
ここではズバリ，２^x＝Ｘ，３^y＝Ｙと変数変換をしてしまいたくなることが期待されます～

そのような変数変換をすると，やり慣れた円と直線に関する領域の問題になってしまうので，だいぶ恐さは軽減されるはず
２^x＞０，３^y＞０より，Ｘ＞０，Ｙ＞０であることに注意です
しかし，そのことにさえ気を付ければもはや指数関数のことは忘れていいです。
元が指数関数だってことが影響を及ぼすのはＸ＞０，Ｙ＞０の部分だけなんですねー



(X,Y)の存在領域Ｄはトンネルの入り口みたいな形をしているようですね
これと直線X+Y=kが共有点を持つようなｋの範囲を求めればいいわけです～

この直線のｙ切片がｋなので，円（X-2)^2+(Y-1)^2=4と上の方で接するときのｋが上限であることは分かりやすいです

下限は下の方で円と接するときのｋか，あるいは直線X+Y=kが円とｘ軸の交点(2-√3，０)を通るときのkか，
どちらか大きいほうになります
恐らくは，後者の方が大きいんだろうという予感はプンプンしますので，そういう気持ちで両方求めてみましょう



k_1,k_2の求め方は他にもいくつかあるでしょう
Y=-X+kを円の方程式に代入して(判別式)＝０　とするのもありますし
接線の傾きが-1になるようなkを求めるという手もあります。
接点を初等幾何的に簡単に求められるので，その点を通る傾き-1の直線を求めるというのもありますね。

k_3は(2-√3，０)を通る傾き-1の直線を求めるのが手っ取り早いかと～



k_1＜k_3であることが分かったので，k_3＜ｋ≦k_2のときにちょうど直線X+Y=kはｙ切片がk_3＜ｋ≦k_2の範囲にあるので
領域Ｄと共有点を持つことが分かります。コレが求める答えになります
なお，(2-√3，０)は領域Ｄに含まれていないのでｋ＝ｋ_3は答えに含んではいけません～




多分これが一番標準的な解法でしょう。
次は，毎度の如くそれ以外のアプローチを試してみたいと思います


２^x＝Ｘ，３^y＝Ｙと変数変換して一方の変数の値を固定して考える


上の解法と領域Ｄを求めるところまでは一緒です。
直線X+Y=kと円の位置関係を考えるのではなくて，領域Ｄ上の点(X,Y)に対して
2変数関数 k(X,Y)=X+Y の取り得る値の範囲を考えます
直線Y=sと領域Ｄが交点を持つのは０＜ｓ≦３の場合です。
2変数だと厄介なので一旦YをY=s（０＜ｓ≦３）に固定して，直線Y=sと領域Ｄの共通部分である線分上のX限定でk(X,s)=X+sの取り得る値の範囲を求めたいと思います



まずはｓ≠１すなわち，０＜ｓ＜１，１＜ｓ≦３の場合を考えましょう。
ｋの取り得る値の範囲を求めるのは容易です
そして，ｓが動いた場合にこのｋの範囲は変動するので，それをすべてのｓの分を合併することで
固定したｓに捉われないｋの取り得る値の範囲が求められます





2-√3＜f(s)≦５がｋの下限の動き得る範囲になります～
上限についても同様に考えます。
そしてｋの取り得る値の範囲を求めてみましょう



あとはｓ＝１の場合のｋの範囲を付け足せば答えになります




無理関数(実は楕円)が出てきたため，最初の解法よりも面倒でしたね
この程度の手間といえども，試験場では大幅に時間が取られてしまいます。


３^yを消去する考え方


２^x+３^y=kとおくと，３^y＝ｋ－２^xとなるので，これを
条件式に代入することで，ｘとｋに関する条件式が得られます。
この条件式を（ｘを固定して）ｋに関する2次不等式だと思って解いて，あとは上の解法と同様ｘを動かしてkの範囲を求める
というパターンでやってみます



指数関数が邪魔なので 2^x=t とでもおいておきましょう。t>0に注意です～
しかし，注意すべきはそれだけじゃありません
①式より，ｋ＞ｔという制約があります。
2次不等式の解の下限 １+ｔ－√(4t-t^2) とｔの大小関係によってｋの範囲が

ｔ＜１+ｔ－√(4t-t^2) のときは　１+ｔ－√(4t-t^2) ≦ｋ≦１+ｔ＋√(4t-t^2)

ｔ≧１+ｔ－√(4t-t^2) のときは　ｔ＜ｋ≦１+ｔ＋√(4t-t^2)


になってしまうことを見落としてはいけません。
加えて，ルートの中身の4t-t^2が「≧０」となる条件も必要です。
それではまずｔ＜１+ｔ－√(4t-t^2) の場合を考察しましょう







これで下限の範囲が得られました。続いては上限です




あとは③④を合併して



次に，ｔ≧１+ｔ－√(4t-t^2) のときを考えます
やることはさっきと同じです～



あとは⑤と⑥を合併すれば答えになります






次回もこの(１)を考えてみます～
変数変換しないで純粋にｘ，ｙの関数として与えられた条件不等式の表す領域を求めて考えることを試してみたいと思います。
円と直線の話に帰着されずに，よくわかんない形の領域が出てくるので複雑になります

2012年東北大入試理系数学第6問

どもども。

今回は今年の東北大入試理系数学の第6問をやっていきますよ～

問題はこちら


漸化式が与えられた数列{a_n}が極限を持つことを示してその極限値を求める問題です～

設問は4つあって多いように見えますが，(2)なんかはほとんどサービス問題で，
また(1)(3)は同時にやってしまうことも可能です。
決して入り組んだ問題ではありません，むしろパターン問題に近いです

１．もし極限値が存在するなら，それはαでなければならない。そんなαを求める。

２．|a_n－α|≦ｒ|a_{n-1}－α|　を満たすｒ（０＜ｒ＜１）を探す

３．０≦|a_n－α|≦ｒ^(n-1)|a_1－α|　においてハサミウチの原理

というステップを踏むことで，lim_{n→∞}a_n＝α　をいうことができます


とりあえず，(1)よりも先に(2)をやってしまって確実に部分点をおさえるというのがいいんじゃないでしょうか



おやおや，なんだかめんどくさそうな値なんですね，αって


では具体的に(1)(3)を考えてみたいと思います～


f(x)=(3x+4)/(2x+3)の単調増加性から(1)(3)を同時に示すパターン

漸化式に出てくるルートの中身をa_nを変数xに書き換えて，f(x)とおいてみました
ルートがついた状態の関数を考察してもいいですが，中身だけで考えたほうが楽デスネ

ｙ＝f(x)の増減を調べて(1)(3)の証明に利用しようと思います～
(1)，(3)ともに数学的帰納法を用いて証明するというのが無難な作戦でしょう
それならば，手間を省かせるためにこの２つを同時に証明したいと思います。
もちろん別々にしてもＯＫです



反比例のグラフを平行移動しただけなので，わざわざ微分などする必要はないです
このグラフから，ｘ＞０においてf(x)が単調増加な関数であることが分かります～

さて，(1)(3)を数学的帰納法で示すということはつまり，どういうことでしょう

n=1のとき　a_1＜α
n≧２のとき　１＜a_n＜α

を示すってことですね





a_{n+1}=√(１＋g(a_n))の形にして(1)を示すパターン

（１）はa_n＞１を示す問題です。ということは
a_{n+1}=√(１＋g(a_n))の形に直したとき，g(a_n)＞０になってることを確認することで証明する方法が考えられますね





α^2と(a_n)^2の大小を比較して(3)を示すパターン

(1)によってa_n＞０であることは分かりましたので，a_n＜αを証明するためには
(a_n)^2＜α^2を示せば十分であることがわかります






数列{a_n}が単調増加列であることを利用して(1)(3)を示すパターン

今回の問題の数列{a_n}は実は単調増加列になっています。そのことが何か利用できそうです
ｙ＝√f(x)のグラフと直線ｙ＝ｘのｘ＞０における交点は(α，α)になっています。

1≦ｘ＜αのとき，ｘ＜√f(x)となっていることに注意すると，
ｘ＝a_n（n≧１）のとき a_n＜√f(a_n)＝a_{n+1}　となっています
従って，1＝a_1＜a_2＜a_3＜…＜a_nが得られます～


また1≦ｘ＜αのときは，　√f(x)＜√f(α)＝α　が成り立つので
a_n＜αも得られてしまいます




今回に限らず，漸化式　a_{n+1}=f(a_n)　の形で与えられた数列の考察に
ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフを用いるという発想はしばしば有効です


グラフを用いずに，計算で単調増加性を示すパターンも考えてみます



それを利用して(3)をやってみます～






ハサミウチで（４）をやっつける

最後に(４)をやっつけましょう
冒頭で述べたように，やることはパターン化されているので，ｒを見つけさえすればあとは楽勝です

ｒの見つけ方は幾つかやり方があるでしょうね

(３)までで使った計算結果なんかを利用するといいですよ
f(α)－f(a_{n})型の式は大体式を整理するとα－a_nが出てくるので（因数定理みたいなもん），約分に役立ちます



ｒの取り方も上の解答のように1/50にこだわる必要もなく，1/25とか1/5なんかでも構いません

別の取りかたを考えてみます





もういっちょ







上に有界な単調増加列が極限を持つことを利用するパターン

これはちょっと参考までにって感じですが～～

上にあった図とか見ても分かるように，数列{a_n}は単調に増加しながらαに近づいていくという動き方をします。

一般に数列{a_n}が上に有界であるとは，nに依存しない定数Ｍ＞０が何か存在して，
任意のnに対してa_n＜Ｍが成り立っていることを言います

今回の場合はＭ＝αにすることが可能ですね。Ｍ＝１００とかＭ＝１００００とかでもいいですね
とりあえず取りうる値に天井があるって言うことです～

さて，上に有界な数列{a_n}がもしも単調増加列だったとしたら…
{a_n}は振動することもなくひたすら値が大きくなり続けるわけで，それでいて取り得る値に天井があるということは
すなわち数列{a_n}は極限を持つという結論に至ります

このことは実数論における公理みたいなもんで，幾つか同値な命題があります
大学数学で最初に学ぶような話になってます
長くなってきたので深入りはしないことにして，今回の問題の数列がまさに上に有界な単調増加列なので，
ｒなんて定数を用いずともズバッと極限の存在性は言えてしまう訳であります

2012年東北大入試理系数学第5問その2

どもども。


前回の続きで，今年の東北大入試理系数学大5問をやっていきます～

問題はこちら


前回：http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/f1a1552b0f62a5288353193aa02a403e



前回は(1)をやったので今回は(2)です～
この図においてｙが最大になるときのｘを求める問題です
要は微分して増減を調べるのですが，
どの形で表現したｙを採用するかによって楽に解けるかどうかが左右されてしまいます
そんなわけで(1)でどのような解法を採用したかが既に勝負の分かれ目になってしまうことも考えられます

といっても，一番オーソドックスな解法で出てくる形の式を採用すれば特に困難はありません
ただし，変数はｘではなく前回使ったθ（＝∠ＰＢＱ）を使うのがよいです
（１）ではｙをｘの式で表すよう指示したくせに，実はｘの関数で計算すると結構大変なんです

前回挙げた解法たちをから色々なｙの表示式を得ることが出来ます



今回はそれぞれの形からスタートして微分していくことにします～

先ほど述べたようにｘを変数とするよりもθを変数としたほうが基本的には楽です

そんなわけで(A)より先に(B)からやってみたいと思います

(B)の形から考察するパターン


そんなわけで早速ｙを微分してみます～


分子は割とシンプルな形をしていますね～
これならｙ'＝０を満たすθを探すのは容易そうです



ルートの中に３乗根が入ってるという，なかなか凄まじい値が出てきました
もっと分かりやすそうな値が出てきそうな問題なんですが，面白いですね

しかしながら，このような凄まじい値が答えであるために，方針選びで失敗すると
この答えを導くのに非常に苦難を強いられることになってしまうのです


ところで，今回のｙは正の値を取るわけですので，ｙの増減ではなく
1/yの増減を調べて最小値を取るときのｘを調べるという方針が存在します
今回の問題ではｙよりも1/yの方が簡単になります～
そっちをちょっとやってみましょう～



逆数を取るみたいな，ちょっとした工夫で問題が簡単になるのはよくあることです～
こうした工夫を見つけられるようでありたいものです～

(A)の形から考察するパターン


(１)で求めた一番オーソドックスなｙの形だと思います。
しかしながら分数かつ無理関数なので，微分の計算は大変です。
落ち着いてやらないと大抵こういうのはケアレスミスが出ます



分子をムリヤリX^3-Y^3の形に見立てて因数分解しています。
もしそういうやり方ではなく，｛(1-x^2)√(1-x^2)｝^2=(√３x^3)^2
を考えて無理方程式ではない形にするというやり方もあります
通常はそのやり方で問題ないのですが，今回は答えが凄い値なので
整理した高次方程式の解を自力で探して因数定理という作戦が
なかなかうまくいきません
普通はｘ＝１とか２とか√２とか分かりやすい値を代入してうまくいくので
それが上手くいかないことで，「あれ！？計算ミスしたかなあ」と思って
ムダに見直しに時間を割いてしまったり…　なーんてことにもなりかねないですね
経験上，この手の問題は角度を変数にする方が大体上手くいきます



(C)の形から考察するパターン


今度は(A)の形の分母を有理化したパターンです～
こんなの計算ミスすること必至ですね



ｙ'=0の解を求める際，決して√を無くして１０次方程式に帰着させようとしないことです。
解を求めるのが非常に困難になります
でもそれをしなかったとしても，この形から答えまで到達するのはかなり苦慮しそうです。
我々は既に別の解法で，どのような分子の値が出てきて欲しいか知っているので
どうにかこうにかそれに近付けていくことにします。ただ，何も知らない状態からではかなり詰んでます




(D)の形から考察するパターン


三角関数の合成と２倍角の公式を用いてｙを見やすくした形です。
しかしながら，微分を計算するにあたっては，sinとcosの中身に統一性がないために，
逆に不便になってしまいます





(E)の形から考察するパターン


これも(D)と同様です～




(F)の形から考察するパターン


こちらも計算ミスには注意しましょう～