どもども。
前回に引き続き,今年の東北大入試(後期)理系数学の第1問をやっていきます~![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/kaeru_fuku.gif)
問題はこちら![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/hikari_blue.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/15/4e/82b11b7604176780c015009f879dba14.jpg)
前回:http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/fab5be206484546f5b690be5269a4275
今回も(1)についてやっていきます~![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/hiyob_en.gif)
前回は主に2^x=X,3^y=Yなどと変数変換して解く標準的な解法パターンで
取り組んでみましたが,今回は変数変換しないで2変数の指数関数だと思って
問題の条件式が表す領域を考えて解くパターンを考察してみます![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/eto_tori.gif)
無論,標準的な解法よりもめんどくさいです![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/body_lazy.gif)
敢えてやってみる,という趣旨でやっていきましょう~![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/clover.gif)
問題文で与えられているのは
4^x-4・2^x+9^y-2・3^y≦-1 という不等式です。
そこで,ℓ≦-1を満たすℓに対して曲線 4^x-4・2^x+9^y-2・3^y=ℓ を考えます![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/dog_smile.gif)
ℓを変化させて,この曲線の軌跡を調べることによって
4^x-4・2^x+9^y-2・3^y≦-1 が表す領域Dを把握することが出来ます![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/cake.gif)
4^x-4・2^x+9^y-2・3^y=ℓ を「y=」のかたちで表示します![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0028.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/12/de/2255a3aef67407f5babc4f27b9f3905f.jpg)
まずはf(x)について考えていきましょう~
f(x)=log(
)の形をしていますが
>0なので真数条件は常にクリアしてますね![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0060.gif)
でもxの動きうる範囲は全実数では無さそうです。
また,ℓの値によっても曲線の形が違ってきそうです。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/2f/2c/a4ca55b349f5319c22cf2f43cf631b5e.jpg)
ℓ<-5のときは曲線上の(x,y)は存在しないようですから
-5≦ℓ≦-1の場合を考えればよい,そしてℓ=-1の場合だけ形が他と違う,
とりあえずそういうことが分かりました![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0194.gif)
それでは微分して増減を調べてグラフを描いてみましょう~
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/04/6d/c3a707596bd7abe858c5bd430f157940.jpg)
ℓ=-1のときだけx→-∞のときf(x)→0となっていて
-5≦ℓ<-1のときはℓ=-1の曲線をクシュッと萎ませたような形になっているようです![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/pakukapa.gif)
次はy=g(x)について考えましょう。今度は真数条件も必要です。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/71/ed/22157465086d5830f0867287514e7a42.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/73/76/72a5f883847395a58d5b6b65bc0b637e.jpg)
今回も-5≦ℓ≦-1の場合を考えればよさそうですね![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/kawauso.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/65/68/fb2d83359aad74538f153f82b9ad7c04.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/16/9a/5b7cbd967ee592f768541f8812f58b8d.jpg)
なんとか問題文の条件式が表す領域を図示することが出来ました![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/eto_tatsu.gif)
領域Dの境界は上下ともℓ=-1のときの曲線になっています~
この領域と曲線 2^x+3^y=k が共有点を持つようなkの範囲を求めればいいわけですね!!![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/onigiri_1.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/26/6d/f98f4703ce35ad317851a3344f815de1.jpg)
y=F(x)のグラフは右下がりの曲線であることが分かりました。
どうも第1象限で領域Dと接することがありそうですよね。
第4象限では微妙です![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/kuma_fly.gif)
まずは第1象限で接するときのkを求めてしまいます。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/14/25/0e30ba118dd4f01f5157dfe08ab2c1f4.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/4c/29/413cbb4bfd834f7f7a112a4b531c381d.jpg)
なんともウンザリする連立方程式![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/rabi_cry.gif)
解く気なんか起きやしません。て言うかキレイに解けるのかコレ![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/bakeneko.gif)
…と思って式をいじってみたら,意外とイケたりしました![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/xmas_tonakai.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/20/79/4323c528100885a8bc5bf8dae8322f5b.jpg)
y=F(x)のグラフはx=log_2 (k)を漸近線として持つので,とりあえず
log_2 (2-√3)<k≦3+2√2 のときは,y=F(x)のグラフは領域Dと共有点を必ず持ちます![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0245.gif)
では,log_2 (2-√3)≧k のときはどうなんでしょう。
実は常にy=F(x)のグラフは領域Dの下側に位置して,そのおかげで共有点を持たなくなってしまいます。
そのことをこれから確かめていきます![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0234.gif)
ちなみに境界曲線とy=F(x)のグラフが交点を持たないことを示せばOKです~
漸近線 y=log_3 (k)(<0) がy=0より下側にあるため,境界曲線との交点が無ければ常にy=F(x)のグラフのほうが境界曲線より下にあります。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/7a/8e/240602adde3ecd74d3f8cb0223b3cb74.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/69/5f/e920b67d2d33fd8806f3eb6edb3291dd.jpg)
交点を持つと仮定して矛盾を導く,すなわち背理法!
それを試してみましょう![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/ladybug.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/1d/c7/2ab382badbb342fd0efe3e7a05264461.jpg)
いま求めたtが0<t<kを満たさないことを確かめるには,
k≦tとなっていることを言えばよいわけです![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/dog_angry.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/73/82/d38fc49deef778d7c6afd940d7cee4df.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/43/54/3ee5c3bfb39b6d2546ff925e5fc17574.jpg)
以上をまとめて,答えの範囲を得る,ということでおしまいです![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/win_night.gif)
おとなしく変数変換してとくほうが何倍も早いし明瞭ですね![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/mug.gif)
お疲れ様でした
前回に引き続き,今年の東北大入試(後期)理系数学の第1問をやっていきます~
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/kaeru_fuku.gif)
問題はこちら
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/hikari_blue.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/15/4e/82b11b7604176780c015009f879dba14.jpg)
前回:http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/fab5be206484546f5b690be5269a4275
今回も(1)についてやっていきます~
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/hiyob_en.gif)
前回は主に2^x=X,3^y=Yなどと変数変換して解く標準的な解法パターンで
取り組んでみましたが,今回は変数変換しないで2変数の指数関数だと思って
問題の条件式が表す領域を考えて解くパターンを考察してみます
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/eto_tori.gif)
無論,標準的な解法よりもめんどくさいです
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/body_lazy.gif)
敢えてやってみる,という趣旨でやっていきましょう~
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/clover.gif)
問題文で与えられているのは
4^x-4・2^x+9^y-2・3^y≦-1 という不等式です。
そこで,ℓ≦-1を満たすℓに対して曲線 4^x-4・2^x+9^y-2・3^y=ℓ を考えます
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/dog_smile.gif)
ℓを変化させて,この曲線の軌跡を調べることによって
4^x-4・2^x+9^y-2・3^y≦-1 が表す領域Dを把握することが出来ます
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/cake.gif)
4^x-4・2^x+9^y-2・3^y=ℓ を「y=」のかたちで表示します
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0028.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/12/de/2255a3aef67407f5babc4f27b9f3905f.jpg)
まずはf(x)について考えていきましょう~
f(x)=log(
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/insect_kuwa_m.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/insect_kuwa_m.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0060.gif)
でもxの動きうる範囲は全実数では無さそうです。
また,ℓの値によっても曲線の形が違ってきそうです。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/2f/2c/a4ca55b349f5319c22cf2f43cf631b5e.jpg)
ℓ<-5のときは曲線上の(x,y)は存在しないようですから
-5≦ℓ≦-1の場合を考えればよい,そしてℓ=-1の場合だけ形が他と違う,
とりあえずそういうことが分かりました
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0194.gif)
それでは微分して増減を調べてグラフを描いてみましょう~
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/04/6d/c3a707596bd7abe858c5bd430f157940.jpg)
ℓ=-1のときだけx→-∞のときf(x)→0となっていて
-5≦ℓ<-1のときはℓ=-1の曲線をクシュッと萎ませたような形になっているようです
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/pakukapa.gif)
次はy=g(x)について考えましょう。今度は真数条件も必要です。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/71/ed/22157465086d5830f0867287514e7a42.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/73/76/72a5f883847395a58d5b6b65bc0b637e.jpg)
今回も-5≦ℓ≦-1の場合を考えればよさそうですね
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/kawauso.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/65/68/fb2d83359aad74538f153f82b9ad7c04.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/16/9a/5b7cbd967ee592f768541f8812f58b8d.jpg)
なんとか問題文の条件式が表す領域を図示することが出来ました
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/eto_tatsu.gif)
領域Dの境界は上下ともℓ=-1のときの曲線になっています~
この領域と曲線 2^x+3^y=k が共有点を持つようなkの範囲を求めればいいわけですね!!
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/onigiri_1.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/26/6d/f98f4703ce35ad317851a3344f815de1.jpg)
y=F(x)のグラフは右下がりの曲線であることが分かりました。
どうも第1象限で領域Dと接することがありそうですよね。
第4象限では微妙です
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/kuma_fly.gif)
まずは第1象限で接するときのkを求めてしまいます。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/14/25/0e30ba118dd4f01f5157dfe08ab2c1f4.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/4c/29/413cbb4bfd834f7f7a112a4b531c381d.jpg)
なんともウンザリする連立方程式
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/rabi_cry.gif)
解く気なんか起きやしません。て言うかキレイに解けるのかコレ
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/bakeneko.gif)
…と思って式をいじってみたら,意外とイケたりしました
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/xmas_tonakai.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/20/79/4323c528100885a8bc5bf8dae8322f5b.jpg)
y=F(x)のグラフはx=log_2 (k)を漸近線として持つので,とりあえず
log_2 (2-√3)<k≦3+2√2 のときは,y=F(x)のグラフは領域Dと共有点を必ず持ちます
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0245.gif)
では,log_2 (2-√3)≧k のときはどうなんでしょう。
実は常にy=F(x)のグラフは領域Dの下側に位置して,そのおかげで共有点を持たなくなってしまいます。
そのことをこれから確かめていきます
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0234.gif)
ちなみに境界曲線とy=F(x)のグラフが交点を持たないことを示せばOKです~
漸近線 y=log_3 (k)(<0) がy=0より下側にあるため,境界曲線との交点が無ければ常にy=F(x)のグラフのほうが境界曲線より下にあります。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/7a/8e/240602adde3ecd74d3f8cb0223b3cb74.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/69/5f/e920b67d2d33fd8806f3eb6edb3291dd.jpg)
交点を持つと仮定して矛盾を導く,すなわち背理法!
それを試してみましょう
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/ladybug.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/1d/c7/2ab382badbb342fd0efe3e7a05264461.jpg)
いま求めたtが0<t<kを満たさないことを確かめるには,
k≦tとなっていることを言えばよいわけです
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/dog_angry.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/73/82/d38fc49deef778d7c6afd940d7cee4df.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/43/54/3ee5c3bfb39b6d2546ff925e5fc17574.jpg)
以上をまとめて,答えの範囲を得る,ということでおしまいです
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/win_night.gif)
おとなしく変数変換してとくほうが何倍も早いし明瞭ですね
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/mug.gif)
お疲れ様でした
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/gp23.gif)
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