2012年東北大入試理系数学第5問その2

どもども。


前回の続きで，今年の東北大入試理系数学大5問をやっていきます～

問題はこちら


前回：http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/f1a1552b0f62a5288353193aa02a403e



前回は(1)をやったので今回は(2)です～
この図においてｙが最大になるときのｘを求める問題です
要は微分して増減を調べるのですが，
どの形で表現したｙを採用するかによって楽に解けるかどうかが左右されてしまいます
そんなわけで(1)でどのような解法を採用したかが既に勝負の分かれ目になってしまうことも考えられます

といっても，一番オーソドックスな解法で出てくる形の式を採用すれば特に困難はありません
ただし，変数はｘではなく前回使ったθ（＝∠ＰＢＱ）を使うのがよいです
（１）ではｙをｘの式で表すよう指示したくせに，実はｘの関数で計算すると結構大変なんです

前回挙げた解法たちをから色々なｙの表示式を得ることが出来ます



今回はそれぞれの形からスタートして微分していくことにします～

先ほど述べたようにｘを変数とするよりもθを変数としたほうが基本的には楽です

そんなわけで(A)より先に(B)からやってみたいと思います

(B)の形から考察するパターン


そんなわけで早速ｙを微分してみます～


分子は割とシンプルな形をしていますね～
これならｙ'＝０を満たすθを探すのは容易そうです



ルートの中に３乗根が入ってるという，なかなか凄まじい値が出てきました
もっと分かりやすそうな値が出てきそうな問題なんですが，面白いですね

しかしながら，このような凄まじい値が答えであるために，方針選びで失敗すると
この答えを導くのに非常に苦難を強いられることになってしまうのです


ところで，今回のｙは正の値を取るわけですので，ｙの増減ではなく
1/yの増減を調べて最小値を取るときのｘを調べるという方針が存在します
今回の問題ではｙよりも1/yの方が簡単になります～
そっちをちょっとやってみましょう～



逆数を取るみたいな，ちょっとした工夫で問題が簡単になるのはよくあることです～
こうした工夫を見つけられるようでありたいものです～

(A)の形から考察するパターン


(１)で求めた一番オーソドックスなｙの形だと思います。
しかしながら分数かつ無理関数なので，微分の計算は大変です。
落ち着いてやらないと大抵こういうのはケアレスミスが出ます



分子をムリヤリX^3-Y^3の形に見立てて因数分解しています。
もしそういうやり方ではなく，｛(1-x^2)√(1-x^2)｝^2=(√３x^3)^2
を考えて無理方程式ではない形にするというやり方もあります
通常はそのやり方で問題ないのですが，今回は答えが凄い値なので
整理した高次方程式の解を自力で探して因数定理という作戦が
なかなかうまくいきません
普通はｘ＝１とか２とか√２とか分かりやすい値を代入してうまくいくので
それが上手くいかないことで，「あれ！？計算ミスしたかなあ」と思って
ムダに見直しに時間を割いてしまったり…　なーんてことにもなりかねないですね
経験上，この手の問題は角度を変数にする方が大体上手くいきます



(C)の形から考察するパターン


今度は(A)の形の分母を有理化したパターンです～
こんなの計算ミスすること必至ですね



ｙ'=0の解を求める際，決して√を無くして１０次方程式に帰着させようとしないことです。
解を求めるのが非常に困難になります
でもそれをしなかったとしても，この形から答えまで到達するのはかなり苦慮しそうです。
我々は既に別の解法で，どのような分子の値が出てきて欲しいか知っているので
どうにかこうにかそれに近付けていくことにします。ただ，何も知らない状態からではかなり詰んでます




(D)の形から考察するパターン


三角関数の合成と２倍角の公式を用いてｙを見やすくした形です。
しかしながら，微分を計算するにあたっては，sinとcosの中身に統一性がないために，
逆に不便になってしまいます





(E)の形から考察するパターン


これも(D)と同様です～




(F)の形から考察するパターン


こちらも計算ミスには注意しましょう～