2012年東北大入試（後期）理系数学第１問その3

どもども。　　　
　　　

今回は今年の東北大入試（後期）理系数学第１問の(2)をやっていきます～　　

問題はこちら


前々回：http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/fab5be206484546f5b690be5269a4275
前回：http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/d0512f3c3bb938617512fb0ce731a08d

(2)は(1)と直接の関連性はないので，前回までのことは一旦置いておいてＯＫです
解法パターンは色々ありそうですがかかる手間は大差は無さそうです。
色々あるといっても，変数変換するかしないかという選択だと思いますが

4^x-2・2^x+2^y≦０が表す領域を考える解法

前回やった話と同じようなやり方をします
4^x-2・2^x+2^y＝ℓ（ℓ≦０）が表す曲線のグラフを考え，ℓを動かしたときにどのような範囲を動くかを考察し
4^x-2・2^x+2^y≦０が表す領域Ｄをまず求めます





境界は上に凸な曲線で，ℓ＝０のときの曲線に対応しています。
これと直線ｘ＋ｙ＝ｋが共有点を持つようなｋの値の範囲を求めます。
領域と接するときのｋをｋ_1とおけば，ｋ≦ｋ_1が求める答えです



ｙを消去する解法その１

ｘ＋ｙ＝ｋとおくと，ｙ＝ｋ－ｘになるので，これを代入することで
ｙを消去して考えることが出来ます



まずはこの左辺をf(x)とおく解法を見てみます



ｙを消去する解法その２

指数関数のグラフより多項式のほうが考察はしやすい！
というわけで上と同じやり方で途中で２^x=tとおいてｔの3次関数に帰着してみます





ｙを消去する解法その３

今度は条件式をｋ≦f(ｘ)の形に直してみます
こうすると，y=f(x)のグラフと直線y=kが交点を持つ条件に帰着します。



２^x=tなどとおいてみてもOKですよ～

2^x=X，2^y=Yとおいてみる解法

次は変数変換を使って解きます
(1)では多くの人が変数変換を使ったと思うので，恐らく(2)でも同じように変換した人が多いのではないかと思います
(1)と違って変数変換したからといって劇的に楽になるわけではないようです～







共通接線を求めるやり方としては，今回は次のような手も使えます