2012年東大入試理系数学第1問

と，いうわけで（どういうわけで？），
このブログでは主に様々な入試問題などにゆるゆる～とチャレンジしてみようと
思うわけなのです(´ワ｀*)

しかしながら，なかなか最初の1回目に何を取り上げてみようかというのは
悩みますね
とりあえず，最初ですので分かりやすく今年の東大理系数学の第１問を選んで
みることにしました～

問題文はこちらです
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/tokyo/zenki/sugaku_ri/mon1.html

数学の受験勉強をする上で，応用力をつけるトレーニングの１つとして
１つの問題に複数の解法を与えてみるというものがあります。
自分で１回解いておしまい，とか，先生の解答や問題集の解答をみておしまい，
とかにせず，同じ問題を色んな解き方で再考してみる。
発想の幅を広げるのにとても良いです
今回も幾つかのアプローチの仕方を考えてみたいと思います。


さて，図形と方程式の問題は非常に解法のパターンが多く考えられる単元ですね。



今回の問題はＡＢの長さが最大になるときのcosθを求めよというものです。
主な解法としては大きく，直線ｌの傾きを変数に取るか角度θを変数にとるか
の２通りに分けられるかと思いますので両方やってみましょう

まずは準備としてＰ，Ｑの座標を求めておきましょう。



続いてＡＢの長さＬを求めます。はじめは直線ｌをy＝ｍｘとおいて，
ｍを変数にしてみます。



ＡＢをＯＢ－ＯＡとして求めるのが楽そうですね

ちなみに　－√２m^2＋６ｍ－√２＝０　を解くと
ＯＰ，ＯＱの傾き　ｍ＝(3±√7)/√2　が出てきます。
Ｌ＝０のときですから，まぁ当然ですね
これを利用してｍの範囲を求めるならば
最初にＰ，Ｑの座標求める作業は省けそうです。

Ｐ，Ｑの座標を求めていると，方ベキの定理からＡＢを求めてしまう，
なんて方法も考えられますね～(゜д゜)




続いては問題文で与えられた角度θを変数にしてＡＢを求めてみましょー。



Ｂ（sin2θ,1－cos2θ）というのは下図を見れば分かりやすいかもですが
∠ＢＣＯ＝2θを用いた，シンプルな円のパラメータ表示そのものです。
（（cos(2θ-π/2),1+sin(2θ-π/2)）と書くと更に分かりやすいかも？）
さて，図形の性質なんかを利用すると簡単な計算だけで求めることができます。



同様にＲを(0,2)として接弦定理を用いれば△ＯＢＲは∠Ｂが直角の
直角三角形になります。∠Ｒ＝θよりＯＢ＝ＯＲsinθ＝２sinθ
が求まります。これはなかなかＯＢ求めるまで素早いですね



では，求めたＬを微分して最大となるときを求めてみたいと思います。
まずはｍを変数としたバージョンからいってみましょう。



3次式の因数分解で因数　ｍ－√2　を見つけるのが多少面倒かも？
ｍ＝1/√3　のときＬは最大値　√6/3　を取ります。
ｍ＝tanθですので，あとはcosθを求めれば終了というわけです。

ではθを変数とした場合はどうなるでしょうか。



tanθの3次式にしてしまえば先ほどのｍを変数とした場合と同じ式が
出てきますね。cosθの方程式を解こうとすると6次方程式が出てきますが
簡単な形なので，まぁ何とかなります。あとはＬを求めて終了となります。

恐らく，基本的な解法は大体こんなトコでしょうかね？
最後にちょっとだけ変則的なこともしてみましょう。
θを用いるとＬは比較的シンプルな見た目にはなるんですが，
戯れにこれを内積を使って　Ｌ＝（2,－√2/3）・（sinθ,1/cosθ）　
などと表示してみましょう。正射影の考え方からＬが最大になる条件を
考えます。



他にも解法は色々考えられるのかもしれませんが，
今回はこれくらいにしておこうと思います。
ケアレスミスとか多い人なんで，なんかあったら教えてちょ

今後もこんな感じで，なるべく複数の解法アプローチなどを考えていけたらと
思います

では次回もゆるゆる頑張りましょーー







追記（2012年11月15日）
この記事に関する追記をこちらに挙げています～～
http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-43.html