2012年東北大入試（後期）理系数学第１問その１

どもども。


前回までで今年の東北大の理系数学をやり終えたわけですが，
次はそのまんま後期の理系数学に突入したいと思います

後期の問題だからといって前期と比べて一段と難しくなってるわけではなく
比較的標準的な難度の問題もありますので，臆することなく取り組んでいきましょう

今回は第１問で，２変数の指数関数に関する値域の問題です

問題はこちら



(１)と(２)は独立しているので，同じような単問が２つあるような感じです。
今回は(１)をやっていきます


２^x＝Ｘ，３^y＝Ｙと変数変換して円と直線の問題にする考え方

さて，パッと問題を見てまず何をしたくなるか。
そのインスピレーションは大事ですね
ここではズバリ，２^x＝Ｘ，３^y＝Ｙと変数変換をしてしまいたくなることが期待されます～

そのような変数変換をすると，やり慣れた円と直線に関する領域の問題になってしまうので，だいぶ恐さは軽減されるはず
２^x＞０，３^y＞０より，Ｘ＞０，Ｙ＞０であることに注意です
しかし，そのことにさえ気を付ければもはや指数関数のことは忘れていいです。
元が指数関数だってことが影響を及ぼすのはＸ＞０，Ｙ＞０の部分だけなんですねー



(X,Y)の存在領域Ｄはトンネルの入り口みたいな形をしているようですね
これと直線X+Y=kが共有点を持つようなｋの範囲を求めればいいわけです～

この直線のｙ切片がｋなので，円（X-2)^2+(Y-1)^2=4と上の方で接するときのｋが上限であることは分かりやすいです

下限は下の方で円と接するときのｋか，あるいは直線X+Y=kが円とｘ軸の交点(2-√3，０)を通るときのkか，
どちらか大きいほうになります
恐らくは，後者の方が大きいんだろうという予感はプンプンしますので，そういう気持ちで両方求めてみましょう



k_1,k_2の求め方は他にもいくつかあるでしょう
Y=-X+kを円の方程式に代入して(判別式)＝０　とするのもありますし
接線の傾きが-1になるようなkを求めるという手もあります。
接点を初等幾何的に簡単に求められるので，その点を通る傾き-1の直線を求めるというのもありますね。

k_3は(2-√3，０)を通る傾き-1の直線を求めるのが手っ取り早いかと～



k_1＜k_3であることが分かったので，k_3＜ｋ≦k_2のときにちょうど直線X+Y=kはｙ切片がk_3＜ｋ≦k_2の範囲にあるので
領域Ｄと共有点を持つことが分かります。コレが求める答えになります
なお，(2-√3，０)は領域Ｄに含まれていないのでｋ＝ｋ_3は答えに含んではいけません～




多分これが一番標準的な解法でしょう。
次は，毎度の如くそれ以外のアプローチを試してみたいと思います


２^x＝Ｘ，３^y＝Ｙと変数変換して一方の変数の値を固定して考える


上の解法と領域Ｄを求めるところまでは一緒です。
直線X+Y=kと円の位置関係を考えるのではなくて，領域Ｄ上の点(X,Y)に対して
2変数関数 k(X,Y)=X+Y の取り得る値の範囲を考えます
直線Y=sと領域Ｄが交点を持つのは０＜ｓ≦３の場合です。
2変数だと厄介なので一旦YをY=s（０＜ｓ≦３）に固定して，直線Y=sと領域Ｄの共通部分である線分上のX限定でk(X,s)=X+sの取り得る値の範囲を求めたいと思います



まずはｓ≠１すなわち，０＜ｓ＜１，１＜ｓ≦３の場合を考えましょう。
ｋの取り得る値の範囲を求めるのは容易です
そして，ｓが動いた場合にこのｋの範囲は変動するので，それをすべてのｓの分を合併することで
固定したｓに捉われないｋの取り得る値の範囲が求められます





2-√3＜f(s)≦５がｋの下限の動き得る範囲になります～
上限についても同様に考えます。
そしてｋの取り得る値の範囲を求めてみましょう



あとはｓ＝１の場合のｋの範囲を付け足せば答えになります




無理関数(実は楕円)が出てきたため，最初の解法よりも面倒でしたね
この程度の手間といえども，試験場では大幅に時間が取られてしまいます。


３^yを消去する考え方


２^x+３^y=kとおくと，３^y＝ｋ－２^xとなるので，これを
条件式に代入することで，ｘとｋに関する条件式が得られます。
この条件式を（ｘを固定して）ｋに関する2次不等式だと思って解いて，あとは上の解法と同様ｘを動かしてkの範囲を求める
というパターンでやってみます



指数関数が邪魔なので 2^x=t とでもおいておきましょう。t>0に注意です～
しかし，注意すべきはそれだけじゃありません
①式より，ｋ＞ｔという制約があります。
2次不等式の解の下限 １+ｔ－√(4t-t^2) とｔの大小関係によってｋの範囲が

ｔ＜１+ｔ－√(4t-t^2) のときは　１+ｔ－√(4t-t^2) ≦ｋ≦１+ｔ＋√(4t-t^2)

ｔ≧１+ｔ－√(4t-t^2) のときは　ｔ＜ｋ≦１+ｔ＋√(4t-t^2)


になってしまうことを見落としてはいけません。
加えて，ルートの中身の4t-t^2が「≧０」となる条件も必要です。
それではまずｔ＜１+ｔ－√(4t-t^2) の場合を考察しましょう







これで下限の範囲が得られました。続いては上限です




あとは③④を合併して



次に，ｔ≧１+ｔ－√(4t-t^2) のときを考えます
やることはさっきと同じです～



あとは⑤と⑥を合併すれば答えになります






次回もこの(１)を考えてみます～
変数変換しないで純粋にｘ，ｙの関数として与えられた条件不等式の表す領域を求めて考えることを試してみたいと思います。
円と直線の話に帰着されずに，よくわかんない形の領域が出てくるので複雑になります