2012年東北大入試理系数学第1問その1

どもども。


今回からは今年の東北大入試理系数学の問題をやっていこうと思いますです～
と言いますのも，当方，現在宮城県在住なものでして，
そういうのもあってここらで東北大の問題でもやっつけましょう～っていう話なわけであります

そんなわけで今年の問題を見てみますと，
難易度的には並，といった感じで標準的な入試問題っぽいセットになってます。
簡単そうに見せかけといて，意外とうっかりつまずいちゃうかもしれない，
しかもそのまま動揺が止まらなくなってしまうかもしれない，
そんな予感がするのは１，５，６あたり？
落ち着いてやれば決して出来ないことはない問題ですので，頑張って泥沼に沈まないようにしたいところです。

ではでは今回は第1問です
問題はこちら


2つのパラメータs，tが動くときの(x,y)の存在領域を求める問題です～
こういうの嫌いな受験生，多いんじゃないでしょうか
考え方は幾つかあるので，その場その場で上手く使い分けられると素敵です
そんな幾つかの考え方を使って解いていってみます。

考え方１
(X，Y)という点が答えの領域に含まれているとしましょう～
ということは，何かしらのｓ，ｔ（ｓ≧０，ｔ≧０）が存在して
X＝ｓ＋ｔ＋１，Y＝ｓ－ｔ－１を満たしているわけですね。
それじゃあ，具体的にその「何かしらのｓとｔ」を求めてしまいましょうという作戦です。
実際にその「何かしらのｓとｔ」が求められたのなら，
確かにこの(X，Y)という点は答えの領域に含まれているわけだといえますね。




X＝ｓ＋ｔ＋１，Y＝ｓ－ｔ－１を満たす(ｓ，ｔ)がもしも存在するのなら
それはｓ＝(X+Y)/2，ｔ＝(X-Y-2)/2 というモノでなければならない。
そして実際にこのようなものが存在するのはX+Y≧０かつX-Y-2≧０という条件を満たしているときである
という理屈ですね～～


考え方２
ｓとｔという２つのパラメータがあるから話がややこしくなるんだ～
じゃあ～1個消しちゃえばいいじゃん～～
という発想です。
ｘ＝ｓ＋ｔ＋１……，ｙ＝ｓ－ｔ－１……
の2式を使えばｓとｔのうち片方を消去することが可能です。
例えば足せばｘ＋ｙ＝２ｓ……，引けばｘ－ｙ＝２ｔ＋２……
が得られますね。ただし，注意しなきゃいけないことがあります。
「かつ」という条件は「かつ」と同値なので，
くれぐれもだけを考えておしまいにしないようにしなきゃならんのです

さて，の考察ですが，これはｓをパラメータとした直線を表していますね。
ｓ（≧０）が動くことによって様々な直線を表します。
これらの直線の合併集合を考えることによってを満たす(x,y)の存在領域が分かります。
そこでその合併集合の中で特にｘ＝ｘ_0である部分を考えます。
つまりｘを固定する，とか，縦の切り口を考える，とか，そういう作業です
ｓがあれこれ動いたときにｙはどのような範囲を動くでしょうか。
ｘ_0ごとにそれを考えてそれを合体させれば全体の形が分かります。

一方でもまたｔをパラメータとした直線群を表しますので，こっちも同じように考察してください。
両方を同時に満たす領域が答えです





上の解答の中では「ｓ≧０，ｔ≧０よりｘ≧１なので」などと触れていますが
を考える上ではｓ≧０だけ考えれば実際は十分です（にはｔとかは無関係なので）。


考え方３
ｘ＝ｓ＋ｔ＋１をs，tに関する２変数関数だと思いましょう。
ｓ≧０，ｔ≧０のときのｘの値域はｘ≧１です
そこでX（≧１）を定数として，ｘ＝Xとなる(ｓ，ｔ)全体を考えます。
そのような(ｓ，t)たち限定で２変数関数ｙ(s,t)＝ｓ－ｔ－１の値域を求めるという発想です




考え方４
ｘ＝ｓ＋ｔ＋１，ｙ＝ｓ－ｔ－１をベクトル表記して
(ｘ，ｙ)＝ｓ(1,1)+ｔ(1,-1)+(1,-1)　と書いてみましょう
変形して，　(ｘ-1，ｙ+1)＝ｓ(1,1)+ｔ(1,-1)
この右辺は１次独立なベクトル(1,1)と(1,-1)の１次結合になってるわけですな
普段我々が使うｘｙ座標は，(ｘ，ｙ)＝ｘ(1,0)＋ｙ(0,1)と書き直すことが出来て，
(1,0)方向の成分がｘで(0,1)方向の成分がｙであるという解釈が可能でした
それと同じ考えをすればいいんですね～





長くなってきたので(２)は次回に回します～
今回と同じような手法などでやっていきます～