2012年京大入試理系数学第2問

どもども。

今回は今年の京大入試理系数学の第2問をやります
問題はこちら
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/kyoto/zenki/sugaku_ri/mon2.html

正四面体の切断面が正三角形ならその面は底面に平行だということを確かめる問題です。
誘導などは用意されていないので自分でアプローチの仕方を探ることになります。

さてさて，△ＡＢＣも△ＰＱＲも正三角形でＡＰ，ＢＱ，ＣＱが1点Ｏで交わるのだから，
この2つの三角形は相似の位置にあるじゃないかだから対応辺同士が平行なのは当然だ

と思ったそこのアナタその推論は本当に当たり前ですか？

後半ではそんな話にも触れてみます


とりあえず，正四面体ＯＡＢＣは1辺の長さを１として，
またＯＰ＝ｐ，ＯＱ＝ｑ，ＯＲ＝ｒとおいておきましょう。

まずはこういう問題を解くのに便利なベクトル様を用いた解法を挙げてみます。幾何的考察はほぼせずに計算だけで終わってしまうのが魅力です




後半の(イ)は (r-q)(p-q-r)=0 と同様に得られる (p-r)(q-r-p)=0 に代入してもＯＫです
この手の式は対称性から，1個求めておけばあとはサイクリックに文字を置き換えるだけで
他の式が得られます。

ベクトルの代わりに余弦定理を用いても同様の解答に仕上がります



(ア)(イ)の場合分けを考察するのに幾何的アプローチを用いるのもアリです。
(ア)のときは既にＱＲ//ＢＣが得られています。こうなるともはや△ＯＰＱと△ＯＰＲが
正三角形になることを述べるのは容易いはず。
(イ)のときはｐ＞ｑ＞ｒを仮定して構いません。そのときにＰＱ＝ＱＲ＝ＲＰとはなり得ないことをいえばＯＫ。



最初から幾何的考察でアタックするのもいいですね～
ｐ＞ｑ＞ｒと仮定して矛盾を導きましょう。
ＰＱ＝ｋとします。線分ＯＱ上の点ＳでＰＳ＝ｋとなる点は多くても2個しかありません。
そのうちの1個はＱです。もう一方をＳ'とすると，ＰＲ＝ｋ，ｑ＞ｒなので
ＯＲ＝ＯＳ'でないといけません。そうすると上の解答の（イ）みたいな話になってきますよ



次は幾何的アプローチ第2弾で，正四面体の展開図を利用した解法です
こうなるともはや立体ではなく平面上の図形に関する問題になってしまうので
立体問題が苦手な人には向いてるかもですね～



さて，後半は冒頭に挙げた相似の位置絡みの話をしてみます。
そもそも相似の位置とはなんであったか。

２つの図形ＸとＹがあり，Ｘの点とＹの点の間に1対1の対応が与えられているとする。
対応する２点を結ぶ直線がすべて１点Ｏで交わり，Ｏから対応点までの距離の比が常に一定であるとき，
ＸとＹは相似の位置にあるといい，
Ｏを相似の中心といいます

…ということでした
相似の位置に並べることができる，という条件で相似を定義することも多いです。

△ＡＢＣと△Ａ'Ｂ'Ｃ'が相似の位置にあるという状況も以下の図の例のように様々あります。


今回の問題は立体版ではありますが一番最初の例のパターンにあたります。
というわけでこのパターンに着目してみます。
半直線ＯＡ，ＯＢが作る角領域の中に△ＡＢＣと△Ａ'Ｂ'Ｃ'がある場合です。

(1)直線ＡＡ'，ＢＢ'，ＣＣ'が1点Ｏで交わる
(2)ＯＡ：ＯＡ'＝ＯＢ：ＯＢ'＝ＯＣ：ＯＣ'
が与えられていれば問題なく△ＡＢＣと△Ａ'Ｂ'Ｃ'は相似の位置にあります

しかし，今回の問題のように

(1)直線ＡＡ'，ＢＢ'，ＣＣ'が1点Ｏで交わる
(2)△ＡＢＣ∽△Ａ'Ｂ'Ｃ'

が与えられている場合は，果たして△ＡＢＣと△Ａ'Ｂ'Ｃ'は相似の位置にあると言い切れるのでしょうか



△ＡＢＣと△Ａ'Ｂ'Ｃ'はＣＡ＝ＣＢ，Ｃ'Ａ'＝Ｃ'Ｂ'の二等辺三角形とします。
それが上図のような配置になっているとき，見事にＡＣとＡ'Ｃ'及びＢＣとＢ'Ｃ'は平行になっていません。反例です。
しかしまぁ，向きが逆になってるので点の対応関係も逆になってるとすれば，
つまりＡ'とＢ'を逆にすれば対応辺の平行関係は成り立ってますね。



それとは別に，向きも同じとして，
対応する辺同士が平行にならない場合があると仮定して考察してみましょう。



直線ＢＡとＢ'Ａ'の交点をＰ(∠ＢＡＡ'+∠Ｂ'Ａ'Ａ＞１８０°と仮定して一般性は失われません。
＜１８０°なら図を上下ひっくり返せばいいので)，ＢＣとＢ'Ｃ'の交点をＱ，
ＣＡとＣ'Ａ'の交点をＲとおきます。
実はデザルグの定理より3点Ｐ，Ｑ，Ｒは同一直線上にあるのですが，まぁそれはまた別のお話

では，△ＡＢＣと△Ａ'Ｂ'Ｃ'の相似比を１：ｋとし，メネラウスの定理を使って考察してみます



かくて，

(a)４点Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃは同一円周上にある。
(b)４点Ｏ，Ａ'，Ｂ'，Ｃ'は同一円周上にある。

という必要条件が得られました。
逆にこの条件が満たされているとき，円周角の定理より
∠ＣＯＢ＝∠ＣＡＢ＝∠Ｃ'Ａ'Ｂ'，∠ＡＯＣ＝∠ＡＢＣ＝∠Ａ'Ｂ'Ｃ'
が従うので，２角相等で△ＡＢＣ∽△Ａ'Ｂ'Ｃ'となります。

従って△ＡＢＣと△Ａ'Ｂ'Ｃ'は相似の位置にあるとは限らず，
(a)(b)の条件が満たされている状況になっていることがある，
ということが分かりました
もちろん，そのような状況はいくらでも存在します。

ちなみに上の考察において，メネラウスの定理をもっと駆使すると
△ＰＡＡ'∽△ＱＣＣ'，△ＲＡＡ'∽△ＱＢＢ'もいうことができます。
下図で同じ色の印がついた角は等しくなってます



例えば△ＡＢＣと△Ａ'Ｂ'Ｃ'が正三角形である場合を想定しましょう。
∠ＡＯＢ＝６０°＋６０°＝１２０°でない場合は
(a)(b)の条件が満たされないので，このような位置関係になるのは
△ＡＢＣと△Ａ'Ｂ'Ｃ'が相似の位置に限るということが分かりますね
もしかしたら，（面倒なので考察してないですが），
立体版でも似たような話が成り立って，今回の問題なんかも実は瞬時に片付けられるのかもしれないですね。