リーマン予想と素数の謎と"２の４"(’20/8/5更新)〜天才オイラーの離れ業と素数の無限の大きさの考察と〜

　前回の”2の3”では､無限大の考察と逆数の和について述べましたが。今回はいよいよ素数の謎の心臓部である､”素数はどれだけ沢山あるのか？”を考えます。
　かのギリシャ時代の大天才ユークリッドですら､思いもつかなかった謎でした。
　そこでオイラーは､逆数の和はどれ位大きいのか？いやどれ位小さいのか？これにより素数の大きさを考えたんです。

　勿論､この問題の解決には天才オイラーの力が必要でした。
　そしてオイラーは遂に､素数の逆数の和が無限大という1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+･･･=∞を証明したんですが。彼が30歳(1737)の時ですから､平方数の逆数の和がπ/6²という”バーゼル問題”を発見し､天才オイラーの衝撃的デビューを飾った2年後の事でした。
　つまり､”素数の逆数の和が無限大”とは､素数の無限大が2べきや平方数よりも格段に大きいという事。ある意味､自然数と同じ位大きいと。
　オイラーは､”2の3”でも書いた様に､1+1/2+1/2²+1/2³+1/2⁴+･･･=2(ヤコブ)､
1+1/2²+1/3²+1/4²+･･･=π/6²(オイラー)､
1+1/2+1/3+1/4+･･･=∞(オーレム)､
の3式を既に見出してましたから､この素数の逆数の和が無限大であるという発見は､彼自身も驚きと同時に想定内でもあったでしょうか。
　つまりここにて､現代数学がギリシャ数学の分厚い壁を乗り越えたんです。 

天才オイラーの離れ業と

　それにしてもオイラーは､どうやって素数の逆数の和を計算したのか？これこそが天才の持つ離れ業である”積分解”なのだ。
　先ず彼は､自然数の逆数の和を”式ごとに素因数分解”しました。
　以下に示す様に､1+1/2+1/3+1/4+•••=(1+1/2+1/2²+1/2³+•••)×(1+1/3+1/3²+1/3³+•••)×(1+1/5+1/5²+1/5³+•••)ו••=∞ー①と変形した。
　つまり､素数毎のべき乗の逆数の和の無限積になってると。この時点で”無限和=無限積”というオイラー積の骨格が出来上がってたんです。
　
　①の右辺を展開する時､この無限個の各括弧内から1項ずつを選び､掛け合せた結果が､展開式の項として全て出てくるから､この等式が正しい事が直感的に解る。
　それに､各括弧内から各項を選ぶ際､初項の1以外を無限回選んで掛け合せると0になる。何故なら､1以外の項は最大1/2で､1以外の項を無限回掛け合せたものは､1/2を無限回掛け合せたものより小さいからだ。
　故に､1/2を無限回掛け合せれば0に収束し､1以外の項を無限回掛け合せたものものも0となる。
　よって､右辺の展開項として出てくるのは､有限個の括弧のみ1以外の項を選び､他の括弧からは全て1を選んだ項である。
　すると､”どんな自然数も､ただ一通りに素因数分解できる”(素因数分解の一意性)から､1/12=1/2²×1/3の様に､右辺の展開項には自然数の逆数が全て1回ずつ現れる。故に上の等式①が示せます。
　でも何だか直感的で曖昧？にも思えますが。

　事実､上の”一対一対応”で登場した右辺の展開項は､”有限個を除いた残りの無限個の素数に対し､初項の1を選択”したもののみで､これ以外の”無限個の素数に対し､第2項以降を選択”した項は計算に入れてない。そういう項は1未満の分数を無数に掛けるから0に収束するとみなし､無視したのが上の証明である。
　確かに､”個々の項は0に近づくかもだが､実際にはそんな項が無数に存在する為に､全て加えたものも0に収束するかどうかは自明ではない。そういう意味ではこの証明は不完全だ”と小山氏。
　しかし､”絶対収束してれば項の順序によらない”という定理があるので､それを用い､①の絶対収束を証明すれば､それで構わない。つまり､オイラー積は絶対収束というのが前提になるんですね。 

”無限積=無限和”とオイラー積の原型

　オイラーはまず最初に､①式の対数をとったんです。
　元々､対数とは全ての数を底の何乗かで表現する関数で､底が１より大きければ数の大きさに比例し､対数も大きくなる。
　そこで､無限大の対数は無限大より､①の左辺=∞より､log(①の右辺)=∞ですね。
　故に､log{(1+1/2+1/2²+1/2³+•••)×(1+1/3+1/3²+1/3³+•••)×(1+1/5+1/5²+1/5³+•••)ו••}
=log(1+1/2+1/2²+1/2³+•••)+log(1+1/3+1/3²+1/3³+•••)+log(1+1/5+1/5²+1/5³+•••)+•••=∞ー②。これまた”無限積=無限和”というオイラー積の原型になってます。

　ここで､log(1+x)のテイラー展開を考えます。log(1+x)=x−1/2x²+1/3x³−1/4x⁴+ •••≒x､−1<x<1でした。
　故に､log(1+1/2+1/2²+1/2³+•••)≒1/2+1/2²+1/2³+•••となり､同様に､log(1+1/3+1/3²+1/3³+•••)≒1/3+1/3²+1/3³+•••､log(1+1/5+1/5²+1/5³+•••)≒1/5+1/5²+1/5³+•••､7以上の素数pにても､1/p+1/p²+1/p³+•••､となります。
　よって②の右辺は､(1/2+1/3+1/5+•••)+(1/2²+1/3²+1/5²+•••)+(1/2³+1/3³+1/5³+•••)+(1/2⁴+1/3⁴+1/5⁴+•••)+•••=∞と変形出来ます。
　今問題なのは一番最初のカッコ内の和､つまり”素数の逆数の和”です。それ以外の部分は素数の2乗以上の逆数の和です。
　ここで､”2の3”で述べた､”平方数が非常に少ない”という事実を使う。
　つまり､1+1/2²+1/3²+1/4²+•••<2より､1/2²+1/3²+1/4²+•••<1となります。

　②の右辺の展開項のうち､素数が2回以上掛かってる項の和は有限(<1)であり､素数が1回しか掛かってない項の和は無限となり､素数の逆数の和が無限大であると。
　以上が､天才オイラーの得た結論､1/2+1/3+1/5+•••=∞の証明です。
 

素数は”非常に大きい無限大”である

　この結果､素数が”非常に多い”事が証明された。単に素数が無限大であるだけじゃなく､前回”2の3”で述べた様に､無限個存在する”べき乗数”や”平方数”よりもずっと”大きな無限大”である事を､ユークリッド以来数千年ぶりに､毅然とした定理として漕ぎ着けたのです。
　この”素数の逆数の和が無限大である”という”オイラーの定理”は､数学史上最大級の定理として讃えられるべきものである。

　それに､このオイラーの証明はユークリッドの方法を全く用いない。背理法を使い､素数が無限大にある事も使ってない。全ての素数の積に1を加えるというユークリッドのやり方も使ってない。
　つまり､ユークリッドの結果を元に新たな結果を上乗せしたんでなく､全く別証を得て同時に結果の改良まで成し遂げた点でも驚異に値する。
　小山氏の熱い咆哮が､天国のオイラーにまで届きそうですだ。
 

オイラー積からオイラーの定理へ

　最後に､”全ての素数pに渡る”オイラー積を使い､素数の逆数が無限大というオイラーの定理を証明します。
　”2の1”ではオーレムの定理と背理法を使った簡易な証明でしたが､ここでは背理法を使わない方法を紹介です。

　先ず､ζ(s)=Σₙ[1,∞]1/nˢ=Πₚ(1−p⁻ˢ)⁻¹で表されるオイラー積ですが。この両辺の対数をとると､logζ(s)=logΠₚ(1−p⁻ˢ)⁻¹=−Σₚlog(1−p⁻ˢ)。
　ここで､log(1−p⁻ˢ)のテイラー展開を使います。log(1+x)=x−1/2x²+1/3x³−1/4x⁴−•••でしたから､log(1−p⁻ˢ)=−(1/pˢ+1/2p²ˢ+1/3p³ˢ+1/4p⁴ˢ+•••)となり､logζ(s)=ΣₚΣₘ[1,∞]1/mpᵐˢー③となります。
　そこで､③の右辺=Σₚ(1/pˢ+Σₘ[2,∞]1/mpᵐˢ)
=Σₚ1/pˢ+ΣₚΣₘ[2,∞]1/mpᵐˢー④と変形し､この第1項のΣₚ1/pˢで､s→1としたのが”素数の逆数の和”なります。
　この時､ζ(s)もlogζ(s)も∞となり､④の右辺の第2項のΣₚΣₘ[2,∞]1/mpᵐˢの収束を示せば､念願の素数の逆数の和が無限大”Σₚ1/p=∞”が示せます。

　Σₘ[2,∞]1/mpᵐˢ<Σₘ[2,∞]1/2pᵐˢ
=1/2p²ˢΣₘ[0,∞]1/pᵐˢ=1/2p²ˢ*(1/(1−1/pˢ))<1/2p²ˢ*(1/(1−1/2))=1/p²ˢとなります。
　これは､Σmp>Σ2pよりΣ1/mpᵐˢ<Σ1/2pᵐˢ､またs>1より2<pˢとなり1/(1−1/pˢ)<1/(1−1/2)が成立し､Σₘ1/pᵐˢ=1/(1−1/pˢ)も無限等比級数の公式から明らかですね。
　以上より､Σₘ[2,∞]1/mpᵐˢ<1/p²ˢとなり､
ΣₚΣₘ[2,∞]1/mpᵐˢ<Σₚ1/p²ˢ<Σₙ[1,∞]1/n²ˢ<Σₙ[1,∞]1/n²=π/6²(バーゼル問題､1735)。
　故に④の右辺の第2項が収束し､よって､④の右辺の第1項である素数の逆数の和”Σₚ1/p”が無限大である事が証明できました。めでたしです。

最後に

　素数の性質である素因数分解と対数をとり､対数の性質である”無限和=無限積”と､そして､最後はテイラー展開を用いる事で､素数の逆数の和の無限大を証明し､素数の無限の大きさを実証したオイラーの見事な手腕は､現代数学の王道とも言えますね。
　この”素数の無限大に関する”オイラーの定理の別証明は多くの数学者によって発見されてます。
　｢素数とゼータ関数｣では､ポール•エルデシュ(1938)とヒレル•ファステンバーグ(1980)の別証明が紹介されてますが。全く素数の謎って今も深く広く息衝いてんです。

　次回”2の5”では､素数の占める割合が％である事と､n番目の素数の大きさ(粗い素数定理)についてサラッと述べる事にします。あくまでも予定です。