とね日記

理数系ネタ、パソコン、フランス語の話が中心。
量子テレポーテーションや超弦理論の理解を目指して勉強を続けています!

増補新版 4次元のトポロジー:松本幸夫

2011年03月05日 13時18分43秒 | 物理学、数学
増補新版 4次元のトポロジー:松本幸夫」(2016年8月に新版が刊行された。)

わかりやすいと定評の「多様体の基礎(東京大学出版会)」という教科書をお書きになった松本先生によるトポロジーの啓蒙書である。教科書の副読本のようなレベルなので、数式や数学記号アレルギーのある方には難しい本だ。

野口先生による「エキゾチックな球面(ちくま学芸文庫)」の終わりで触れられていた「4次元ユークリッド空間には無限に多くの微分構造がある。」という1982年のドナルドソンによる発見が、本書の付録でとりあげられているというので、1年以上前に買い求めておいたのだ。

本書が世に出たのは1979年。12年後の1991年に増補版として復刊、そして30年後の2009年に増補新版として再復刊された。それだけ読み継がれてきた良書だということ。

従って本編第1~10章、第∞章が1979年版にもともと書かれたもので、3つの付録の章と12年後のあとがき、30年後のあとがきはその後に書き加えられたものだ。本編は理数系の読者であればよく理解できるような内容、付録とあとがきはその後のトポロジー発展史の概要なので、大づかみに内容を知ってもらおうというのが著者の意図するところである。トポロジーの分野の専門家でない限り付録とあとがきの部分の説明をすべて理解することは不可能だ。

本編第1~10章では集合論からはじまるトポロジーの入門書であり、レベルは教科書並みである。説明重視で定理の証明がだいぶ省略され、証明のあらましは説明の中に文章として埋めこまれている。教科書というものには通常、理論として既にわかったこと、解明され尽くされていることだけ書かれているものだ。それに対して本書には発展的な内容やまだ解明されていない内容も紹介されているので、これらが読者の興味を引き起こしている。わからないこと、不思議な事柄に人は惹かれるものだから。

解説は集合論、位相空間、多様体、中間値の定理、最大値の定理、単体と複体、組み合せの考え方、複体の細分、オイラー標数など、トポロジーでは標準的な内容がまず展開される。次に他のトポロジー入門書にはあまり見られない「PL多様体(組み合せ多様体)」の理論が解説されていることだ。その後、簡単な群論入門、群の表示を説明して代数的トポロジーに入る。基本群やホモロジー群の考え方はここで学ぶ。代数的トポロジーについては本書と同じレベルの啓蒙書として刊行されている「トポロジー:柔らかい幾何学:瀬山士郎」が詳しいのでこちらもお勧めだ。

本書のウリである「4次元のトポロジー」は第9章から始まる。3次元球面の問題であるポアンカレ予想もそうだが、3次元と4次元のような低次元のトポロジーは高次元に比べて多くの難問をはらんだ世界なのだ。さしあたり解決済みのテーマとして交叉の理論、符号数の考え方、計算の仕方を4次元多様体を使って解説される。これらの考え方を使って理解できる「ロホリンの定理」が第10章で紹介される。

ロホリンの定理とは「コンパクト可微分4次元多様体がスピン構造を持つなら、その交叉形式の符号数は16で割り切れる。」というもので、4次元トポロジーの特殊性を示す代表的な定理だ。この定理のすごいところは4次元だけでなくさらに高次元のトポロジーの性質や定理にも影響を与えているところだ。

この章までは一生懸命に読めば理解できるレベルなので、僕のような大学生レベル(?)の読者にとってはうれしい。

第∞章はトポロジー専門家3人による対談。素人読者には難しすぎるが理解できなくても、1950~60年代に研究された4次元トポロジーってすごいんだなということが伝わってくる。

文献案内の章は大学生レベルの入門者に対するお勧め教科書の紹介、トポロジー研究者を志している人に対する論文の紹介から構成されている。トポロジーの教科書といっても、トポロジー自体にいろいろなアプローチ手法があるので1冊にすべてを収めることができないから、いくつか教科書をあたる必要があるのだ。後述するように僕がトポロジーの入門書を読みまくっているのもそのためである。

3つの付録の章では「4次元ポアンカレ予想の解決」、「4次元ユークリッド空間上のエキゾチックな微分構造」、「トポロジーにおける高い次元と低次元」が紹介されている。頑張ればどうにかあらましを理解できるレベルだが相当難しい。ちなみに近年ペレルマンにより証明されたのは4次元ではなく3次元ポアンカレ予想だ。4次元ポアンカレ予想のほうは1981年にフリードマンによって解決された。

最後の「12年後のあとがき」、「30年を経て」という章は初版刊行以降に解明された研究や理論を紹介している。何が解けないで困っているかということも含めてだ。最近のトポロジー発展史ともいうべき内容で、将来トポロジー研究者になろうとしている学生にとって役に立つガイドラインとなるだろう。僕のような素人には及びがつかないレベルで書かれているものの、4次元トポロジーの世界は不思議というより、奇想天外、不気味とさえ思えるほど困難なものだということが強く印象づけられる。アインシュタインの発見した4次元時空は彼が思う程度に単純なのだろうか? 関数解析で無限次元の関数空間、たとえばヒルベルト空間をあっさり認めて量子力学の定式化に使ってもよかったのだろうか?そんな気さえしてくるのだ。

余談:4次元トポロジーの数学的な不気味さとは観点が違うが、4次元空間での回転について不気味な動画を見つけたので紹介しよう。3次元物体を4次元回転させたものを3次元の影として投影したものだそうだ。説明はこのページを参照。

3次元空間にいる馬を4次元空間に移行させてみた映像「4D Rotation」
http://karapaia.livedoor.biz/archives/51666133.html

4D_Mandelbulb with rotation in 4D
http://www.youtube.com/watch?v=Ktqm_vYy5K8

4次元図形をステレオグラムで視覚化するページも見つけた。(説明はこちら。)

4次元図形の3次元表示(平行法)
http://www2s.biglobe.ne.jp/~mt_home/fourd/fourh.htm


ともかく量子力学の不思議な世界に出会ったときの「ざわざわ感」とは全く違う不可解さと驚愕が低次元トポロジーには潜んでいるのだ。ペレルマンによって証明された「3次元ポアンカレ予想」のあらましについても「30年を経て」という章で紹介されている。


読み応えのある本だった。物理学の最先端を目指すために寄り道ばかりしてはいられないはずなのだが、トポロジーの分野は、とてつもなく魅力に満ちた世界のようだ。まだまだ勉強を深めたいという欲求をおさえながら、次の本にとりかかることにした。

-----------------------------------

次に読むのは数式がたくさん書かれている数学の入門書、啓蒙書としては異例の成功を果たしたシリーズ本4冊にする。(大学で数学を専攻していた)僕にとっては易し過ぎるかもしれないが、あえて読むのはその人気の秘密をどうしても知りたくなったからだ。こんなに人気のある本を「とね日記」で取り上げないわけにはいかない。

そう、「数学ガール」シリーズのことだ。今日現在のアマゾンでのランキングは以下のとおり。刊行されたばかりの4冊目が総合ランキングで141位というのは確かにすごい。長沼伸一郎さんが1987年に成し遂げた「物理数学の直観的方法」以来の快挙だと思う。

数学ガール
Amazon ベストセラー商品ランキング: 本 - 1,292位
6位 ─ 本 > 科学・テクノロジー > 数学 > 一般

数学ガール/フェルマーの最終定理
Amazon ベストセラー商品ランキング: 本 - 2,365位
11位 ─ 本 > 科学・テクノロジー > 数学 > 一般

数学ガール/ゲーデルの不完全性定理
Amazon ベストセラー商品ランキング: 本 - 5,426位
12位 ─ 本 > 科学・テクノロジー > 数学 > 一般

数学ガール/乱択アルゴリズム
Amazon ベストセラー商品ランキング: 本 - 141位
1位 ─ 本 > 科学・テクノロジー > 数学 > 一般

あ、そうだ。武井咲をミルカさんに、上戸彩をテトラちゃんに重ねて読んでみよう。年齢は逆転しているがイメージ的に合う気がする。もし僕が映画監督だったとしたらキャストはこの二人を起用するだろう。「僕」は松山ケンイチあたりかな。贅沢なキャスティングだ。


応援クリックをお願いします!このブログのランキングはこれらのサイトで確認できます。
にほんブログ村 科学ブログ 物理学へ 人気ブログランキングへ 




関連記事:

トポロジー―基礎と方法: 野口廣
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/800644c256bbf68263b1d87928a43e11

トポロジーの世界: 野口廣
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/bae2cc71e524efff59ce2e11aa41e2c1

エキゾチックな球面: 野口廣
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/b3f1abb0ae2b139d53580261b22b9c87

エキゾチックな超球(高次元球面に関する45年越しの問題が解決したようだ)
http://www.nikkei-science.com/topics/bn0910_3.html

高次元空間の隙間の大きさ
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/4d65a6811aa35998e6246bb57025a974

トポロジーへの誘い―多様体と次元をめぐって:松本幸夫著
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/fc45854ef67aafbff51ce9432bd6184c

トポロジー:柔らかい幾何学:瀬山士郎
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/fd2f063cc8cd56690b9a430ad599d511

トポロジー―ループと折れ線の幾何学:瀬山士郎
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/e4eca3ae57f62fa8f37426c9da3f786f

トポロジー万華鏡〈1〉:小竹義朗、瀬山士郎、村上斉
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/456c561f6a72c5663b07c8938d2c3bf9

トポロジー万華鏡〈2〉:玉野研一、深石博夫、根上生也
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/ab8eef8aeb653b554edfeea6731e98ae

トポロジカル宇宙(完全版):根上生也著
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/246a5c64c600c9c12c303231173ee9e2


4次元のトポロジー:松本幸夫」(2016年8月に新版が刊行された。)


はじめに

第1章:まったく素朴な集合論
- 集合
- 写像

第2章:ユークリッド空間から位相空間へ
- ユークリッド空間
- 飛躍と連続
- 視界…ε
- 開集合と位相空間

第3章:多様体はめぐる
- 果てしなき宇宙
- 多様体
- トーラスと直積
- 射影平面

第4章:中間値の定理と最大値の定理
- 中間値の定理
- 最大値の定理とコンパクト性

第5章:組み合せの思想
- コーヒーでも飲みながら…オイラーの定理
- 点、線分、3角形
- 4面体と単体
- 複体と多面体
- 複体の細分
- オイラー標数

第6章:PL多様体入門
- PLトポロジー
- PL多様体
- 三角形分割と基本予想
- 閉曲面の分類

第7章:群とその表示
- 群
- 群の表示

第8章:代数的トポロジー
- 基本群
- 基本群の不変性
- 閉曲面の基本群
- 基本群の可換化
- ホモロジー群

第9章:4次元多様体の符号数
- 4次元における交叉の理論
- 符号数
- 符号数の性質
- 符号数の計算例

第10章:4次元の罠(わな)
- ロホリンの定理
- 球面の埋め込み
- ポアンカレのつまづき
- 三角形分割と4次元トポロジー

第∞章:“4次元”とは何だろう
- 対談:加藤十吉+小島定吉+福原真二+松本幸夫

文献案内
付録1:4次元ポアンカレ予想の解決
付録2:R?上のエキゾチックな微分構造
付録3:トポロジーにおける高次元と低次元
12年後のあとがき
30年を経て

索引
ジャンル:
ウェブログ
コメント   この記事についてブログを書く
« 未来は決定している? | トップ | 数学ガール:結城浩 »

コメントを投稿

ブログ作成者から承認されるまでコメントは反映されません。

物理学、数学」カテゴリの最新記事

関連するみんなの記事