トポロジー万華鏡〈1〉：小竹義朗、瀬山士郎、村上斉

「トポロジー万華鏡〈1〉：小竹義朗、瀬山士郎、村上斉」

トポロジー（位相幾何学）の一般向けの入門書としてアマゾンで評判がよいので、そろそろ大学の教科書レベルの本も読まなければなと思いつつ、千円台の中古本を見つけたので注文ボタンをクリックしてしまった。同じく入門書の「トポロジー:柔らかい幾何学：瀬山士郎」との読み比べである。

「トポロジー万華鏡」は「図版が豊富なくだけた教科書」のスタイルをとり、次のような章構成で６名の先生方が執筆を分担されている。

第１巻
第１章：距離空間の話（小竹義朗）
第２章：ホモロジー理論（瀬山士郎）
第３章：結び目理論（村上斉）

第２巻
第４章：位相空間入門（玉野研一）
第５章：ホモトピー理論（深石博夫）
第６章：位相幾何学的グラフ理論（根上生也）


第１巻の各章の感想は次のとおり。

第１章：距離空間の話（小竹義朗）
位相を学ぶ上での基礎となる「距離空間」、「点列の収束」、「開集合と閉集合」、「連続写像」、「コンパクト」、「完備」などの概念を手っ取り早く知るのにうってつけだ。ただし、ページ数の制限から「証明」は省略されているので、証明つきで学びたい方は「位相への30講：志賀浩二著」をお読みになるとよいだろう。

第２章：ホモロジー理論（瀬山士郎）
第１巻のメインである。「トポロジー:柔らかい幾何学：瀬山士郎」の中の第５章と第６章に相当する。同じ著者によるものなのだが、僕には本書の説明のほうがすっきりとしていてわかりやすいと思った。ホモロジー理論では、トーラスなどの曲面を二つに分離しないようにぐるっとひと廻りで切る方法が何通りあるかで穴の個数を数えて分類する。

本書ではトーラスなどの曲面で構成される図形を点と線で構成される多面体（複体）としてあらわし、それを切断したり「へり（境界）」を求めたりして多面体の性質を「群」と対応づけて計算する。その過程で登場する多面体の「r-チェイン」や「境界サイクル」の説明に具体例が豊富でとてもわかりやすい。ホモロジー群の導入部分以降については「トポロジー:柔らかい幾何学：瀬山士郎」のほうが詳しく説明している。ホモロジー論に特化した形での入門書ということであれば「柔らかい幾何学」のほうがいいだろう。

なお本書を読む初学者への注意点として、第１巻、第２巻を通して「群論」についての説明がないことがあげられる。トポロジーで群論は必須事項なので「群論への30講：志賀浩二著」などであらかじめ群論の基礎をマスターしておく必要があるのだ。これは読後に気がついたが、このままでは群論を知らない多くの読者が本書を途中で投げ出してしまうだろうと思った。２～３ページですむことなのだから、群論の初歩は本書に含めておいてもらいたいところだ。（今さら遅いが。。）

第３章：結び目理論（村上斉）
前半は図形の変形の具体例に頼った視覚的な説明が続く。イメージを豊かにして結び目理論の初歩を知るためのトレーニングだ。後半から写像や群論が導入されるが「いきなり数式？」という感じが否めない。後半がちょっと説明不足のように思った。結び目理論をこのページ数に自然な形でおさめるのはむずかしいのかもしれない。


第２巻については次回の記事で紹介しよう。

「トポロジー万華鏡〈2〉：玉野研一、深石博夫、根上生也」



今日紹介したのは第１巻のほうである。

「トポロジー万華鏡〈1〉：小竹義朗、瀬山士郎、村上斉」


目次：

第１章：点列を調べよう―距離空間の話―（小竹義朗）
- 近さを測ろう―距離の話
- 円板で近さを測ろう―開集合の話
- 点列はどこへ行く―閉集合の話
- グラフの切れ目を調べよう―連続写像の話
- 広がらないで―コンパクトの話
- すべて揃って―完備性の話

第２章：切ったり、貼ったり―ホモロジー理論―（瀬山士郎）
- つながり方とは―トポロジーの視点
- 切ったらわかる―曲面の切断線の話
- 貼っていいのは―曲面の構成
- 角があっても曲面―複体とは
- 曲面の足し算―複体のホモロジーと連結和
- 最後の一章―ホモロジー理論

第３章：結んでほどいて―結び目理論―（村上斉）
- 結んでほどいて―結び目理論―
- 結んで― 結び目の定義
- この世をば―3次元ユークリッド空間のさまざまな見方
- はって悪いは―3次元多様体の構成
- ひぃ，ふぅ，―，くぅ？―分岐被覆空間
- ほどいて―結び目のほどき方
- ほどけない―ほどけない結び目の存在
- ちょっと計算―ホモロジー群の計算


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