ヒルベルト空間と量子力学：新井朝雄

「ヒルベルト空間と量子力学：新井朝雄」

このひと月あまり個人的に楽しい出来事が目白押しだったので、物理や数学の勉強、ブログの記事がおろそかになっていた。それでもようやく昨夜「ヒルベルト空間と量子力学：新井朝雄」を読み終えることができた。

年明けから数学の本ばかり読んでいたので、物理学に少しだけ戻ってこれたのがうれしい。この本の最初の３分の２はヒルベルト空間や作用素解析など関数解析という数学が解説され、そして後の３分の１は量子力学という物理学の話である。

量子力学の数学的な定式化、基礎付けという分野で、本書は格好の入門書だと思った。通常、物理学の教科書で量子力学を学ぶと、その原理や基礎であるシュレディンガーの波動方程式、ハイゼンベルクの運動方程式、複素数であらわされる確率振幅、ハイゼンベルクの不確定性原理などは、学生がそれらを理解するために最小限のレベルで紹介されているのだが、その数学的な基礎付けはあいまいなまま残されている。物理学科の学生にとって特になじみにくいのが「作用素」だろう。（作用素は物理学では「演算子」と呼ばれている。）

つまり「観測可能な物理的な量（オブザーバブル）はヒルベルト空間上の自己共役作用素によってあらわされる。」という公理。「作用素」をきちんと理解しておかなければ、この公理は天下り的に鵜呑みにせざるを得ないからだ。

この「観測可能な物理的な量」によって、この世界を構成する物質や現象の実在性があらわされているのだから「自己共役作用素」という数学的な概念とその数学的な意味での実在性（数学理論構築の中でそういう作用素が存在することが証明でき、その性質が明らかになること）はとても重要なのだ。

量子力学を特徴づける本質的な部分は、数学の世界では「ヒルベルト空間」、「自己共役作用素」など関数解析と呼ばれる分野で厳密な証明が行われる。そして関数解析の基礎付けは「ルベーグ積分」や「測度論」、そしてそのベースは「位相空間論」、「集合論」などの数学が基礎となっている。年明けから続けてきた僕の数学の勉強は、ここにきて物理学と密接な関連をいったん示すことができたわけだ。

本書について、僕自身の理解度は数学の部分で９０％、量子力学の部分で８５％くらいだった。ヒルベルト空間論を含む関数解析は前もって他の教科書で学んでいたから自分としては満足のいく理解が得られていたが、もしこの本をいきなり読んでいたとしたら数学の部分の理解度は６０％程度にとどまっていたと思う。数学的な意味での実在性と物理学的な意味での実在性の関係が明快に示された名著だと思った。

誤解のないように言い添えておくが、数学という架空の論理的構築物によって現実世界の物理的な実在性を証明できるわけではない。数学によって明らかにされるのは表層として私たちの目にうつる物理現象や物理法則の間の関連の仕方の整合性を証明しているにすぎないのだ。

この本を読めば数学が物理学にとって単なる「道具」ではないことがよくわかる。たとえて言えば私たちが見ることのできるビルの壁面が物理的な観測対象であり、その内部の骨組みにあたるのが数学が果たしている役割である。けれども数学による説得力を過信してはならない。というのも数学によって裏打ちされる物理法則の間の整合性を美しくかつ不思議な偶然ととらえるか、あるいは神の摂理による必然ととらえるかは人間の感性の範疇のことであり、ここに科学と宗教あるいは科学と哲学の境界があるのだと思うからだ。

読後の感想としては、後半の量子力学系の解説にもう少しページを割いてほしかった。しかしこの部分については新井先生の他の（より進んだ）教科書でカバーできるので「量子力学に対する数理物理の入門書」という視点にたてば、このくらいに抑えておいたほうが筋書きがすっきりわかっていいのだろうと納得できた。

新井先生のより高度なレベルの本に進む前に、いったん初心にかえって量子力学の入門的な教科書を３種類読み比べてみることにした。さしあたり、小出昭一郎先生、猪木慶治＆川合光先生という代表的な２種類、そして人気度は若干劣るが新しいものとして江沢洋先生のを読んでみようかとも思っている。（ちなみに、理解度はそれぞれ異なっているものの朝永先生、ファインマン、J.J.サクライ、ディラックの量子力学はひととおり読んでいる。）

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2015年3月18日に追記：

本書の改訂増補版が2014年7月に刊行されていることに気がついた。こちらをお買い求めいただきたい。

「ヒルベルト空間と量子力学 改訂増補版：新井朝雄」


内容紹介：
ヒルベルト空間と線形作用素の理論の基本的なアイデアと結果を系統的に叙述し,ヒルベルト空間の形式を用いて量子力学の数学的基礎を解説。
改訂増補版である本著は,関数解析への接続を意識し,新たにバナッハ空間とコンパクト作用素についての記述をそれぞれ大幅に追加した。また,量子力学の応用例として「水素原子のスペクトル解析」についての章も追加している。
平成9年の初版以来,多くの方にご愛読を頂いた本書に,新たな応用的知識を増補することにより,ヒルベルト空間に関する更なる広い知識と深い理解の修得を目指す。2014年7月刊行、338ページ。（改訂前の版は276ページ）
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関連ページ：

ヒルベルト空間についてネットで学びたい方はこちらでどうぞ。

ヒルベルト空間（PDF文書）
http://tenasaku.com/academia/notes/hilbert-space-notes.pdf

発売情報： ヒルベルト空間と量子力学 改訂増補版：新井朝雄
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/84313bfed4331fe0c1343a55a531809a


今日紹介したのはこちらの教科書だ。

「ヒルベルト空間と量子力学：新井朝雄」


目次：

第１章：ヒルベルト空間
1.1　ベクトル空間
1.2　内積空間
1.3　ヒルベルト空間
1.4　正射影定理
1.5　完全正規直交系
1.6　L2(Rd)におけるいくつかの基本的事実

第２章：ヒルベルト空間上の線形作用素
2.1　線形作用素
2.2　有界線形作用素
2.3　有界線形汎関数とリースの表現定理
2.4　ユニタリ作用素とヒルベルト空間の同型
2.5　有界作用素の基本的性質
2.6　非有界作用素
2.7　作用素の拡大と共役作用素
2.8　閉作用素と可閉作用素
2.9　レゾルヴェントとスペクトル
2.10　自己共役作用素
2.11　自己共役作用素のスペクトル

第３章：作用素解析とスペクトル定理
3.1　正射影作用素
3.2　単位の分解と作用素値汎関数
3.3　作用素値汎関数の性質――作用素解析
3.4　スペクトル定理

第４章：自己共役作用素の解析
4.1　自己共役性に対する判定条件
4.2　本質的自己共役性
4.3　強連続１パラメータユニタリ群とストーンの定理
4.4　自己共役作用素の強可換性

第５章：偏微分作用素の本質的自己共役性とスペクトル
5.1　急減少関数の空間とフーリエ変換
5.2　偏微分作用素とその本質的自己共役性
5.3　スペクトル
5.4　一般化されたラプラシアン

第６章：量子力学の数学的原理
6.1　量子力学とはどういうものか
6.2　量子力学の基礎概念――状態と物理量
6.3　ハイゼンベルクの不確定性関係
6.4　正準量子化
6.5　状態の時間発展――シュレーディンガー方程式
6.6　物理量の時間発展――ハイゼンベルグの運動方程式
6.7　最低エネルギーに対する変分原理

第７章：量子調和振動子
7.1　量子調和振動子のハミルトニアンと固有値問題
7.2　固有値問題の抽象的定式化とその解
7.3　ハミルトニアンのスペクトルと固有関数


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