大人の数学教室098(集合と論理⑤)

【第5章】

(9)命題

正しいか正しくないか判断できる文を、「命題」という。正しい場合は「真」といい、正しくない場合は「偽」という。偽である例を「反例」という。

条件「p」に対し、条件「p でない」を、

条件「p」の「否定」といい、¬p で表す。

例)否定¬p

偶数↔奇数

=↔≠、＞↔≦、＜↔≧

p「nは偶数」、¬p「nは奇数」

p「x＞3」、¬p「x≦3」

命題p⇒qの真偽は、条件pが真であるすべての場合の条件qの真偽を問うているのである。

条件qがすべて真のとき、命題p⇒q は真

条件qが偽の場合があるとき、命題p⇒qは偽

p を「仮定」、q を「結論」という。

命題の真偽の判定には集合を使う。

条件p が真であることがらの集合をP,

条件q が真であることがらの集合をQ

とする。

・P⊂Q ⇔ 命題p⇒q が真

・P⊂Q でないときは、命題p⇒q は偽で、

P の要素だがQ の要素でないことがらが

反例になる。

例5)p:xは馬である

q:xは動物である

馬⊂動物 だから、命題p⇒q は真

例6)p:xは3の倍数である

q:xは9の倍数である

(3の倍数)⊃(9の倍数)だから

命題p⇒q は偽、反例はx=3

003【抱き続ける力】

@03【抱き続ける力】

分からないことを持っていると、苦しいものだ。苦しくなくても、何か気持ちがすっきりしない。

今は情報化社会。分からないことがあれば、インターネットを使えば、ほとんどのことが分かるようになる。すぐに答えが得られる。インターネットは多くの人の知恵の結晶と言っても良い。しかし気をつけないといけない。すぐに得られるからそれに慣れてしまって、分からないことへの耐性がなくなってしまう。

人の生活は、分からないものだらけである。しかもすぐに答えの出ないものも多い。そして知恵の結晶のインターネットも解決してくれないこともある。しかし生きていかなければいけない。そのときに役立つのは、分からないことを抱き続ける力ではないだろうか。抱き続けているうちに、解決したり、または解決方法が見つかったりするのではないだろうか。

(2017/11/13)

125で割った余り

2^2020を125で割った余りを求めよ。

大人の数学教室097(集合と論理④)

【第4章】

(7)要素の個数

集合Aの要素の個数を n(A) と表す。

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

n(¬A)=n(U)-n(A)

例)倍数の個数

U={n|nは20以下の自然数}

Uの部分集合A, B

A={n|nは3の倍数}、B={n|nは2の倍数}

1から20までの自然数を、3個ずつに分ける。20÷3=6…2だから、6つのグループと2個余る。

3の倍数は3nだから、グループの最後の数である。端数のグループには3の倍数はない。

3の倍数の個数=グループの数

3の倍数は、20÷3=6…2→6個→n(A)=6

2の倍数は、20÷2=10→10個→n(B)=10

A∩Bは、

2の倍数かつ3の倍数=6の倍数

6の倍数は、20÷6=3…2→n(A∩B)=3

A∪Bは、2の倍数または3の倍数

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)=6+10-3=13

¬Aは、3の倍数でない数

n(U)=20より、

n(¬A)=n(U)-n(A)=20-6=14

1からnまでの自然数のうち、mの倍数の個数は、n÷mの商である。

(8)分類❪雑談❫

物事を分類することを数学的に眺めてみよう。

どちらにも入るものがあれば、分類出来ない。

漏れがあってもいけない。

数学的に眺めると、

全体集合U

U=A[1]∪…∪A[n], A[i]∩A[j]=Ф (i≠j)

大人の数学教室096(集合と論理③)

【第3章】

(6)全体集合と補集合

ある集合Uの要素だけのみで考えることがある。集合U を「全体集合」という。

集合U の部分集合A に対し、集合U の元だけど集合A の元でないもの全体の集合を、集合A の「補集合」といい、¬A と表す。

(※ 本来の記号は、Aの上に横棒)

A∩¬A=Φ, A∪¬A=U

¬(¬A)=A

ド・モルガンの法則

¬(A∩B)=¬A∪¬B

¬(A∪B)=¬A∩¬B

A∪B

¬(A∩B)

¬A

¬B

¬A∪¬B

よって、¬(A∩B)=¬A∪¬B

A∪B

¬(A∪B)

¬A

¬B

¬A∩¬B

よって、¬(A∪B)=¬A∩¬B