【たすき掛けの代用の考察】

ax^2+bx+cの因数分解

youtubeで、たすき掛けを利用しない因数分解の紹介があった。

チャンネルは、

「ころりKORORI」

さんです。

たすき掛けで困っている人に是非紹介したい。

自分なりに考察してみました。

4x^2+11x+6の因数分解

掛けて4×6=24, 足して11→3,8

4x^2+11x+6

=1/4×(4x+3)(4x+8)

=1/4×(4x+3){4(x+2)}

=(4x+3)(x+2)

なぜか。

掛けてac、足してbになる数をα,βとする。

α+β=b, αβ=ac

ax^2+bx+c

=1/a×(a^2x^2+abx+ac)

=1/a×{a^2x^2+(α+β)ax+αβ}

=1/a×(ax+α)(ax+β)

因数分解できるのは、

D=b^2-4acが平方数のときだから、

α,βは整数で、αβはaの倍数

a=st, α=sp, β=tqとする。

1/a×(ax+α)(ax+β)

=1/(st)×(stx+sp)(stx+tq)

=1/(st){s(tx+p)}{t(sx+q)}

=(tx+p)(sx+q)

整数の範囲で因数分解できる。

例)6x^2-x-2

掛けて-12, 足して-1→-4,3

6x^2-x-2=1/6×(6x-4)(6x+3)

=1/6×{2(3x-2)}{3(2x+1)}

=(3x-2)(2x+1)

例)6x^2+5x+1

掛けて6, 足して5→2,3

6x^2+5x+1=1/6×(6x+2)(6x+3)

=(3x+1)(2x+1)

例)3x^2-7x-6

掛けて-18, 足して-7→-9,2

3x^2-7x-6=1/3×(3x-9)(3x+2)

=(x-3)(3x+2)

例)4x^2+7x-15

掛けて-60, 足して7→12,-5

4x^2+7x-15=1/4×(4x+12)(4x-5)

=(x+3)(4x-5)

係数が大きくなったら、

掛けて足してから2数を見つけるのが大変になります。

t^2-7t-60=0の解だから、

D=49+240=289=17^2

t=(7±17)/2=12,-5

例)24x^2+2x-15

掛けて-24×15=-2^3×3^2×5

足して2

α=2×a, β=-2×bとする。

αβ=-24×18→ab=2×3^2×5

α+β=2→a-b=1

→a=10, b=9→α=20,β=-18

24x^2+2x-15

=1/24×(24x+20)(24x-18)

=1/24×{4(6x+5)}{6(4x-18)}

=(6x+5)(4x-3)

たすき掛けの組み合わせが多いときには、便利なような気がします。

(おまけ)

x^2-30x-8424の因数分解

掛けて-8424=-6^2×2×9×13

足して30=6×5

α=6a, β=-6b

αβ=-8424→ab=2×9×13

α+β=30→a-b=5

a=18, b=13

α=108, β=-78

x^2-30x-8424=(x-108)(x+78)

大人の数学教室093(場合の数⑫)

【第12章】

(6)二項定理

(x+y)^n を展開した式を考える。

(x+y)^2=(x+y)(x+y)

x+yのどちらを選び、組み合わせてその積を考え、すべての和である。

前のxと後ろのx→x^2

前のxと後ろのy→xy

前のyと後ろのx→xy

前のyと後ろのy→y^2

よって、(x+y)^2=x^2+2xy+y^2

(x+y)^3=(x+y)(x+y)(x+y)

x+yのどちらを選び、組み合わせてその積を考え、すべての和である。

x^2yの出る組み合わせは、

xが2個、yが1個の組み合わせで、

3ヵ所のうち、2ヵ所からx, 1ヵ所からy

その総数は、C[3,1]

よって、

(x+y)^3

=C[3,0]x^3

+C[3,1]x^2y

+C[3,2]xy^2

+C[3,3]y^3

これを一般化すると、

(x+y)^nの展開式の(x^a)(y^b) (a+b=n)の係数は、C[n,a]=C[n,b]=n!/(a!b!)

(x+y)^n

=C[n,0]x^n+…+C[n,b]x^(n-b)y^b+…+C[n,n]y^n

この式を、「二項定理」という。

x=y=1とする。

C[n,0]x^n+…+C[n,b]x^(n-b)y^b+…+C[n,n]y^n

=2^n

二項定理を一般化すると、

(x+y+z)^nの展開式の(x^a)(y^b)(z^c)

(a+b+c=n)の係数は、

C[n,a]×C[n-a,b]=n!/(a!b!c!)