【正五角形の作図】

正五角形を作図したい。

【step1】正五角形の対角線の長さ
一辺の長さaの正五角形ABCDEを考える。
正五角形の内角は、180°(5-3)/5=108°
△AEDにおいて、△AEDは二等辺三角形だから、∠EDA=(180°-108°)/2=36°
よって、∠ADC=108°-36°=72°
同様に、∠ACD=72°
∠CAD=180°-(72°+72°)=36°
点Cを中心に半径aの円と線分ADのDと異なる交点をPとする。
△CDPは二等辺三角形で、
∠ACD=∠CDPだから、
△ACDと△CDPは相似である。
∠DCP=36°だから、
∠ACP=72°-36°=36°
よって、△ACPは二等辺三角形
AP=CP=CD=a
正五角形の対角線の長さをxとする。
△ACDと△CDPは相似だから、
AC:CD=CD:PD
x:a=a:x-a
x^2-ax-a^2=0
x=(a±√(a^+4a^2))/2={(1±√5)/2}a
x＞0より、x={(1+√5)/2}a
(youtubeより)

【step2】作図法
①一辺CDをかく。CD=aとする。
②線分CDの垂直二等分線をかく。
線分CDの中点をMとする。
③垂直二等分線上にMP=aである点Pをとる。
△CMPは直角三角形だから、
CP=√(CM^2+PM^2)=(√5a)/2
④線分CPの延長上にPQ=a/2である点Qをとる。CQ={(1+√5)a}/2
CQは対角線rの長さになる。
⑤Cを中心に半径rの円弧とDを中心に半径rの円弧の交点をRとする。
⑥Rを中心に半径aの円弧とCを中心に半径aの円弧の交点のうち、直線RCに関して点Dと反対側にある点をSとする。
⑦Rを中心に半径aの円弧とDを中心に半径aの円弧の交点のうち、直線RDに関して点Cと反対側にある点をTとする。
⑧五角形RSCDTは正五角形である。

【コメント】
この作図法は、小学生のときに読んだ算数の本に載っていた。実際に描いてみて正五角形が描けたことに感動したことを覚えている。しかし何故描けるのかは謎のままだった。今回その謎を解くことができた。

tanの和

△ABCにおいて、tanA=a, tanB=bとする。ただし、a,bは整数とする。
C=45°のとき、a+bの値を求めよ。

【半径rの円の面積はなぜπr^2？】

半径rの円の面積Sはなぜπr^2なのか？

【step0】定積分による円の面積
S=4∫《0,r》√(r^2-x^2)dx

【step1】曲線の長さ
曲線y=f(x)のx=aからx=bまでの長さsを求めてみよう。
x=aからx=tまでの長さをs(t)とする。
s(a)=0, s(b)=s

x=tからx=t+hまでの長さを考える。
hを限りなく小さいときには、この部分は直線とみなすことができる。
s(t+h)-s(t)=√{(f(t+h)-f(t))^2+h^2}
(s(t+h)-s(t))/h=√{1+{(f(t+h)-f(t))/h}^2}
h→0とする。
s'(t)=√{1+(f'(t))^2}
√{1+(f'(x))^2}の原始関数をF(x)とする。
s(t)=F(t)+C
s(a)=0より、C=-F(a)
s=s(b)=F(b)-F(a)
よって、s=∫《a,b》√{1+(f'(t))^2}dt

【step2】弧の長さ
半径r, 中心角π/2の円弧の長さ
l=(2πr)/4=(πr)/2

y=√(r^2-x^2)より、
y'=1/2×1/√(r^2-x^2)×(-2x)
=(-x)/√(r^2-x^2)
1+(y')^2=1+x^2/(r^2-x^2)
=r^2/(r^2-x^2)
√{1+(y')^2}=r/√(r^2-x^2)
(πr)/2=∫《0,r》r/√(r^2-x^2)dx
π/2=∫《0,r》1/√(r^2-x^2)dx

【step3】積分の計算-部分積分で！
I=∫《0,r》√(r^2-x^2)dx
=∫《0,r》(x')√(r^2-x^2)dx
=[x√(r^2-x^2)]《0,r》
+∫《0,r》x^2/√(r^2-x^2)dx
=∫《0,r》x^2/√(r^2-x^2)dx

x^2/√(r^2-x^2)
={r^2-(r^2-x^2)}/√(r^2-x^2)
=r^2/√(r^2-x^2)-√(r^2-x^2)

I=r^2×∫《0,r》1/√(r^2-x^2)dx
-∫《0,r》√(r^2-x^2)dx
=r^2×π/2-I

2I=1/2×πr^2
よって、S=4I=2(2I)=πr^2

(2019/9/12)

遊歩道③

【1】池の周りに遊歩道がある。Aは1時間で7周のペース、Bは1時間で3周のペース、Cは1時間で2周のペースで歩く。
スタート地点から同じ方向に同時に歩き始める。
(1)1時間に、BはCを何回追い越すか？
(2)1時間に、AはCを何回追い越すか？

【2】時計の秒針、1日に何回時針を追い越すか？