【4次式の因数分解】相反式を深堀り

P=x^4+x^3-10x^2+x+1を因数分解せよ。

【解】

x^2で括る

P=x^2(x^2+x-10+1/x+1/x^2)

=x^2{(x^2+1/x^2)+(x+1/x)-10}

=x^2{(x+1/x)^2+(x+1/x)-12}

=x^2(x+1/x+4)(x+1/x-3)

=(x^2+4x+1)(x^2-3x+1)

相反式…係数が左右対称な式のこと

P=ax^4+bx^3+cx^2+bx+a

=x^2(ax^2+bx+c+b/x+a/x^2)

=x^2{a(x+1/x)^2+b(x+1/x)+(c-2a)}

D=b^2-4a(c-2a)が平方数のとき

P=x^2{p(x+1/x)+q}{s(x+1/x)+t}

=(px^2+qx+p)(sx^2+tx+s)

【例題】

P=6x^4+7x^3+9x^2+7x+6を因数分解せよ。

【解】

P=x^2(6x^2+7x+9+7/x+6/x^2)

=x^2{6(x+1/x)^2+7(x+1/x)-3}

=x^2{3(x+1/x)-1}{2(x+1/x)+3}

=(3x^2-x+3)(2x^2+3x+2)

P=ax^4+bx^3+cx^2+(bk)x+(ak^2)

=x^2{ax^2+bx+c+(bk)/x+(ak^2)/x^2}

=x^2{a(x+k/x)^2+b(x+k/x)+(c-2ak)}

D=b^2-4a(c-2ak)が平方数のとき

P=x^2{p(x+k/x)+q}{s(x+k/x)+t}

=(px^2+qx+kp)(sx^2+tx+ks)

【例題】

P=3x^4-x^3+10x^2-2x+12を因数分解せよ。

【解】

P=x^2(3x^2-x+10-2/x+12/x^2)

=x^2{3(x+2/x)^2-(x+2/x)-2}

=x^2{3(x+2/x)+2}{(x+2/x)-1}

=(3x^2+2x+6)(x^2-x+2)

【問】

P=2x^4+5x^3-7x^2-5x+2を因数分解せよ。

(2025/5/27)

ニセ金貨

5個の袋に金貨がそれぞれ200枚ぐらい入っている。袋の中は、本物だけが入っているかニセ金貨だけが入っている。本物は10g、ニセ金貨は9gである。g単位まで計れる計りを1回だけ使ってニセ金貨の入っている袋を判別する方法を述べよ。(注意)ニセ金貨の袋がいくつあるか分かっていない。

ちなみに、ニセ金貨の袋が1つと分かっているとき

袋に番号を付ける。

番号と同じ数の金貨を取り出し計る。

150gからmg軽いとする。→m個がニセ金貨

m番の袋がニセ金貨の袋と分かる。

上の問題は、ニセ金貨の袋がいくつあるか分かっていない。

【因数分解-ダブルたすき掛け】

P=2x^2-5xy-3y^2+x+11y-6の因数分解

一般的な解法

①xについて、降べきの順に整理する

P=2x^2-(5y-1)x-(3y^2-11y+6)

②定数項をたすき掛けする

P=2x^2-(5y-1)x-(3y-2)(y-3)

③全体をたすき掛けする

1 -(3y-2)→-6y+4

2 (y-3)→y-3 (+)-5y+1=-(5y-1)

P={x-(3y-2)}(2x+y-3)

=(x-3y+2)(2x+y-3)

【別解】

P=2x^2-5xy-3y^2+x+11y-6

①2次の項をたすき掛けする

P=(2x+y)(x-3y)+x+11y-6

②全体をたすき掛けする

(2x+y) -3→-3x+9y

(x-3y) 2 → 4x+2y (+)x+11y

=(2x+y-3)(x-3y+2)

一般的な解法では

降べきの順に整理する

1次の係数の比較 -5y+1=-(5y-1)

x-(3y-2)=x-3y+2の計算

など注意をしなければならない点がある。

別解は注意をしなければ点が少ない。

【別解】(YouTubeより)

P=2x^2-5xy-3y^2+x+11y-6

y=0→2x^2+x-6=(x+2)(2x-3)

x=0→-3y^2+11y-6=(-3y+2)(y-3)

定数項が等しいもの同士くっつける

P=(x-3y+2)(2x+y-3)

P=(ax+by+c)(dx+ey+f)

=adx^2+(ae+bd)xy+bey^2+(af+dc)x+(bf+ec)y+cf

y=0→adx^2+(af+dc)x+cf=(ax+c)(dx+f)

x=0→bey^2+(bf+ec)y+cf=(by+c)(ey+f)

c≠fのとき、P=(ax+by+c)(dx+ey+f)

c=fのとき、xyの係数で判断する。

y=0, x=0のときを考え、係数を確定させ、

xyの係数で組み合わせを判断する。

【例】

P=3x^2+8xy-3y^2+8x+4y+4

y=0→3x^2+8x+4=(3x+2)(x+2)

x=0→-3y^2+4y+4=(3y+2)(-y+2)

3×(-1)+1×3=0

3×3+1×(-1)=8→◯

P=(3x-y+2)(x+3y+2)

(2025/5/21)

【ハノイの塔】

小学校のときに、親にねだって「科学と学習」を買ってもらっていた。

付録だけで遊んで本体を読まない私に、ごうを煮やした母は一方だけしか買わないことにした。「科学」だけになった。

相変わらず付録で遊んだ。

その中に、「ハノイの塔」が入っていた。

と言ってもこの名前は後になって知った。

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ハノイの塔は、3本の杭と円盤を使って遊ぶパズルで、フランスの数学者エドゥアール・リュカが1883年に考案しました。

(ルール)

中央に穴の開いた円盤を、大きい円盤が下になるように3本の杭に積み重ねる

(クリア条件)

全ての円盤を右側の杭に移動させる

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プラスチックで出来ており、3カ所のくぼみと円錐を5段に区切った部品だった。

上から、緑と白が交互に色分けされていた。

ルールもクリア条件も全く同じで、無心に部品を動かした。

奇数段と偶数段では、初めに動かす場所が異なることに気がついて、なにか大発見をした感覚になったのを覚えている。

教える立場になって、ハノイの塔を見直すと、高校で学習する「数列」の「漸化式」と非常に関係あることを知った。一般解を解くとともに、小学校でのあの感動を噛み締めていた。

(2025/4/12)

単位分数分解

aを自然数とする。

(1/x)+(1/y)=(1/a)を満たす自然数(x,y)は奇数組あることを示せ。