【点と直線の距離】

P(p,q)とax+by+c=0の距離d

d=|ap+bq+c|/√(a^2+b^2)

点と直線の距離とは、点と直線上の任意の点の距離で最短になるものをいう。

【証明】

〘step1〙原点(0,0)と直線ax+by+c=0の距離

直線上の任意の点をS(x,y)とする。

コーシー=シュワルツの不等式より、

(ax+by)^2≦(x^2+y^2)(a^2+b^2)

x^2+y^2≧(c^2)/(a^2+b^2)

x^2+y^2の最小値は、(c^2)/(a^2+b^2)

x^2+y^2は、OSの距離の2乗

よって、

原点(0,0)と直線ax+by+c=0の距離d

d=|c|/√(a^2+b^2)

〘step2〙点(p,q)と直線ax+by+c=0の距離

x軸方向に-p、y軸方向に-qだけ平行移動

a(x+p)+b(y+q)+c=0→ax+by+(ap+bq+c)=0

すなわち、

原点(0,0)と直線ax+by+(ap+bq+c)=0の距離

を求めればよい。

〘step1〙を利用して

点(p,q)と直線ax+by+c=0の距離d

d=|ap+bq+c|/√(a^2+b^2)

【証明終】

次元を上げ、点と平面の距離の公式を考える。

原点(0,0,0)と平面ax+by+cz+d=0との距離

コーシー=シュワルツの公式より、

(ax+by+cz)^2

≦(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)

x^2+y^2+z^2≧(d^2)/(a^2+b^2+c^2)

よって、

原点(0,0,0)と平面ax+by+cz+d=0との距離s

s=|d|/√(a^2+b^2+c^2)

点(p,q,r)と平面ax+by+cz+d=0との距離t

平行移動を考えて

ax+by+cz+d=0→ax+by+cz+(ap+bq+cr+d)=0

t=|ap+bq+cr+d|/√(a^2+b^2+c^2)

(2025/3/17)