n>m≧1の整数で、
m,nは互いに素である。
(1/x)+(1/y)=(m/n)を満たす自然数x,y を考える。
ny+nx=mxy
mxy-nx-ny=0
m^2xy-nmx-nmy=0
A=mx, B=myとする。
AB-nA-nB=0
(A-n)(B-n)=n^2
(mx-n)(my-n)=n^2
p≡-n (mod m)であるn^2の約数pを見つける。
pq=n^2とする。
(mx-n, my-n)=(p,q)
(mx,my)=(p+n, q+n)
(x,y)=((p+n)/m, (q+n)/m)
(※)pが存在するとき、q≡-n (mod m)である。
(※)p≦nの範囲で探せばよい。
(※)pが存在しないとき、x,yは存在しない
(※)m=1のとき、
任意の整数kに対し、k≡0 (mod 1)とする。
【例1】
(1/x)+(1/y)=(5/6)を満たす自然数x,yを求めよ。
【解】
(5x-6)(5y-6)=6^2=2^2×3^2
-6≡4 (mod 5)だから、6^2の約数のうち、
4≡9 (mod 5)
(5x-6,5y-6)=(4,9)
(x,y)=(2,3)
よって、
(1/2)+(1/3)=(5/6)
【例2】
(1/x)+(1/y)=(8/15)を満たす自然数x,yを求めよ。
【解】
(8x-15)(8y-15)=15^2=3^2×5^2
-15≡1 (mod 8)だから、15^2の約数のうち、
1≡9≡25≡225 (mod 8)
(8x-15,8y-15)=(1,225)(9,25)
(8x,8y)=(16,240)(24,40)
(x,y)=(2,30)(3,5)
よって、
(1/2)+(1/30)=(1/3)+(1/5)=(8/15)
【例3】
(1/x)+(1/y)=(5/66)を満たす自然数x,yを求めよ。
【解】
(5x-66)(5y-66)=66^2=2^2×3^2×11^2
-66≡4 (mod 5)だから、66^2の約数のうち、
4≡9≡44≡99≡484≡1089 (mod 5)
(5x-66, 5y-66)=(4,1089)(9,484)(44,99)
(5x,5y)=(70,1155)(75,550)(110,165)
(x,y)=(14,231)(15,110)(22,33)
よって、
(1/14)+(1/231)=(1/15)+(1/110)
=(1/22)+(1/33)=(5/66)
【例4】
(1/x)+(1/y)=(7/15)を満たす自然数x,yを求めよ。
【解】
(7x-15)(7y-15)=15^2=3^2×5^2
-15≡6 (mod 7)だが、
15^2の約数は
1,3,5,9,15,25,45,75,225
p≡6 (mod 7)となる約数はない。
よって、x,yは存在しない。
【例5】
(1/x)+(1/y)=(1/12)を満たす自然数x,yを求めよ。
【解】
12y+12x=xy
xy-12x-12y=0
(x-12)(y-12)=12^2=2^4×3^2
(x-12, y-12)=(1,144)(2,72)(3,48)(4,36)
(6,24)(8,18)(9,16)(12,12)
よって、
(x,y)=(13,156)(14,84)(15,60)(16,48)
(18,36)(20,30)(21,28)(24,24)
(2024/2/10)