大人の数学教室127(三角比②)

【第2章】

(2)三角比の定義

角Cが直角である△ABCを考える。

(図が欲しいが…頂点Aが左下、頂点C が右下、頂点B が頂点C の上にある図をイメージしてください。以下断らなければ、△ABCと表したときは、角C が直角の直角三角形ABC とする)。

頂点Aに対し、

BCを「対辺」、ACを「底辺」、

ABを「斜辺」と呼ぶ。

角A の大きさを決めれば、角A と同じ大きさの直角三角形は相似である。

そこで、三角形の辺の比を考える。

対辺/斜辺、底辺/斜辺、対辺/底辺

これらの値は、角Aの大きさのみで定まる値で、三角形の大きさに関係しない。

対辺/斜辺を、「正弦」といい、

sinA(サインA)と表す。

底辺/斜辺を、「余弦」といい、

cosA(コサインA)と表す。

対辺/底辺を、「正接」といい、

tanA(タンジェントA) と表す。

この3 つを合わせて「三角比」という。

昔、斜辺/対辺、斜辺/底辺、底辺/対辺 と合わせて6 つを三角比と呼んでいたが、それぞれsinA,cosA,tanA の逆数なので、使われなくなった。

△ABC において、

sinA=BC/AB=a/c

cosA=AC/AB=b/c

tanA=BC/AC=a/b である。

三角比は三角形の大きさの関係ない。

斜辺ABが1 の直角三角形ABC では、

sinA=BC, cosA=AC となる

大人の数学教室126(三角比①)

高校で初めて出会う「三角比」。やってみると案外簡単だったりします。一緒にやっていきましょう。

(※ 図があると分かりやすいのですが、筆者の力不足で図がありません。説明文から図を補足しながらやっていってください。🙏)

【第1章】

(1)相似な図形

2つの図形 F と G が相似であるとは、一方を適当に一様スケール変換（拡大 または縮小）して他方と合同になる（すなわち、有限回の平行移動、回転移動、対称移動により重なる）ことである。それらの「形」が等しいことであるとも言い換えられる。

G を r 倍に一様スケール変換して F と合同であるとき、r : 1 を F と G の相似比という。F と G の相似比は、対応する線分の長さの比（一定）に等しい。

三角形の相似条件

△ABC と△DEF が相似である必要十分条件は以下いずれかである。

①二角相等: 2組の角がそれぞれ等しい。

②三辺比相等 : 3組の辺の比が互いに等しい。

③二辺比夾角相等 : 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。

例)ピラミッドの高さを測る。

棒を使ってピラミッドの高さを求めることができます。ピラミッドの頂点をA,ピラミッドの影の先をB,ピラミッドの頂点から底面に下ろした垂線と底面の交点をCとする。また、棒を地面に垂直に立て、棒の先をD,棒の影の先をE,棒の地面の接点をFとする。このとき、△ABC と△DEF は相似である。

AC:BC=DF:EF AC=BC×DF÷EF

BCは、影の先からピラミッドまでの長さ+底面(正方形)の一辺の半分

DFは、棒の長さ

EFは、棒の影の長さ

を測ればピラミッドの高さAC が分かる。

三角形を使って、直接測ることが難しい長さを求めてみよう。

今後、角A,B,C の対辺を a,b,c とする。

大人の数学教室125(関数⑫)

【第12章】

(12)2次関数のグラフと方程式

y=ax^2+bx+cのグラフとx軸との共有点のx座標は、ax^2+bx+c=0の実数解である。

D＞0 ⇔ 共有点2個

D=0 ⇔ 共有点1個

D＜0 ⇔ 共有点0個(共有点なし)

例)y=x^2-kx+5のグラフがx軸と2点で交わるようなkの値の範囲を求めよ。

【解】

D=k^2-20

x軸と2点で交わるから、D＞0

k^2-20＞0

(k+2√5)(k-2√5)＞0

よって、k＜2√5, 2√5＜k

(13)2次関数のグラフと不等式

y=ax^2+bx+cのグラフがx軸より上にあるxの範囲が、ax^2+bx+c＞0の解

すべてのxに対してax^2+bx+c＞0

⇔

y=ax^2+bx+cのグラフが常にx軸より上

⇔

a＞0, D=b^2-4ac＜0

すべてのxに対してax^2+bx+c＜0

⇔

y=ax^2+bx+cのグラフが常にx軸より下

⇔ a＜0, D=b^2-4ac＜0

すべてのxに対してax^2+bx+c≧0

⇔ a＞0, D=b^2-4ac≦0

(関数のグラフと不等式)

一般にグラフの位置関係と不等式には次の関係がある。

y=f(x)のグラフがy=g(x)のグラフより上にあるxの範囲

⇔

不等式f(x)＞g(x)の解

大人の数学教室124(関数⑪)

【第11章】

(11)2次関数y=ax^2+bx+cの最大・最小

①定義域がない場合

頂点のとき最大・最小になる。

y=a(x+b/a)^2-(b^2-4ac)/(4a)

a＞0の場合

x=-b/(2a)のとき、

最小値-(b^2-4ac)/(4a)、最大値なし

a＜0の場合

x=-b/(2a)のとき、

最大値-(b^2-4ac)/(4a)、最小値なし

②定義域s≦x≦t (s＜t)

軸x=pの位置と定義域の位置関係を考える。

放物線は軸に関して対称であることを利用→軸から離れるほど差が大きい

y=f(x)=a(x-p)^2+q, u=(s+t)/2とする。

【a＞0の場合】

(i)p≦sのとき、

最大値f(t), 最小値f(s)

(ii)s＜p＜uのとき、

最大値f(t), 最小値f(p)=q

(iii)p=uのとき、

最大値f(s)=f(t), 最小値f(p)=q

(iv)u＜p＜tのとき、

最大値f(s), 最小値f(p)=q

(v)t≦pのとき、

最大値f(s), 最小値f(t)

【a＜0の場合】

(i)p≦sのとき、

最小値f(t), 最大値f(s)

(ii)s＜p＜uのとき、

最小値f(t), 最大値f(p)=q

(iii)p=uのとき、

最小値f(s)=f(t), 最大値f(p)=q

(iv)u＜p＜tのとき、

最小値f(s), 最大値f(p)=q

(v)t≦pのとき、

最小値f(s), 最大値f(t)

最大値・最小値の可能性のある値は、

f(s), f(t), qだから、

マークシート的には、

f(s), f(t), qを比較すればよい。

(※ 筆記には使えないよ！)

大人の数学教室123(関数⑩)

【第10章】

(10)グラフの条件から2 次関数を求める2

A:y=a(x-p)^2+q

⇔ 頂点(p,q),軸x=p,原形 y=ax^2

B: y=ax^2+bx+c

⇔ 頂点(-b/(2a),-((b2-4ac)/(4a)),

軸x=-b/(2a), 原形 y=ax^2

① 頂点&1 点を通る→A : p,q→a

② 軸&2点を通る→A: p→ a,q 連立方程式

③ 最大値、最小値&2点を通る

→A：q→a,p 連立方程式

④ 3 点を通る→B:a,b,c 連立方程式

例3)最小値が1、2点(1,3)(4,9)を通る

y=a(x-p)^2+1とする。

(1,3)を通るから、

3=a(1-p)^2+1→a(1-p)^2=2

(4,9)を通るから、

9=a(4-p)^2+1→a(4-p)^2=8

2:8=a(1-p)^2:a(4-p)^2=(1-p)^2:(4-p)^2

4(1-p)^2=(4-p)^2

4p^2-8p+4=p^2-8p+16

3p^2=12

p^2=4→p=2,-2

p=2→a=2

p=-2→9a=2→a=2/9

よって、

y=2(x-2)^2+1

y=2/9×(x+2)^2+1

例4)3点(1,2)(3,6)(-2,11)を通る。

y=ax^2+bx+c

3点を通るから、

2=a+b+c …①

6=9a+3b+c …②

11=4a-2b+c …③

②-③ 5a+5b=-5→a+b=-1…④

③-① 3a-3b=9→a-b=3…⑤

④+⑤ 2a=2→a=1

④-⑤ 2b=-4→b=-2

①より、1+(-2)+c=2→c=3

よって、

y=x^2-2x+3