大人の数学教室122(関数⑨)

【第9章】

(9)グラフの条件から2 次関数を求める

A:y=a(x-p)^2+q

⇔ 頂点(p,q),軸x=p,原形 y=ax^2

B: y=ax^2+bx+c

⇔ 頂点(-b/(2a),-((b2-4ac)/(4a)),

軸x=-b/(2a), 原形 y=ax^2

① 頂点&1 点を通る→A : p,q→a

② 軸&2点を通る→A: p→ a,q 連立方程式

③ 最大値、最小値&2点を通る

→A：q→a,p 連立方程式

④ 3 点を通る→B:a,b,c 連立方程式

例1)頂点が(2, -1)で、(-1,8)を通る。

y=a(x-2)^2-1とする。

(-1,8)を通るから、

8=a(-1-2)^2-1=9a-1→a=1

よって、

y=(x-2)^2-1

例2)軸がx=1で、2点(-1,5)(2,8)を通る。

y=a(x-1)^2+q

(-1,5)を通るから、

5=a(-1-1)^2+q→4a+q=5

(2,8)を通るから、

8=a(2-1)^2+q→a+q=8

3a=-3→a=-1→q=9

よって、

y=-(x-1)^2+9

大人の数学教室121(関数⑧)

【第8章】

(8)2次関数のグラフ

y=a(x-p)^2+q を「標準形」という。

y=ax^2+bx+c を「一般形」という。

一般形を、平方完成で標準形に変形する。

y=ax^2+bx+cのグラフ

頂点(-b/(2a),-(b2-4ac)/(4a))

軸x=-b/(2a), 原形 y=ax^2

2次関数のグラフの書き方

① 標準形 y=a(x-p)^2+q に変形する。

② 頂点(p,q) を取る。

③ 頂点を原点と思って、y=ax^2 のグラフを描く。

④ y 切片の座標を書く。(x=0 のy の値)

⑤ x 切片の座標を書く。(y=0 のx の値)

(※⑤ は必要に応じて書く。)

例)y=2x^2-4x+1 =2(x-1)^2-1 のグラフ

頂点(1,-1), 軸の方程式 x=1,

原形 y=2x^2

大人の数学教室120(関数⑦)

【第7章】

(7)平方完成②

ax^2+bx+cの平方完成

(i)step1→a=1,b=2Bとする。

x^2+2B+c=x^2+2B+B^2-B^2+c

=(x+B)^2-B^2+c

(point bの半分Bの2乗を足して引く)

例)x^2+6x+8=x^2+6x+(6/2)^2+(6/2)^2+2

=x^2+6x+9-9+8

=(x-3)^2-1

例)x^2-3x+1=x^2-3x+(3/2)^2-(3/2)^2+1

=(x-3/2)^2-9/4+1

=(x-3/2)^2-5/4

(ii)step2

①aでax^2+bxまでくくる。

ax^2+bx+c=a{x^2+(b/a)x}+c

②{ }の中でstep1を使う。

x^2+(b/a)x+{b/(2a)}^2-{b/(2a)}^2

={x+{b/(2a)}}^2-b^2/(4a^2)

③①に代入

ax^2+bx+c

=a{{x+{b/(2a)}}^2-b^2/(4a^2)}+c

=a{x+{b/(2a)}}^2-b^2/(4a)+c

=a{x+{b/(2a)}}^2-(b^2-4ac)/(4a)

y=ax^2+bx+c

=a{x^2+(b/a)x}+c

=a{x^2+(b/a)x+{b/(2a)}^2-{b/(2a)}^2}+c

=a{x^2+(b/a)x+{b/(2a)}^2}-b^2/(4a)+c

=a{x+{b/(2a)}}^2-(b^2-4ac)/(4a)

例)2x^2+4x+3

=2(x^2+2x)+3

=2(x^2+2x+1-1)+3

=2(x^2+2x+1)-2+3

=2(x+1)^2+1

大人の数学教室119(関数⑥)

【第6章】

(6)平方完成①

ax^2+bx+c の形を、a(x+h)^2+k の形に変形することを「平方完成」という。

y=ax^2+bx+cをy=a(x-p)^2+qの形に変形することでグラフの様子が分かる。

a(x+h)^2+k=ax^2+2ahx+ah^2+k

係数を比較して

2ah=b→h=b/(2a)

ah^2+k=c

→k=-b^2/(4a)+c=-(b^2-4ac)/(4a)

例)x^2+4x+1

(x+h)^2+k=x^2+2hx+h^2+k

よって、

2h=4→h=2

h^2+k=1→k=1-h^2=1-4=-3

x^2+4x+1=(x+2)^2-3

例)2x^2-5x+1

2(x+h)^2+k=2x^2+4hx+2h^2+k

よって、

4h=-5→h=-5/4

2h^2+k=1→k=1-2h^2=1-25/8=-17/8

2x^2-5x+1=2(x-5/4)^2-17/8

大人の数学教室118(関数⑤)

【第5章】

(5)平行移動

f(x,y)=0のグラフを、x軸方向にp、y軸方向にqの平行移動を考える。

f(x,y)=0上の点を(s,t)とする。

平行移動した点(X,Y)とする。

X,Yの関係式が求める式である。

X=s+p, Y=t+qだから、s=X-p, t=Y-q

(s,t)はf(x,y)=0の点だから、

f(X-p,Y-q)=0

よって、平行移動したグラフを表す式は、

f(x-p,y-q)=0

以上より、

f(x,y)=0のグラフを、x軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動したものは、

f(x-p,y-q)=0

2次関数のグラフの平行移動

y=ax^2 のグラフを、x 軸方向にp, y軸方向にq 平行移動させると、

y-q=a(x-p)^2

すなわち、

y=a(x-p)^2+q になる。

y=a(x-p)^2+qのグラフ

頂点が原点(p,q), 軸の方程式がx=p

原形がy=ax^2