新春特集(４)タワーキューブ

岡本キューブ４種めの紹介は2x2x3のタワー。

2x2の面あるいは中段は90度回転による変換が可能だが、
2x3の方は180度回転しか変換に寄与しない(当たり前か)。

ということは、上記２種類の回転の組み合わせで、完成形にもってゆける(当たり前か)。

2x2の面は対面同士の灰色と黒の組み合わせしかないから、この２面を合わせた後は、
隣のコーナーキューブ２つの入れ替えとエッジキューブ２つの入れ替えができれば完成させることができる。

で、ここからが本題だが、写真に示したように、
コーナーキューブ２つのみ、あるいはエッジキューブ２つのみを単独で入れ替えることができる。

かくなる変換はルービックキューブに慣れ親しんだ方には些か奇異かもしれない。でも以下のように考えると不思議ではない。

2x2x1の段の４つのキューブをABCDと表すと、２つの入れ替えは以下のように表すことができる。

BA
CD

これを90度左回転させると、

AD
BC

となる。これを見ると、Aは正位置なので、この後、BとCを入れ替え、その後BとDを入れ替えれば、すべてが正位置におさまることがわかる。
つまり、2x2x1においては、他のキューブの変換を伴わない条件で

「隣り合う２つのキューブの置換操作１回は、同じ操作２回と等価である」

と言うことができる。
これはルービックキューブに慣れた頭には驚きだが、
同時に、２回の組み合わせは、ルービックキューブでは馴染み深い変換操作であり、与しやすい。

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ついでなので、同じことが3x3x1で起きないことに言及しておきましょう。
エッジキューブを1234、センターキューブを#で表すと、
上と同様に、コーナーキューブ２つの入れ替えは

B1A
2#3
C4D

となるので、左90度回転後は、

A3D
1#4
B2C

で、コーナーキューブを２回１組の操作で合わせると、

A3B
1#4
C2D

となって、ABCDは正位置となる。
これからエッジキューブを合わせようとして、1と3の入れ替えと3と2の入れ替え(やはり２回で１組)を行うと、

A1B
2#4
C3D

となって、ここから3と4の入れ替えは単独で行うことは出来ず、つまりは完成させることができない。
このことは、コーナーキューブ２つのみの置換操作は、他のキューブ(この場合はエッジキューブ)の置換を伴うということであり、ボイドキューブの記事で述べた
「２つのコーナーキューブの入れ替えは、２つのエッジキューブの入れ替えと等価である」
と同じことを言っている。

と、ここまで書いてきて、ボイドキューブの特徴で書き忘れたことを思い出した。