三角形の外心のベクトルによる重心座標表現

[三角形の外心のベクトルによる重心座標表現]2008.09.01(月)

「ベクトル　ＡＢ」をここでは　(→ＡＢ)で表すことにする。
三角形ＡＢＣの「外心」を「外心Ｏ」とし、「垂心Ｈ」の場合と同様に、
xを (→ＡＢ)と(→ＡＣ)との「内積」とする。
x=((→ＡＢ)，(→ＡＣ)) ,
同様に
y=((→ＢＡ)，(→ＢＣ))，z=((→ＣＡ)，(→ＣＢ))である。
このとき、x＋y=c^2，x＋z=b^2，y＋z=a^2　・・・(２．１）で
　x=(b^2＋c^2－a^2)/2，y=(c^2＋a^2－b^2)/2，z=(a^2＋b^2－c^2)/2・・・(２．２)
yz＋xz＋xy＝4(Ｓ^2）・・・(２．3）であった。さらに　∠BAC=Ａなることと「内積」の定義から
　x=((→ＡＢ)，(→ＡＣ))=(ＡＢ)(ＡＣ)cos∠BAC＝cbcosＡ
　すなわち、　
x=bccosＡ，同様にy=cacosＢ，z=abcosＣ　・・・(２．4）である. また、
Ｓを△ＡＢＣの面積として　2Ｓ=bcsinＡ=casinＢ=absinＣ　・・・(２．5）
三角形ＡＢＣ⊂Ｅ^2⊂Ｅ^mとする。
ここにm≧２とし、Ｅ^mは m次元ユークリッド空間とする。
さて、「外心Ｏ」の△ＡＢＣに関する「ベクトルによる重心座標表現」を述べる。

点ＰをＰ∈Ｅ^mなる任意の点としたとき、
（あ）
　三角関数の表示では、
(→ＰＯ) =1/(4sinＡsinＢsinＣ)×{sin２Ａ(→ＰＡ)＋sin２Ｂ(→ＰＢ)＋sin２Ｃ(→ＰＣ)}・・・(２．6）であって、
簡単な計算で　　sin２Ａ＋sin２Ｂ＋sin２Ｃ=４sinＡsinＢsinＣ　・・・(２．7）となるので
　(２．5）は「係数の和＝１」となる「ベクトルによる重心座標表現」である。

 （い）
　「内積」による表示では、 (→ＰＯ)=1/(8(S^2)){(a^2)x(→ＰＡ)＋(b^2)y(→ＰＢ)＋(c^2)z(→ＰＣ)} ・・・(2．8）
   このとき、(２．１）(２．2）から
    (a^2)x＋(b^2)y＋(c^2)z=8(S^2）・・・(2．9）
　が下の◎のように簡単に示されるので、
   (2．8）は「係数の和=1」の　「ベクトルによる重心座標表現」である。
（う）
　「３辺」a，b，cによる表示では、（い）から(2．2）を用いて
   (→ＰＯ)
      =1/(16(S^2))× {(a^2)(b^2＋c^2－a^2)}(→ＰＡ)
      ＋1/(16(S^2))×{(b^2)(c^2＋a^2－b^2)}(→ＰＢ)
      ＋1/(16(S^2))×{(c^2)(a^2＋b^2－c^2)}(→ＰＣ)  ・・・(2．10)
　　　となる。　
これも「係数の和＝1」の「ベクトルによる重心座標表現」となることは(２．7）から明らかである。

◎　まず(2．9）は(２．１）,(２．3）から
　　(a^2)x＋(b^2)y＋(c^2)z=(y＋z)x＋(x＋z)y＋(x＋yz＝2(yz＋xz＋xy)=8(S^2) 　　としてでてくる。
以上(あ)(い)(う)の３通りを示したが、「（い）から(あ)を」計算が少しいるが、次のように導くことができる。
(2．4）(2.5)　及び「2倍角の公式」を用いる。
　(8(S^2))=2(2Ｓ)^2=2(casinＢ)(absinＣ)=2(a^2)bc(sinＢ)(sinＣ) 　
よって　1/(8(S^2))に代入すると
　1/(8(S^2))=1/{2(a^2)bc(sinＢ)(sinＣ)}だから
　まず
　1/(8(S^2))×{(a^2)x}
=1/{2(a^2)bc(sinＢ)(sinＣ)}×{(a^2)x}=x/2bc(sinＢ)(sinＣ)
　　　=bc(cosＡ)/{2bc(sinＢsinＣ)}=cosＡ/(２sinＢsinＣ)
=2sinＡcosＡ/(4sinＡsinＢsinＣ)=sin2Ａ/(4sinＡsinＢsinＣ)　
　つまり、　1/(8(S^2))×{(a^2)x}=sin2Ａ/(4sinＡsinＢsinＣ)　・・・(2.11)となる。　
同様にして　1/(8(S^2))×{(b^2)y}=sin2Ｂ/(4sinＡsinＢsinＣ)　・・・(2.12）
　　　　　　1/(8(S^2))×{(c^2)z}=sin2Ｃ/(4sinＡsinＢsinＣ)　・・・(2.13）　ゆえに　（い）から（あ）がでてくる。
　この場合「計算」が、「垂心Ｈ」の時ほど容易ではなかった。
　 ☆　　最後に　図形的なことを述べておく。（い）によれば,辺BA，AC，CB上、またはその延長上に点L，M，Nをそれぞれ
　　BN：NA=(a^2)x：(b^2)y、AM：MC=(c^2)z：(a^2)x
　　CL：LB=(b^2)y：(c^2)zとなるようにとったとき、
「直線AL、直線BM、直線CNは1点で交わり」その点が「外心Ｏ」である。（あ）によれば、
　 BA，AC，CB上,または
その延長上に
点L，M，Nをそれぞれ
　　BN：NA=sin2A：sin2B、AM：MC=sin2C：sin2A
　　CL：LB＝sin2B：sin2Cの
比に分ける点となるようにとったとき、
　　「直線AL、直線BM、直線CNは1点で交わり」、その点が「外心Ｏ」である。　
また、（あ）のときは、△ＯＢＣ:△ＯＣＡ：△ＯＡＢ=sin2A：sin2B：sin2C
　ただし　Ａ＝90度のような直角三角形のときは、sin2Ａ=0であるし、Ａが鈍角のときは
　　sin2A<0なので比に注意する必要がある。