三角形の構成理論－2009.8.21(金)-垂心四面体(その１)に続く

三角形の構成理論－2009.8.21(金)
<記号の約束>

mは自然数、E^mでm次元ユークリッド空間を表すものとし、「ベクトルAB」などを(→AB)で表す。
ベクトル(→AB)と(→AC)の「内積」を((→AB)，(→AC))で表わし、また、「三角形ABC」の3辺BC,CA,ABを
　BC＝a，CA＝b，AB＝cとし、その面積をSで表す。
「垂心四面体ABCD」の6辺を、BC＝a，CA＝b，AB＝c，AD＝d，BD＝e，CD＝f　とする。
その体積をV,頂点A,B,C,Dの対面の△BCD,△ACD,△ABD,△ABCの面積をそれぞれ
S_A，S_B，S_C,S_D　とおく。またdetJ(2),detJ(3)はいつもの通りとする。

1.三角形ABCについて次のことが成立した。
　△ABC⊆E^2⊆E^m　(m≧2)としておく。BC＝a，CA＝b，AB＝c　…(1.1.1)　として、
３つの「ベクトルの内積」((→AB),(→AC))，((→BA),(→BC))，((→CA),(→CB))を
それぞれ　x=((→AB),(→AC))，y＝((→BA),(→BC))，z＝((→CA),(→CB))　…（1.1.2)とおく。
このとき
　|(→BC)|^2＝|(→AC)－(→AB)|^2＝|(→AB)|^2＋|(→AC)|^2－2((→AB),(→AC))から
　x＝((→AB),(→AC))＝(1/2)[|(→AB)|^2＋|(→AC)|^2－|(→BC)|^2] よって
　x＝(1/2)[b^2＋c^2－a^2]，同様にして
　y＝(1/2)[c^2＋a^2－b^2]　,　z＝(1/2)[a^2＋b^2－c^2]　…（1.1.3)となる。　
　
◎　この逆も成り立つ：つまり
[命題1.1.2]
　　　x＝(1/2)[b^2＋c^2－a^2]，y＝(1/2)[c^2＋a^2－b^2]，z＝(1/2)[a^2＋b^2－c^2]　
　　　⇒　x=((→AB),(→AC))，y＝((→BA),(→BC))，z＝((→CA),(→CB))
「証明」
　x＝(1/2)[b^2＋c^2－a^2]⇒　x=((→AB),(→AC))　を
　示しておこう。
　b^2＝|(→AC)|^2，c^2＝|(→AB)|^2，a^2＝|(→BC)|^2　だから
　x＝(1/2)[b^2＋c^2－a^2]＝(1/2)[|(→AC)|^2＋|(→AB)|^2－|(→BC)|^2]
　　＝(1/2)[|(→AC)|^2＋|(→AB)|^2－|(→AC)－(→AB)|^2]＝(1/2)[2((→AB),(→AC))]
　　＝((→AB),(→AC))　すなわち　x=((→AB),(→AC))　他も同様である。
（[命題1.1.2]　の「証明」終わり）
次に　
[命題1.2.1]　上記と同じ記号のもとで、△ABCについて「内積」の定義から
　
　x＋y＝AB^2＝c^2，　x＋z＝AC^2＝b^2，　y＋z＝BC^2＝a^2　…（1.2.1)　が成り立つ。

「証明」
　例えば　x＝((→AB),(→AC))＝(－(→BA),(→BC)－(→BA))＝|(→AB)|^2－((→BA),(→BC))＝AB^2－y
　すなわち　x＝AB^2－y　⇔　x＋y＝AB^2＝c^2　が成立。他も同様である。
　（[命題1.2.1]の「証明」終わり）

[命題1.2.2]　－－－（1.2.1)を満たす　x,y,zの「一意性」－－－
　　△ABCについて[命題1.2.1]の（1.2.1)式を満たすx,y,zは　
　　x＝((→AB),(→AC))，y＝((→BA),(→BC))，z＝((→CA),(→CB))に限る。
　
「証明」[命題1.2.1]の（1.2.1)をx,y,zを未知数とする連立方程式と考える。
　（1.2.1)の三式の両辺を加えて
　　2(x＋y＋z)＝a^2＋b^2＋c^2　　よって　x＋y＋z＝(1/2)[a^2＋b^2＋c^2]　…（1.2.2)　
　　これから　x＝(1/2)[b^2＋c^2－a^2]，y＝(1/2)[c^2＋a^2－b^2]　，z＝(1/2)[a^2＋b^2－c^2]　
　　と解ける。これと[命題1.1.2]から　x＝((→AB),(→AC))，y＝((→BA),(→BC))，z＝((→CA),(→CB))
　　となる。
（[命題1.2.2]の「証明」終わり）
☆　x＋y＝AB^2＝c^2，x＋z＝AC^2＝b^2，y＋z＝BC^2＝a^2　ならば　
　x＋y>0，x＋z>0，y＋z>0　であるから　以上のことより、次の[命題1.3.1]が成り立つ。
[命題1.3.1]　
　△ABCの3辺BC,CA,ABをBC＝a，CA＝b，AB＝cとし、x,y,zを[命題1.2.1]の（1.2.1)式を満たす
　【実数】としたとき、√(x＋y)＝AB＝c，√(x＋z)＝AC＝b，√(y＋z)＝BC＝a　…（1.3.1)
　かつ　x＝((→AB),(→AC))，y＝((→BA),(→BC))，z＝((→CA),(→CB))　…（1.3.2)となる。
さて　　
　「△ABC」の面積をSとすると4(S^2)は　「上の」x,y,zを用いて　
　4(S^2)＝yz＋xz＋xy　…（1.3.3)とx,y,zの2次の対称式で表されるのであった。

◎　これは【Goo】の2008年のBlogに書いてあるが、いつかを調べていると、【執拗な攻撃者】にまた
　【妨害】されて【ネットに繋げなくされる】ので申し訳ないが皆さんで調べて下さい。
　　もう1年以上も【攻撃】・【侵入】を受け続けているので困っている。

　[証明」は簡単である。
[命題1.3.2]　
　△ABCの3辺BC,CA,ABをBC＝a，CA＝b，AB＝cとし、x,y,zを
　x=((→AB),(→AC))，y＝((→BA),(→BC))，z＝((→CA),(→CB))とおけば
　4(S^2)＝(2S)^2＝yz＋xz＋xy　…（1.3.3)
「証明」
　受験生なら知っているだろう、　(2S)^2＝|(→AB)|^2×|(→AC)|^2－|((→AB)，(→AC))|^2　を使う。
|(→AB)|＝c，|(→AC)|＝b，((→AB)，(→AC))＝x　なので　（1.2.1)　のx＋y＝c^2，x＋z＝b^2　から
(2S)^2＝(b^2)(c^2)－x^2＝(x＋z)(x＋y)－x^2＝x^2＋xy＋xz＋yz－x^2＝yz＋xz＋xy
（[命題1.3.2]の「証明」終わり　）

◎つまり　△ABCでの3辺をBC＝a，CA＝b，AB＝c，その面積をS，x＝((→AB),(→AC))，y＝((→BA),(→BC))，
　z＝((→CA),(→CB))とおけば、　x＋y＝c^2，x＋z＝b^2，x＋y=a^2　，
　(2S)^2＝yz＋xz＋xy>0　であって　√(x＋y)，√(x＋z)，√(y＋z)　は順に△ABCの3辺c，b，aをなす。
　そしてa,b,cとの関係は、
　
　x＝(1/2)[b^2＋c^2－a^2]，y＝(1/2)[c^2＋a^2－b^2]，z＝(1/2)[a^2＋b^2－c^2]

この逆も成り立つのである。まず、これが今回の目標の一つで「三角形の場合」である。
[定理1.4]
　x,y，zが【実数】（したがってマイナスになるときもある）として、
　x＋y>0　，x＋z>0　，y＋z＞0　…（1.4.1)　かつ　　yz＋xz＋xy　>0　…（1.4.2)であるとする。
　このとき、次のことが成り立つ。

(1)　正の数　√(x＋y)，√(x＋z)，√(y＋z)は三角形の三辺をなす。
　すなわち　√(x＋y)＋√(x＋z)＞√(y＋z)，かつ　√(x＋z)＋√(y＋z)>√(x＋y)，かつ
　　　　　　√(y＋z)＋√(x＋y)>√(x＋z)　・・・（1.4.3)　　
(2)
　√(x＋y)＝AB　，√(x＋z)＝AC，√(y＋z)＝BC　とおくと
　√(x＋y)，√(x＋z)，√(y＋z)は順に△ABCの三辺　AB，AC，BC　…（1.4.4)となり、
　x＝((→AB),(→AC))，y＝((→BA),(→BC))，z＝((→CA),(→CB))　…（1.4.5)
　
　そして　√(x＋y)＝c，√(x＋z)＝b,√(y＋z)＝aとおけば、
　x＝(1/2)[b^2＋c^2－a^2]　，y＝(1/2)[c^2＋a^2－b^2]，z＝(1/2)[a^2＋b^2－c^2]　…（1.4.6)
　
　また　△ABCの面積をSとすれば　2S＝√(yz＋xz＋yz)　...(1.4.7)　となる。
(3)
角A，B,Cについて、
　cosA＝x/[√(x＋y)√(x＋z)]　，cosB＝y/[√(x＋y)√(y＋z)]　，cosC＝z/[√(x＋z)√(y＋z)]　…(1.4.8)　
　となる。

「証明」
(1)　（1.4.3)についてはx,y,zの対称性から　√(x＋y)＋√(x＋z)＞√(y＋z)　...(1.4.9)を示せば十分である。
　(1.4.9)の両辺>0なので両辺平方しても同値
　 √(x＋y)＋√(x＋z)＞√(y＋z) ⇔　[√(x＋y)＋√(x＋z)]^2＞[√(y＋z)]^2
⇔　(x＋y)＋(x＋z)＋2√(x＋y)√(x＋z)＞y＋z　⇔ x＋√(x＋y)√(x＋z)>0　そこで　
　⇔ √(x＋y)√(x＋z)>－x　...(1.4.10)　を「証明」すればよい。　
　(1.4.10)の左辺>0　だから　
（ア）x≧0　のとき、　(1.4.10)の右辺≦0となり(1.4.10)は成立する。
(イ)　x<0 のときは、－x>0　よって　このとき、√(x＋y)√(x＋z)>－x　は[√(x＋y)√(x＋z)]^2>(－x)^2と同値になる。
　ところが　[√(x＋y)√(x＋z)]^2－(－x)^2＝(x＋y)(x＋z)－x^2＝yz＋xz＋xy　…(1.4.11)　となるが、
　条件の　yz＋xz＋xy　>0　…（1.4.2)により　[√(x＋y)√(x＋z)]^2－(－x)^2＝yz＋xz＋xy>0
　ゆえに　[√(x＋y)√(x＋z)]^2>(－x)^2，　－x>0　のときだから　√(x＋y)√(x＋z)]^2>(－x)　となり、
　やはり　(1.4.10)は成立する。
　よって(1)は「証明」された。
(2)
　(1)より　(1.4.4)～（1.4.7)が成り立つことは、√(x＋y)＝c，√(x＋z)＝b,√(y＋z)＝c　ならば
　x＋y＝c^2，x＋z＝b^2,y＋z＝a^2となるので　（1.1.3),[命題1.1.2],[命題1.2.2],[命題1.3.1],[命題1.3.2]　
　により成立する。
(3)
　「内積」の定義より　cosA＝((→AB)，(→AC))/[|(→AB)||→AC)|]＝x/[AB×AC]＝x/[√(x＋y)√(x＋z)]
　　cosB＝((→BA)，(→BC))/[|(→BA)||→(BC)|]＝y/[BA×BC]＝y/[√(x＋y)√(y＋z)]，cosCも同様である。　

（[定理1.4]の「証明」終わり）
「注意1.4.2」
　実数　x,y,zについて　
　x＋y>0　，x＋z>0　，y＋z＞0　ならば　x,y,zのうち「0以下になるのは唯一つだけ」で
　残りの2つは正の数でなければならない。
　
「なぜなら、仮にx≦0　とすれば　x＋y>0から　y>0，またx＋z>0からz>0　でなければならない。
　y≦0のときもz≦0　としたときも同様である。」
◎これは[定理1.4]において、x＝((→AB),(→AC))，y＝((→BA),(→BC))，z＝((→CA),(→CB))
　なので　
　x<0　,y>0,z>0　⇔　∠BACが鈍角,∠ABCと∠ACBは鋭角
　x＝0,　y>0,z>0　⇔　∠BACが直角,∠ABCと∠ACBは鋭角
　x>0,　y>0,z>0　⇔　∠BAC,∠ABCと∠ACBはみな鋭角
　を意味し、x,y,zは「三角形の性質」をよく反映している。
以上により、次のことが言える。
[定理1.5]
△ABCにおいて　[定理1.4]の条件：x＋y>0，x＋z>0，y＋z>0　かつ　yz＋xz＋xy>0
を満たす【実数】　x,y,zで「△ABCの性質を調べる」ことが、
△ABCの3辺AB＝c,AC=b，BC＝aの正の数a,b,cでb＋c>a,c+a>b、a+b>cを満たすもので　
「△ABCの性質を調べる」ことと「同じように」できる。

これらはいわば、「図形,多様体などの座標変換」に相当する。REAL＝{実数全体｝とおく。
　T(3)＝{△ABCの全体}とおく。
(1)　M(3)＝{(a,b,c)∈(REAL)^3｜a>0，b>0，c>0，b＋c>a，c+a>b，a+b>c｝とおけば，
　　M(3)は3次元空間(REAL)^3の部分集合である。T(3)＝{△ABCの全体}を調べることは集合M(3)を調べることであると
　　いってよいだろう。
(2)IP(3)＝{(x,y,z)∈(REAL)^3｜x＋y>0,x＋z>0,y＋z>0，yz＋xz＋xy>0}も3次元空間(REAL)^3の部分集合である。
　（ IP(3)は「内積」Inner Product　の略のつもり）
　　T(3)＝{△ABCの全体}を調べることは集合IP(3)を調べることであると言える。
(3)　変数変換の写像　Φ：M(3)→IP(3)　を
　　Φ(a，b，c)＝（(1/2)[b^2＋c^2－a^2]，(1/2)[c^2＋a^2－b^2]，(1/2)[a^2＋b^2－c^2]）
　　と定義する。すなわち　fは2次変換で
　　x＝(1/2)[b^2＋c^2－a^2]　，y＝(1/2)[c^2＋a^2－b^2]，z＝(1/2)[a^2＋b^2－c^2]　…（1.5.1)である。
　　このとき、x＋y＝c^2>0，　x＋z＝b^2>0　,y＋z＝a^2>0,yz＋xz＋yz>0となり、
　　△ABCの面積をSとすれば　2S＝√(yz＋xz＋yz)

(4)　(3)の逆変換　Ψ：IP(3)→M(3)　は　Ψ(x，y，z)＝（√(y＋z)，√(x＋z)，√(x＋y)）…（1.5.2)である。
　　　すなわち　　　a＝√(y＋z)，b＝√(x＋z),c＝√(x＋y)　　　　　　　　　　…（1.5.3)
　(Ψ・Φ)(a，b，c)＝(a，b，c)　，(Φ・Ψ)(x，y，z)＝(x，y，z)　である。

(5)　この様に写像　Φ，Ψは1:1かつ「上への」写像で「互いに他の逆写像」で　M(3)とIP(3)は１：１に対応する。
　
☆したがって「どんな△ABCも上のIP(3)の要素　x,y,zを用いて得られる」わけである。こうして
「△ABCを表現する(前から使用しているが）新しいパラメータ　x,y,zを得たことになる。」といえよう。
　変数はどちらも３つである。
なお
◎　「△ABCが正三角形　⇔　a＝b＝c　⇔　x＝y＝z」である。

[命題1.6]　---[定理1.4]の系---「3辺の三角不等式は試す必要がない！ので問題作りが助かると思う」
　実数x,y,zが　x>0，y>0,z>0であれば、
　√(y＋z)，√(x＋z)，√(x＋y)は「鋭角三角形の3辺になりうる」

[証明」
　x>0，y>0,z>0のとき、[定理1.4]の条件　
　x＋y>0　，x＋z>0　，y＋z＞0　…（1.4.1)　かつ　　yz＋xz＋xy　>0　…（1.4.2)は【自然に】成立する。
　ゆえに　AB＝√(x＋y)，AC＝√(x＋z)，BC＝√(y＋z)は鋭角三角形ABCを形造る。
「注意」：x>0，y>0,z>0　だから∠BAC，∠ABC，∠ACBはみな鋭角であることを注意しておく。
　また、この方法で造ると「3辺の間の三角不等式は自然に成り立つ」ので簡単に「三角形が作れる」ので
　便利である。

[命題1.7]　---[定理1.4]の系---　
　自然数x，y，zをx<y<z　と選んでおけば「3辺の長さがみな異なる鋭角三角形」がQ(有理数体)上せいぜい
　2次代数拡大の長さの3辺　√(x＋y)，√(x＋z)，√(y＋z)　のもので無数にできる。そして
　　√(x＋y)<√(x＋z)<√(y＋z)　…（1.7.1)

「証明」x>0，y>0,z>0　で　x<y<zだから　（　x＝((→AB)，(→AC))>0⇔∠BACが「鋭角」などに注意）
　x＋y＜x＋z　またx<yの両辺にzを加えてx＋z<y＋z　よって　x＋y<x＋z<y＋z　⇔√(x＋y)<√(x＋z)<√(y＋z)
（[命題1.7」の「証明」終わり）

[命題1.8]　　
　[定理1.4]の条件(1.4.1)，(1.4.2)を満たす　x,y,zを用いて　∠BACが鈍角の「鈍角三角形ABC」を造るには、
　x<0　のうち、|x|<y　かつ　|x|<z　かつ　|x|<(yz)/[y＋z]と　なるように選べば良い

「証明」
∠BACが鈍角⇔　x<0　このときy>0，z>0　で、　x+y>0，x＋z>0　からy>－x　,z>－x　またyz＋xz＋xy　>0となるには
　yz＋(y＋z)x>0　⇔　yz>(y＋z)(－x)　となることから分かる。　　　
[例1.9]
(1)　x=1，y=2，ｚ＝3　として　AB＝√(x＋y)＝√(1＋2)＝√3，AC=√(x＋y)＝√(1＋3)＝2，BC＝√(2＋3)＝√5
　　ゆえに(c，b，a)＝(√3，2，√5)が一つできる。　三角不等式を試す必要はない。
(2)　x＝0　のとき（　x＝((→AB)，(→AC))＝0⇔∠BACが直角　）∠BAC＝90°の直角三角形で、y>0，z>0　で　
　AC＝√(x＋z)＝√(z)，AB＝√(x＋y)＝√(y),斜辺BC＝√(y＋z)
　の直角三角形ABCができる。[三平方の定理も成り立っている。{√(z)}^2＋{√(y)}^2＝{√(y＋z)}^2　]
(3)
　x＝77/2，y＝51/2，z＝21/2　として　AB＝√(x＋y)＝√(128/2)＝8，√(x＋z)＝√(98/2)＝７,
　√(y＋z)＝√(72/2)＝6　よって　(c，b，a)＝(8，7，6)の「鋭角三角形」
(4)
　ｘ＝－2，y＝4，ｚ＝5　とすると　x＋y＝2＞0、x＋z＝3>0，y＋z＝9>0,(yz)/[y＋z]＝20/9>｜－2|なので
　(c，b，a)＝(√2，√3，3)となり、∠Aが鈍角である。

－－垂心四面体の構成理論及びその展開図の作成(その1)－2009.8.21(金)　－－に続く

垂心四面体の構成理論及びその展開図の作成(その1)－2009.8.21(金)

垂心四面体の構成理論及びその展開図の作成(その1)－2009.8.21(金)
<記号の約束>

mは自然数、E^mでm次元ユークリッド空間を表すものとし、「ベクトルAB」などを(→AB)で表す。
ベクトル(→AB)と(→AC)の「内積」を((→AB)，(→AC))で表わし、また、「三角形ABC」の3辺BC,CA,ABを
　BC＝a，CA＝b，AB＝cとし、その面積をSで表す。
「垂心四面体ABCD」の6辺を、BC＝a，CA＝b，AB＝c，AD＝d，BD＝e，CD＝f　とする。
その体積をV,頂点A,B,C,Dの対面の△BCD,△ACD,△ABD,△ABCの面積をそれぞれ
S_A，S_B，S_C,S_D　とおく。またdetJ(2),detJ(3)はいつもの通りとする。

2.
少し復習をしよう。
「四面体ABCD」について、BC＝a,CA＝b,AB＝c,AD＝d,BD＝e，AD＝fとしたとき、以下の条件は同値
　「垂心H」が存在する
　⇔　AB⊥CD　かつAC⊥BD　かつAD⊥BC　…(2.1.1)⇔a^2＋d^2＝b^2＋e^2＝c^2＋f^2　…(2.1.2)
　⇔((→AB),(→AC))＝((→AB),(→AD))＝((→AC),(→AD))
　⇔((→BA),(→BC))＝((→BA),(→BD))＝((→BC),(→BD))
⇔((→CA),(→CB))＝((→CA),(→CD))＝((→CB),(→CD))


⇔((→DA),(→DB))＝((→DA),(→DC))＝((→DB),(→DC))　…(2.1.3)
◎
　そこで「垂心H」が存在する四面体を「垂心四面体」（または「直辺四面体」）と呼ぶ。

「垂心四面体ABCD」に対し
x＝((→AB),(→AC))＝((→AB),(→AD))＝((→AC),(→AD)),
y＝((→BA),(→BC))＝((→BA),(→BD))＝((→BC),(→BD))，
z＝((→CA),(→CB))＝((→CA),(→CD))＝((→CB),(→CD))，
w＝((→DA),(→DB))＝((→DA),(→DC))＝((→DB),(→DC))　　…(2.1.4)とおくと、
次のことが成り立つ。
[命題2.2]
　「垂心四面体ABCD」について、BC＝a,CA＝b,AB＝c,AD＝d,BD＝e，AD＝fとしたとき、
　x＋y＝AB^2＝c^2　,x＋z＝AC^2＝b^2，x＋w＝AD^2＝d^2，
　 y＋z＝BC^2＝a^2，y＋w＝BD^2＝e^2,　z＋w＝CD^2＝f^2　…(2.2.1)
「証明」
z＋w＝CD^2＝f^2　を証明してみよう。
z＝((→CA),(→CB))＝((→CA),(→CD))＝((→CB),(→CD))のうちで、Dが入った式に
着目して　z＝((→CA),(→CD))＝((→DA)－(→DC),－(→DC))＝|(→DC)|^2－((→DA),(→DC))
　　　　　　＝CD^2－w　（　∵(2.1.4)より　((→DA),(→DC))＝w　だから）
　ゆえに　z＋w＝CD^2＝f^2　となる。他も同様である。
（[命題2.2]の「証明」終わり）

　これより次の[命題2.3]が成立する。
[命題2.3]
「垂心四面体ABCD」において　、BC＝a,CA＝b,AB＝c,AD＝d,BD＝e，AD＝fとしたとき、
(1)　頂点Dの対面の△ABCについて　AB＝c，AC＝b，BC＝a、その面積をS_Dとしたとき、
　　x＝((→AB),(→AC))，y＝((→BA),(→BC))，z＝((→CA),(→CB))
　　x＋y＝AB^2＝c^2>0，x＋z＝AC^2＝b^2>0，y＋z＝BC^2＝a^2>0、また
(2S_D)^2＝yz＋xz＋xy>0 …(2.3.1)
(2)　頂点Aの対面の△BCDについて　BC＝a，BD＝e，BD＝e、その面積をS_Aとしたとき、
　　y＝((→BC),(→BD))，z＝((→CB),(→CD))，w＝((→DB),(→DC))
　　y＋z＝BC^2＝a^2>0，y＋w＝BD^2＝e^2>0，z＋w＝CD^2＝f^2>0，また
(2S_A)^2＝zw＋yw＋yz＞0 …(2.3.2)　
(3)　頂点Bの対面の△ACDについて　AC＝b，AD＝d，CD＝f、その面積をS_Bとしたとき、　
　　x＝((→AC),(→AD))，z＝((→CA),(→CD))，w＝((→DA),(→DC))
　　x＋z＝AC^2＝b^2>0，x＋w＝AD^2＝d^2>0，z＋w＝CD^2＝f^2>0、また
(2S_B)^2＝zw＋xw＋xz>0 …(2.3.3)
(4)　頂点Cの対面の△ABDについて　AB＝c，AD＝d，BD＝e、その面積をS_Cとしたとき、　
　　x＝((→AB),(→AD))，y＝((→BA),(→BD))，w＝((→DA),(→DB))
　　x＋y＝AB^2＝c^2>0，x＋w＝AD^2＝d^2>0，y＋w＝BD^2＝e^2>0、 また
(2S_C)^2＝yw＋xw＋xy>0 …(2.3.4)

垂心四面体の構成理論及びその展開図の作成(その2)－2009.8.21(金)

垂心四面体の構成理論及びその展開図の作成(その2)－2009.8.21(金)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－－－－
－－[三角形及び垂心四面体の構成理論及びその展開図の作成(その1)－2009.8.21(金)]の続き－－－－－

[命題2.4]
「四面体ABCD」に対し(→AB)＝(→b),(→AC)＝(→c),(→AD)＝(→d)とおき、3次の実対称行列J(3)を　
J(3)＝
(((→b),(→b))　((→b),(→c))　((→b),(→d))　)
(((→c),(→b))　((→c),(→c))　((→c),(→d))　)
(((→d),(→b))　((→d),(→c))　((→d),(→d))　)
とおくと　detJ(3)はいわゆるGram(グラム)の行列式であって、
(→AB)＝(→b),(→AC)＝(→c),(→AD)＝(→d)　が一次独立だから　detJ(3)＞０　
「四面体ABCD」の体積をVとすると　detJ(3)＝(6V)^2　の関係がある。
特に「垂心四面体ABCD」にたいしては
detJ(3)＝(6V)^2＝yzw＋xzw＋xyw＋xyz＞0　…(2.4.1)　のように　detJ(3)はx,y,z,wの3次の対称式になる。
「証明」
「垂心四面体ABCD」にたいして
　detJ(3)＝yzw＋xzw＋xyw＋xyz　…(2.4.1)だけ「証明」しておこう。
「垂心四面体ABCD」では　((→b),(→c))＝((→AB)，(→AC))＝x　，((→c),(→c))＝|(→c)|^2＝|(→AC)|^2＝b^2
　などにより
J(3)＝
(　c^2　　　x　　　　　　 x　　　　)
(　x　　　　b^2　　　　　 x　　　　)
(　x　　　　x　　　　　　d^2　　　 )
ゆえに
detJ(3)＝
|　c^2　　　x　　　　　　　x　　　　|
|　x　　　 b^2　　　　　　 x　　　　|＝
|　x　　　　x　　　　　　 d^2　　 　|

|　c^2－x　　　　 0　　　　　x　　　|
|　0　　　　　　b^2－x　　　 x　　　|
|－(d^2－x)　　－(d^2－x) d^2　　 |

＝d^2(c^2－x)(b^2－x)＋x(b^2－x)(d^2－x)＋x(c^2－x)(d^2－x)
＝(x＋w)yz＋xzw＋xyw＝yzw＋xzw＋xyw＋xyz　となる。
ここで　[命題2.2](2.2.1)の x＋w＝d^2，よってまた　d^2－x＝w，x+y＝c^2，x＋z＝b^2を用いた。
それ以外のことは「線型代数」の本、例えば裳華房の「佐武一郎」著「線型代数学」のP265～P266を
見ていただきたい。
([命題2.4]の「証明」終わり）

それでは、
1.での三角形の作り方と同じような[垂心四面体ABCD]の造り方を述べて行く。
まず、次の[補題2.5]を用意する。
[補題2.5]
　x,y,z,wを不定元　とするとき、次の恒等式が成立する。
(1)　yzw＋xzw＋xyw＋xyz＝(x＋y＋z＋w)(yz＋xz＋xy)－(y＋z)(x＋z)(x＋y)　…(2.5.1)　
(2)　yzw＋xzw＋xyw＋xyz＝(x＋y＋z＋w)(zw＋yw＋yz)－(z＋w)(y＋w)(y＋z)　…(2.5.2)
(3)　yzw＋xzw＋xyw＋xyz＝(x＋y＋z＋w)(zw＋xw＋xz)－(z＋w)(x＋w)(x＋z)　…(2.5.3)
(4)　yzw＋xzw＋xyw＋xyz＝(x＋y＋z＋w)(yw＋xw＋xy)－(y＋w)(x＋w)(x＋y)　…(2.5.4)

「証明」
(2.5.1)が成り立てば、(2.5.1)の両辺でxとwとを交換して(2.5.2)が導かれ、(2.5.1)の両辺で
yとwを交換すれば(2.5.3)が、(2.5.1)の両辺でzとwを交換すれば(2.5.4)が導かれる。
それで(2.5.1)式だけ「証明」すればよい。
(2.5.1)の右辺＝(y＋z)(yz＋xz＋xy)＋(x＋w)(yz＋xz＋xy)－(y＋z)(x＋z)(x＋y)
　　　　　　＝(y＋z){(yz＋xz＋xy)－(x＋z)(x＋y)}＋(x＋w)(yz＋xz＋xy)
　　　　　　＝(y＋z){(yz＋xz＋xy)－x^2－xz－xy－yz}＋(x＋w){(yz＋x(z＋y)}
　　　　　　＝－(x^2)(y＋z)＋xyz＋yzw＋(x^2)(z＋y)＋xzw＋xyw
　　　　　　＝xyz＋yzw＋xzw＋xyw
　　　　　　＝yzw＋xzw＋xyw＋xyz
　　　　　　＝(2.5.1)の左辺
（[補題2.5]の「証明」終わり）
[補題2.5の系]
「垂心四面体ABCD」では、
detJ(3)＝yzw＋xzw＋xyw＋xyz
　　　 ＝(x＋y＋z＋w)(yz＋xz＋xy)－(y＋z)(x＋z)(x＋y) …(2.5.5)　
　　　 ＝(x＋y＋z＋w)(zw＋yw＋yz)－(z＋w)(y＋w)(y＋z)　 …(2.5.6)
＝(x＋y＋z＋w)(zw＋xw＋xz)－(z＋w)(x＋w)(x＋z)　 …(2.5.7)
＝(x＋y＋z＋w)(yw＋xw＋xy)－(y＋w)(x＋w)(x＋y)　 …(2.5.8)
[定理2.6]
　　x,y,z,wは【実数】とする。
　 　x＋y＞0　,x＋z＞0　，x＋w＞0， y＋z＞0，y＋w＞0　,z＋w＞0　…(2.6.1)　かつ
　　　yzw＋xzw＋xyw＋xyz＞0　…(2.6.2)

　⇒　yz＋xz＋xy＞0　…(2.6.3)　，zw＋yw＋yz＞0　…(2.6.4)，
　　　zw＋xw＋xz＞0　…(2.6.5)　，yw＋xw＋xy＞0　…(2.6.6)
「証明」
　[補題2.5]の(2.5.1)より
　　(x＋y＋z＋w)(yz＋xz＋xy)－(y＋z)(x＋z)(x＋y)＝yzw＋xzw＋xyw＋xyz　…(2.6.7)
　　条件より　yzw＋xzw＋xyw＋xyz>0　…(2.6.2)　また(2.6.1)より　x＋y＋z＋w＞0　で
　　y＋z＞0,　x＋z＞0,x＋y＞0　でもある。　ゆえに　
　　(x＋y＋z＋w)(yz＋xz＋xy)－(y＋z)(x＋z)(x＋y)＞0　より
　　yz＋xz＋xy＞[(y＋z)(x＋z)(x＋y)]/(x＋y＋z＋w)＞0　すなわち
　　yz＋xz＋xy＞0　…(2.6.3)が成立する。
　　他の式も条件(2.6.1),(2.6.2)を使って成立することが分かる。
（[定理2.6]の「証明」終わり）
◎「注意]：[定理2.6]の述べていることは、次の通りである。「垂心四面体ABCD」では、[命題2.2]の
　(2.2.1)が成立し、したがって[定理2.6]の条件(2.6.1)は成立している。
　そして体積Vとの関連で　detJ(3)＝(6V)^2＝yzw＋xzw＋xyw＋xyz＞0　
　が成り立っている。さらに各面の△ABC、△BCD，△ACD，△ABDの面積S_D,S_A,S_B,S_Cに
　ついて[命題2.3]の　(2S_D)^2＝yz＋xz＋xy＞0　が成立しなければならないが、
　この(2S_D)^2＝yz＋xz＋xy＞0　などの4つの不等式は
　 　x＋y＞0　,x＋z＞0　，x＋w＞0， y＋z＞0，y＋w＞0　,z＋w＞0　…(2.6.1)　かつ
　　yzw＋xzw＋xyw＋xyz＞0　…(2.6.2)から自然に導かれるので、「垂心四面体」を構成する
　　ときにそのチェックは【不要】ということを意味する。

3.
したがって1.の「定理1.4]を「四面体ABCD」の各面の△ABC，△BCD，△ACD，△ABDの構成に適用すれば、
次の[定理3.1]が成立する。
[定理3.1]
　　x,y,z,wは【実数】とする。
　　　x＋y＞0　,x＋z＞0　，x＋w＞0， y＋z＞0，y＋w＞0　,z＋w＞0　…(3.1.1)　かつ
　　　yzw＋xzw＋xyw＋xyz＞0　…(3.1.2)　が成立しているとする。
　このとき、次のことが成り立つ。
(1)　√(x＋z)，√(x＋y),√(y＋z)　は　AC＝√(x＋z)，AB＝√(x＋y)，BC＝√(y＋z)として
　　「△ABC」の「3辺」になる。
(2)　√(y＋z),√(y＋w)，√(z＋w)　は　BC＝√(y＋z)，BD＝√(y＋w),　CD＝√(z＋w)　として
「△BCD」の「3辺」になる。
(3)　√(x＋z)，√(x＋w),√(z＋w)　は　AC＝√(x＋z)，AD＝√(x＋w)，CD＝√(z＋w)　として
　　「△ACD」の「3辺」になりる。
(4)　√(x＋y)，√(x＋w),√(y＋w)　は　AB＝√(x＋y)，AD＝√(x＋w)，BD＝√(y＋w)　として
　　「△ABD」の「3辺」になる。
[定理3.2]
　 　x,y,z,wは【実数】とする。
　　　x＋y＞0　,x＋z＞0　，x＋w＞0， y＋z＞0，y＋w＞0　,z＋w＞0　…(3.2.1)　かつ
　　　yzw＋xzw＋xyw＋xyz＞0　…(3.2.2)　が成立しているとする。
このとき、次のことが成り立つ。
　(1)
　　まず、E^3内の「平面上」に3点B，C，Dを　BC＝√(y＋z)，CD＝√(z＋w)，DB＝√(y＋w)，
　　ととれば△BCDができて、次に点Aを　BA＝√(x＋y)，CA＝√(x＋z)，DA＝√(x＋w)
　　となるようにその上方にとれば、
　 ((→AB),(→AC))＝((→AB),(→AD))＝((→AC),(→AD))＝x　…(3.2.3),
　 ((→BA),(→BC))＝((→BA),(→BD))＝((→BC),(→BD))＝y　…(3.2.4)，
　((→CA),(→CB))＝((→CA),(→CD))＝((→CB),(→CD))＝z　…(3.2.5)，
　((→DA),(→DB))＝((→DA),(→DC))＝((→DB),(→DC))＝w　…(3.2.6)
　(2)
　(2S_D)^2＝yz＋xz＋xy＞0， (2S_A)^2＝zw＋yw＋yz＞0，
　　(2S_B)^2＝zw＋xw＋xz＞0，　(2S_C)^2＝yw＋xw＋xy＞0　　…(3.2.7)
　(3)　
[命題2.4]のJ(3)は　
J(3)＝
( x＋y　　 　x　　　　　x　)
(　 x　　　　x＋z　　　　x　)
(　 x　　　　 x　　　　x＋w )　　　…(3.2.8)となり、

detJ(3)＝

|x＋y　　 　x　　　　　x 　|
| x　　　　x＋z　　　 　x　 |＝yzw＋xzw＋xyw＋xyz＞0　…(3.2.9)
| x　　　　 x　　　　 x＋w　|

　(4)
(→AB),(→AC),(→AD)は一次独立となり、4点A,B,C,Dは「垂心四面体ABCD」を形造る。
　そしてその体積　V　は
　V＝(1/6)√(yzw＋xzw＋xyw＋xyz)　…(3.2.10)
「証明」
　(1)　3点A,B,CをAB＝√(x＋y)，AC＝√(x＋z)，BC＝√(y＋z)，
　　　ととれば [定理3.1]の(2)から　△ABCができる。
　　((→AB),(→AC))＝(1/2)[|(→AB)|^2＋|(→AC)|^2－|(→BC)|^2]
　　　＝(1/2)[|AB|^2＋|AC|^2－|BC|^2]
　　　＝(1/2)[{√(x＋y)}^2＋{√(x＋z)}^2－{√(y＋z)}^2]＝(1/2)[(x＋y)＋(x＋z)－(y＋z)]
　　　＝(1/2)[2x]＝x　，同様に
　　((→AB),(→AD))＝(1/2)[|AB|^2＋|AD|^2－|BD|^2]
　　　＝(1/2)[{√(x＋y)}^2＋{√(x＋w)}^2－{√(y＋w)}^2]＝(1/2)[(x＋y)＋(x＋w)－(y＋w)]
　　　＝(1/2)[2x]＝x
　　((→AC),(→AD))＝(1/2)[|AC|^2＋|AD|^2－|CD|^2]
　　　＝(1/2)[{√(x＋z)}^2＋{√(x＋w)}^2－{√(z＋w)}^2]＝(1/2)[(x＋z)＋(x＋w)－(z＋w)]
　　　＝(1/2)[2x]＝x
　　ゆえに　((→AB),(→AC))＝((→AB),(→AD))＝((→AC),(→AD))＝x　となり、(3.2.3)が成立。
　　次に
　　((→BA),(→BC))＝(1/2)[|(→BA)|^2＋|(→BC)|^2－|(→AC)|^2]
　　　＝(1/2)[|AB|^2＋|BC|^2－|BD|^2]　　
　　　＝(1/2)[{√(x＋y)}^2＋{√(y＋z)}^2－{√(x＋z)}^2]＝(1/2)[(x＋y)＋(y＋z)－(x＋z}]
　　　＝(1/2)[2y]＝y　などから　(3.2.4)も同様に成立。(3.2.5),(3.2.6)の成立も同様である。
(2)
　(3.2.7)は[定理2.6]と[定理3.1]から成り立つ。
(3)　
[命題2.4]のJ(3)は　
　　J(3)＝
(((→AB),(→AB))　((→AB),(→AC))　((→AB),(→AD))　)
(((→AC),(→AB))　((→AC),(→AC))　((→AC),(→AD))　)＝
(((→AD),(→AB))　((→AD),(→AC))　((→AD),(→AD))　)

(|AB|^2　　 x　　　　 x　　　)
(　x　　　|AC|^2　 x　 　 )＝
( x　 x 　 |AD|^2　 )

(|√(x＋y)|^2　　 x　　　　 x　 )
(　x　　　 　|√(x＋z)|^2　 x　 )＝
( x　 x 　 |√(x＋w)|^2x　)

( x＋y　　 　x　　　　　x　)
(　 x　　　　x＋z　　　　x　)
(　 x　　　　 x　　　　x＋w )　よって　

detJ(3)＝
|x＋y　　 　x　　　　　x 　|　|　y　　 　0　　　 x 　|
| x　　　　x＋z　　　 　x　 |＝|　0　　　　z　　　 x　 |
| x　　　　 x　　　　 x＋w　|　|－w　　　 －w　　　x＋w |

＝yz(x＋w)＋xzw＋xyw＝yzw＋xzw＋xyw＋xyz　＞0　(∵　条件(3.2.2)　より）

(4)　上の(3)から　
(→AB),(→AC),(→AD)の「Gram」の行列式　detJ(3)>0　だから
(→AB),(→AC),(→AD)は一次独立となり、「四面体ABCD」ができる。
さらに(2)から((→AB),(→AC))＝((→AB),(→AD))＝((→AC),(→AD))
だから「四面体ABCD」は1.で述べたところの「垂心四面体ABCD」の条件を満たしている。
[定理3.1]から4つの側面は「三角形」をなしている。
　よって　4点A,B,C,Dは「垂心四面体ABCD」を形造る。x,y,z,wは
　x＝((→AB),(→AC))＝((→AB),(→AD))＝((→AC),(→AD))，
　y＝((→BA),(→BC))＝((→BA),(→BD))＝((→BC),(→BD))，
z＝((→CA),(→CB))＝((→CA),(→CD))＝((→CB),(→CD))，
w＝((→DA),(→DB))＝((→DA),(→DC))＝((→DB),(→DC))を満たしているから
　detJ(3)＝(6V)^2＝yzw＋xzw＋xyw＋xyz
　ゆえに　その体積　V　は
　V＝(1/6)√(yzw＋xzw＋xyw＋xyz)　…(3.2.10)
（[定理3.2]の「証明」終わり）

4.
T(4)＝{垂心四面体の全体｝，
IP(4)＝{(x,y,z,w)∈(REAL)^4｜x＋y>0,x＋z>0,x＋w>0,y＋z>0,y＋w>0,y＋w>0,yzw＋xzw＋xyw＋xyz＞0}
としたとき、T(4)の一つの対象である「垂心四面体ABCD」の6辺　
BC＝a，CA＝b，AB＝c,AD＝d,BD＝e,CD＝fは　条件　a^2＋d^2＝b^2＋e^2＝c^2＋f^2　…(4.1.1)を
満たしている。
M(4)
＝{(a,b,c,d,e,f)∈(REAL)^6|BC＝a，CA＝b，AB＝c,AD＝d,BD＝e,CD＝fとして
　　　　　4点A,B,C,Dは四面体ABCDを作り,かつa^2＋d^2＝b^2＋e^2＝c^2＋f^2}
とおけば　M(4)は「垂心四面体ABCD」の集合を表していると考えられる。そこで　3.の「定理3.2]により
写像　Φ：M(4)　→IP(4)　を
Φ(a,b,c,d,e,f)＝((1/2)[b^2＋c^2－a^2],(1/2)[c^2＋a^2－b^2],(1/2)[a^2＋b^2－c^2],(1/2)[d^2＋e^2－c^2])　　
　　…(4.1.2)　　すなわち　
　x＝((→AB),(→AC))＝((→AB),(→AD))＝((→AB),(→AD)),
　y＝((→BA),(→BC))＝((→BA),(→BD))＝((→BC),(→BD)),
　z＝((→CA),(→CB))＝((→CA),(→CD))＝((→CB),(→CD))，
　w＝((→DA),(→DB))＝((→DA),(→DC))＝((→DB),(→DC))　具体的には
x＝(1/2)[b^2＋c^2－a^2],y＝(1/2)[c^2＋a^2－b^2],z＝(1/2)[a^2＋b^2－c^2],w＝(1/2)[d^2＋e^2－c^2]
　　　　…(4.1.3)
　とおけば　条件　a^2＋d^2＝b^2＋e^2＝c^2＋f^2により　Φ　は　well－definedであって、
　その「逆写像」Ψ：M(4)　→IP(4)　は、
　Ψ(x,y,z,w)＝(√(y＋z,√(x＋z),√(x＋y),√(x＋w),√(y＋w),√(z＋w)）…(4.1.4)　となる。
すなわち a＝BC＝√(y＋z)，b＝CA＝√(x＋z),c＝AB＝√(x＋y),
　　　　 d＝AD＝√(x＋w),e＝BD＝√(y＋w),f＝CD＝√(z＋w) である。
(Ψ・Φ)(a，b，c，d，e，f)＝(a，b，c，d，e，f)　，(Φ・Ψ)(x，y，z,w)＝(x，y，z，w)
となり、Φ：M(4)　→IP(4)及び　Ψ：IP(4)→M(4)は　1:1かつ「上への」写像で「互いに他の逆写像」になる。
　M(4)とIP(4)は1:1に対応する。
　この様にして「垂心四面体ABCD」はa,b,c,d,e,fの6つあるパラメーターに対し、
2つの等式　a^2＋d^2＝b^2＋e^2＝c^2＋f^2より
パラメーターは　6－2＝4となるべきであるが、その4つのパラメーターとして、
IP(4)の(x,y,z,w)がとれるということである。よって次の[定理4.1]が得られた。

[定理4.1]
　すべての「垂心四面体ABCD」は、条件　x＋y>0,x＋z>0,x＋w>0,y＋z>0,y＋w>0,y＋w>0,yzw＋xzw＋xyw＋xyz＞0
　　…(4.1.1) を満たす　(x,y,z,w)によって
　BC＝√(y＋z),CA＝√(x＋z),AB＝√(x＋y),AD＝√(x＋w),BD＝√(y＋w),CD＝√(z＋w)　として得られる。

[定理4.1の系1]
　 x>0，y>0，z>0．w>0　ならば，
　BC＝√(y＋z),CA＝√(x＋z),AB＝√(x＋y),AD＝√(x＋w),BD＝√(y＋w),CD＝√(z＋w)　
　として４つの側面全てが「鋭角三角形」の「垂心四面体ABCD」ができる。
[注意]：
　x＋y>0,x＋z>0,x＋w>0,y＋z>0,y＋w>0,y＋w>0とする。このとき、x,y,z,wのうち，「0以下になるのは唯一つしかない」から
　次の場合とそのxをy,z,w　に入れ替えた場合しか起こらない。
(1)　x<0，y>0，z>0，w>0　⇔　∠BAC,∠BAD，∠CADは鈍角で他の角はみな鋭角，特に頂点Aの対面の△BCDは「鋭角三角形」
(2)　x＝0, y>0，z>0，w>0　⇔　∠BAC＝∠BAD＝∠CAD＝90°，「他の角はみな鋭角」　これは「A－3直角四面体」である。
(3)　x>0　,y>0，z>0，w>0　⇔　4つの側面は全て「鋭角三角形」

－－垂心四面体の構成理論及びその展開図の作成(その3)－2009.8.21(金)　－－に続く

垂心四面体の構成理論及びその展開図の作成(その3)－2009.8.21(金)

垂心四面体の構成理論及びその展開図の作成(その3)－2009.8.21(金)


mは自然数、E^mでm次元ユークリッド空間を表すものとし、「ベクトルAB」などを(→AB)で表す。
ベクトル(→AB)と(→AC)の「内積」を((→AB)，(→AC))で表わし、また、「三角形ABC」の3辺BC,CA,ABを
　BC＝a，CA＝b，AB＝cとし、その面積をSで表す。
「垂心四面体ABCD」の6辺を、BC＝a，CA＝b，AB＝c，AD＝d，BD＝e，CD＝f　とする。
その体積をV,頂点A,B,C,Dの対面の△BCD,△ACD,△ABD,△ABCの面積をそれぞれ
S_A，S_B，S_C,S_D　とおく。またdetJ(2),detJ(3)はいつもの通りとする。
－－－－－　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－－－－
－－[垂心四面体の構成理論及びその展開図の作成(その2)－2009.8.21(金)]の続き－－－－－

[定理4.1の系2]
　x,y,z,wを自然数で　x＜y＜z＜w　とし、さらに【y＋z＜x＋w】と選べば各辺の長さがみな異なり、
　４つの側面が全て「鋭角三角形」の「垂心四面体ABCD」を無数に造ることができる。
「証明」
　x＜y＜z＜w　から　x＋y＜x＋z＜x＋w＜y＋w＜z＋w　そしてy＋z＜x＋w　としたから　
　x＋z＜y＋z＜x＋w　
　よって
　    x＋y＜x＋z＜y＋z＜x＋w＜y＋w＜z＋w　
  ⇔　√(x＋y)＜√(x＋z)＜√(y＋z)＜√(x＋w)＜√(y＋w)＜√(z＋w)
　となり6辺は全て異なり、AB＜AC＜BC＜AD＜BD＜CD　であり、「側面の４つの三角形はみな鋭角三角形」になる。
（[定理4.1の系2]の「証明」終わり）

[例4.2]
(1)
　x＝1，y＝2，z＝3，w＝5　…(4.2.1)とすれば　x＜y＜z＜w　かつ　5＝y＋z＜x＋w＝6　なので
　√(x＋y)＜√(x＋z)＜√(y＋z)＜√(x＋w)＜√(y＋w)＜√(z＋w)　は√3＜2＜√5＜√6＜√7＜2√2　
　となり、AB＝√3，AC＝2，BC＝√5，AD＝√6，BD＝√7，CD＝2√2　を満たす4点A,B,C,Dは6辺の長さが全て異なる
「垂心四面体ABCD」を形造る。
　S_A＝(1/2)√(zw＋yw＋yz)＝(1/2)√(15＋10＋6)＝√(31)/2,　S_B＝(1/2)√(zw＋xw＋xz)＝(1/2)√(15＋5＋3)＝√(23)/2
　S_C＝(1/2)√(yw＋xw＋xy)＝(1/2)√(10＋5＋2)＝√(17)/2　, S_D＝(1/2)√(yz＋xz＋xy)＝(1/2)√(6＋3＋2)＝√(11)/2
　　　　…(4.2.2)
　detJ(3)＝yzw＋xzw＋xyw＋xyz＝30＋15＋10＋6＝61　…(4.2.3)
　体積　V＝(1/6)√{detJ(3)}＝(1/6)√[yzw＋xzw＋xyw＋xyz]＝√(61)/6　…(4.2.4)
　また
(ア)「垂心H」の「ベクトルによる重心座標表現」は
　(→PH)＝[yzw(→PA)＋xzw(→PB)＋xyw(→PC)＋xyz(→PD)]/(yzw＋xzw＋xyw＋xyz)
　　　　＝(1/61)[30(→PA)＋15(→PB)＋10(→PC)＋6(→PD)]　…(4.2.5)
(イ)　「外心S」の「ベクトルによる重心座標表現」は
　(→PS)
　　＝[{detJ(3)－2yzw}(→PA)＋{detJ(3)－2xzw}(→PB)＋{detJ(3)－2xyw}(→PC)＋{detJ(3)－2xyz}(→PD)]/{2detJ(3)}
　　＝[{61－60}(→PA)＋{61－30}(→PB)＋{61－20}(→PC)＋{61－12}(→PD)]/(2×61)
　　＝(1/122)[(→PA)＋31(→PB)＋41(→PC)＋49(→PD)]　　…(4.2.6)
(ウ)　
　　　「内心I」の「ベクトルによる重心座標表現」は
　(→PI)＝[S_A(→PA)＋S_B(→PB)＋S_C(→PC)＋S_D(→PD)]/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)
　　　　＝[√(31)/2(→PA)＋√(23)/2(→PB)＋√(17)/2(→PC)＋√(11)/2(→PD)]/(√(31)/2＋√(23)/2＋√(17)/2＋√(11)/2)
　　　　＝{1/(√(31)＋√(23)＋√(17)＋√(11)}×[√(31)(→PA)＋√(23)(→PB)＋√(17)(→PC)＋√(11)(→PD)]　
　　　　　　…(4.2.5)
(エ)　「内接球面」の半径　r＝√{detJ(3)}/[2(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)]＝√(61)/[2{√(31)＋√(23)＋√(17)＋√(11)}]
　…(4.2.6)
(オ)　「外接球面」の半径Rの2乗は　R^2＝(x＋y＋z＋w)/4－(xyzw)/detJ(3)＝(11)/4－30/61＝(671－120)/244＝551/244
　　　　よって　R＝√(19×29)/2√(61)＝√(551)/2√(61)　…(4.2.7)
(2)
 　x＝1，y＝3，z＝6，w＝10　…(4.2.8)とすれば　x＜y＜z＜w　かつ　9＝y＋z＜x＋w＝11　なので
　　√(x＋y)＜√(x＋z)＜√(y＋z)＜√(x＋w)＜√(y＋w)＜√(z＋w)　は2＜√7＜3＜√11＜√13＜4　となり
　　AB＝2，AC＝√7，BC＝3，AD＝√11，BD＝√13，CD＝4　を満たす4点A,B,C,Dは「垂心四面体ABCD」を形造る。
　　detJ(3)＝yzw＋xzw＋xyw＋xyz＝180＋60＋30＋18＝288　…(4.2.9)
　　体積　V＝(1/6)√{detJ(3)}＝(1/6)√[yzw＋xzw＋xyw＋xyz]＝12√(2)/6＝2√2　…(4.2.10)

5.
「垂心四面体」を立体的に構成する方法を述べる。
　[定理4.1]の条件
　x＋y>0,x＋z>0,x＋w>0,y＋z>0,y＋w>0,y＋w>0,yzw＋xzw＋xyw＋xyz＞0　…(4.1.1) が
　成り立っているものとする。　
　[定理3.2]において「垂心四面体ABCD]を構成できる「証明」のポイントは[定理3.2]の(3)の
　detJ(3)＝yz(x＋w)＋xzw＋xyw＝yzw＋xzw＋xyw＋xyz＞0　すなわち　detJ(3)>0　をその根拠にした。

　　ここでは、図形的な見かたでこれを「証明」しようと思う。これは前にも述べたことがあるが，前より
　「説明」は易しくなる。座標に大文字のX,Y,Zを使うことにし，3次元ユークリッド空間E^3－「XYZー空間」を考える。
　その部分空間の「XYー平面」上に点Bを原点(0,0,0),BCをX軸の正の方向においたとき、
　Y＞0の部分に△BCDの頂点Dがくるように　BC＝√(y＋z)，BD＝√(y＋w)，CD＝√(z＋w)となるように取る。
　この様にして「△BCDが構成できる」ことは[定理3.1]の(2)に示してある。
　Dの座標を求めてみよう。
◎　以下しばらくは「XYー平面」上で考えることにする。
[命題5.1.2]　
　条件(4.1.1)が成立しているとする。この頂点Dから底辺BC＝√(y＋z)に下した「垂線の足」をLとする。
　すると　DL＝√(zw＋yw＋yz)/√(y＋z)　…(5.1.1)，BL＝y/√(y＋z)　…(5.1.2)，LC＝z√(y＋z)　…(5.1.3)
「証明」
　△BCDの面積は[命題2.3]の(2.3.2)より　S_A＝(1/2)√(zw＋yw＋yz)　である。ゆえに(1/2)×BC×DL＝(1/2)√(zw＋yw＋yz)
　よってDL＝√(zw＋yw＋yz)/BC＝√(zw＋yw＋yz)/√(y＋z)　…(5.1.1)　
　次に BLの長さを求めよう。BL＝sとおく。「三平方の定理」からBD^2－BL^2＝CD^2－LC^2　つまり
　[√(y＋w)]^2－s^2＝[√(z＋w)]^2－[√(y＋z)－s]^2　⇔　y＋w－s^2＝z＋w－(y＋z)＋2[√(y＋z)]s－s^2　
　⇔　2[√(y＋z)]s＝2y　⇔　s＝y/√(y＋z)　よってBL＝y/√(y＋z)　すると
　　LC＝√(y＋z)－[y/√(y＋z)]＝[(y＋z)－y]/√(y＋z)＝z/√(y＋z)　
　すなわち　BL＝y/√(y＋z)　…(5.1.2)　，LC＝z/√(y＋z)　…(5.1.3)
　（[命題5.1.2]の「証明」終わり）
次に
[命題5.2.2]　
　条件(4.1.1)が成立しているとする。△ABCを考えよう。辺BCを△BCDと同じくX軸上にとり、頂点A′がY＜0の
　部分にくるように　A′B＝√(x＋y)，A′C＝√(x＋z)と取る。△ABCと△A′BCとは「合同」でBCを軸として鏡映的である。
　このとき、△A′BCの頂点A′からBCに下した垂線の足は[命題5.1.2]の点Lと一致し、
　　A′L＝√(yz＋xz＋xy)/√(y＋z)　…(5.2.1)　そして　A′D⊥BC　で
　　A′D＝[√(zw＋yw＋yz)＋√(yz＋xz＋xy)]/√(y＋z)　…(5.2.2)
「証明」
　△A′BCの頂点A′からBCに下した垂線の足をL′とする。BC＝√(y＋z)，A′B＝√(x＋y)，A′C＝√(x＋z)であるから
　BL′＝tとおくと「三平方の定理」から　(A′B)^2－(BL′)^2＝(A′C)^2－(L′C)^2　つまり
　[√(x＋y)]^2－t^2＝[√(x＋z)]^2－[√(y＋z)－t]^2　⇔　x＋y－t^2＝x＋z－(y＋z)＋2[√(y＋z)]t－t^2　
　⇔　2[√(y＋z)]t＝2y　⇔　t＝y/√(y＋z)　つまり　BL′＝y/√(y＋z)　よって　L′＝Lとなる。
　ゆえに　BL＝y/√(y＋z)　，LC＝z√(y＋z)　…(5.1.3) また、
　△A′BCの面積＝△ABCの面積＝(1/2)√(yz＋xz＋xy)　だから[命題5.1.2]と同様にして、
　DL⊥BC，(A′L)⊥BCから、3点A′,L,Dは一直線上にあり、(A′D)⊥BC，(A′L)＝√(yz＋xz＋xy)/√(y＋z)　…(5.2.3)　
（[命題5.2.2]の「証明」終わり）　
「注意」：実は(A′D)⊥BC　は「四面体ABCD」が「垂心四面体ABCD」になるための条件の一つ　AD⊥BC　からでてくるのである。

全く同様に
[命題5.2.3]　
　条件(4.1.1)が成立しているとする。△ABCを考えよう。辺BCを△BCDと同じくX軸上にとり、頂点A″を△BCDと同じ側,
　Y＞0の側に　A″B＝√(x＋y)，A″C＝√(x＋z)ととって△A″BCができる。△A″BC≡△ABCである。
　頂点A″から辺BCに下した「垂線」の足は [命題5.1.2]の点Lと一致する。点A″,L,Dは一直線上にあり、A″D⊥BC,
　(A″L)＝√(yz＋xz＋xy)/√(y＋z)　…(5.2.4)　DL＝√(zw＋yw＋yz)/BC＝√(zw＋yw＋yz)/√(y＋z)　…(5.1.1)だから
　 (A″D)＝|√(zw＋yw＋yz)/√(y＋z)－√(yz＋xz＋xy)/√(y＋z)|　…(5.2.5)

このとき次の[命題5.3]が成り立つ。　

[命題5.3]　
　　　DA′＞DA＞DA″　…(5.3.1)　
これを「証明」するため次の２つの「補題」を用意する。
[補題5.4]
　実数　x,y,z,wは条件(4.1.1)　x＋y>0,x＋z>0,x＋w>0,y＋z>0,y＋w>0,y＋w>0,yzw＋xzw＋xyw＋xyz＞0　を
　満たしているとする。
　そのとき、　√(yz＋yw+zw)√(yz＋xz＋xy)＞|yz|　…(5.4.1)　このとき、|yz|≧yz　かつ　|yz|≧－yzだから
　　　√(zw＋yw+yz)√(yz＋xz＋xy)＞yz　かつ　√(zw＋yw+yz)√(yz＋xz＋xy)＞－yz　…(5.4.2)　となる。
「証明」
　(5.4.1)の両辺とも0以上なので、[√(yz＋yw+zw)√(yz＋xz＋xy)]^2＞(yz)^2　…(5.4.3)を「証明」すればよい。
　(5.4.3)の(左辺)^2－(右辺)^2＝(yz＋yw+zw)(yz＋xz＋xy)]^2－(yz)^2
　　　＝{yz＋w(y＋z)}{yz＋x(y＋z)}－(yz)^2＝(yz)^2＋(y＋z)yzw＋(y＋z)xyz＋(y＋z)^2(xw)－(yz)^2
　　　＝(y＋z){yzw＋xyz＋(y＋z)(xw)}＝(y＋z)(yzw＋xyw＋xzw＋xyz)＞0（∵条件(4.1.1)）
　　よって(5.4.3)が成立し、(5.4.1)も成立する。
（[補題5.4]の「証明」終わり）
[補題5.5]
　実数　x,y,z,wは条件(4.1.1)　x＋y>0,x＋z>0,x＋w>0,y＋z>0,y＋w>0,y＋w>0,yzw＋xzw＋xyw＋xyz＞0　を
　満たしているとする。
そのとき、√(zw＋yw＋yz)＋√(yz＋xz＋xy)＞√(x＋w)√(y＋z)＞｜√(zw＋yw＋yz)－√(yz＋xz＋xy)|…(5.5.1)
「証明」　
(5.5.1)の全辺とも0以上なので、　
　[√(zw＋yw＋yz)＋√(yz＋xz＋xy)]^2＞[√(x＋w)√(y＋z)]^2＞[√(zw＋yw＋yz)－√(yz＋xz＋xy)]^2
すなわち　[√(zw＋yw＋yz)＋√(yz＋xz＋xy)]^2＞(x＋w)(y＋z)＞[√(zw＋yw＋yz)－√(yz＋xz＋xy)]^2
を「証明」すればよい。
(ア)
　まず、[√(zw＋yw＋yz)＋√(yz＋xz＋xy)]^2－(x＋w)(y＋z)
　　　＝(zw＋yw＋yz)＋(yz＋xz＋xy)＋2√(zw＋yw＋yz)√(yz＋xz＋xy)－(xy＋xz＋yw＋zw)
　　　＝2[√(zw＋yw＋yz)√(yz＋xz＋xy)＋yz]　ところが[補題5.4]より　
　　　√(zw＋yw+yz)√(yz＋xz＋xy)＞－yz　…(5.4.2)　よって　2[√(zw＋yw＋yz)√(yz＋xz＋xy)＋yz]＞0
　ゆえに　[√(zw＋yw＋yz)＋√(yz＋xz＋xy)]^2＞[√(x＋w)√(y＋z)]^2が証明された。
(イ)
　　(x＋w)(y＋z)－[√(zw＋yw＋yz)－√(yz＋xz＋xy)]^2
　　＝(xy＋xz＋yw＋zw)－[(zw＋yw＋yz)＋(yz＋xz＋xy)]＋2√(zw＋yw＋yz)√(yz＋xz＋xy)]
　　＝2[√(zw＋yw＋yz)√(yz＋xz＋xy)－yz]　ところが[補題5.4]より　
　　√(zw＋yw+yz)√(yz＋xz＋xy)＞yz　…(5.4.2)　よって　2[√(zw＋yw＋yz)√(yz＋xz＋xy)－yz]＞0
　ゆえに　[√(x＋w)√(y＋z)]^2＞[√(zw＋yw＋yz)√(yz＋xz＋xy)]^2　が証明された。
（[補題5.5]の「証明」終わり）
それでは、
[命題5.3]を「証明」しよう。
『[命題5.3]の「証明」』
まず　
　(1)DA＝AD＝√(x＋w)　次に(2)　[命題5.2.2]から　DA′＝A′D＝[√(zw＋yw＋yz)＋√(yz＋xz＋xy)]/√(y＋z)
　(3)　[命題5.2.3]　から　DA″＝A″D＝|√(zw＋yw＋yz)/√(y＋z)－√(yz＋xz＋xy)/√(y＋z)|
　　であることに注意する。
　[補題5.5]の√(zw＋yw＋yz)＋√(yz＋xz＋xy)＞√(x＋w)√(y＋z)　
　　⇔　[√(zw＋yw＋yz)＋√(yz＋xz＋xy)]/√(y＋z)＞√(x＋w)　…(5.3.1)
　また　
　[補題5.5]の√(x＋w)√(y＋z)＞｜√(zw＋yw＋yz)－√(yz＋xz＋xy)|　
　　⇔　√(x＋w)＞｜√(zw＋yw＋yz)－√(yz＋xz＋xy)|/√(y＋z)　‥(5.3.2)
　(1)(2)(3)により
　(5.3.1)は　DA'＞DA　を意味し、(5.3.2)は　DA＞DA″を意味する。
よって[命題5.3]は証明された。
（[命題5.3]の「証明」終わり）
◎　ここからは3次元の「XYZ－空間内」で考えてゆく。先ほどの「XY－平面　(Z＝0)」に上記の
「△BCD」が固定されて,また 「△A′CD」も「△A″CD」も[命題5.2.2],[命題5.2.3]　のように
「XY－平面　(Z＝0)」に置かれてあるものとする。
「命題5.6]
　実数　x,y,z,wは条件(4.1.1)　x＋y>0,x＋z>0,x＋w>0,y＋z>0,y＋w>0,y＋w>0,yzw＋xzw＋xyw＋xyz＞0　を
　満たしているとする。「命題5.3]から「垂心四面体ABCD」が図形的に構成できる。
「証明」　
　この「XY－平面　(Z＝0)」をπと名付けよう。平面π上の点Dを「中心」,「半径DA」の「2次元球面U」を
　3次元空間－「XYZ－空間内」に描いておく。辺BCを固定し、BCを回転の軸として、△A″BCの板を「XYZ－空間内」で
　頂点がA″からA′までZ座標≧0の領域で0°≦θ≦180°まで180°回転してゆくとする。この回転角θに対応して
　A″からA′まで回転する「頂点」の「動点」をA(θ)と書くことにする。このとき、[命題5.2.2]の辺BC上の
　点Lに着目すれば、この回転でA(θ)は「点Lを中心」とする「半径A″L」の「一次元の半円周V」を描く。
　「一次元の半円周V」と「点Dを『中心』,『半径DA』の2次元球面U」との交点を考えよう。
　[命題5.3]の　[Uの半径]＝DA＞DA″により、θ＝0°⇔A(θ)＝A″のとき、A″は「2次元球面U」の「内部の領域」にある。
　そしてθ＝180°⇔　A(θ)＝A′のときは、　DA′＞DA＝[Uの半径]　によりA′は「2次元球面U」の「外部の領域」にある
　ことになる。よって「棒LA(θ)」に着目したとき、「一次元の半円周V」の「棒LA(θ)」のLを中心とした「回転の
　連続性」と「2次元球面U」の「位相的な性質」により、つまり「中間値の定理」から「棒LA(θ)の先端A(θ」と
　「2次元球面U」はあるθに対して「交点を持つ」ことが分かる。この場合、交点はただ一つで、それはθ＝ηのときに
　　起こりその交点をA(η）としよう。ここに　0°＜η＜180°である。このとき、(A(η）B)＝(A″B)＝AB＝√(x＋y)、
　　(A(η）C)＝(A″C)＝AC＝√(x＋z)、そして、A(η)は「『半径DA』の2次元球面U」上にもあるのだったから、
　　(A(η）D)＝半径DA＝√(x＋w）となる。こうして△BCDの上方に「点A＝A(η)」がとれて、また△ABC,△ABD,△ABDが
　　できていることは、[定理3.1]の(1)(3)(4)より分かる。このようにして「四面体ABCD」が構成できた。
　(「命題5.6]の「証明」終わり）　
「注意」：3次元ユークリッド空間E^3内の「2次元球面S」がE^3内を「内部」と「外部」の「2つの領域に分ける」
　(当たり前と思えることだが)ことも「Jordan(ジョルダン)の定理」と呼ぶような気がしたが自信がない。
　(E^2内に『S^1と同相な一次元閉曲線J』があるとき閉曲線JはE^2を『内部』と『外部』に分ける]というのが
　「Jordanの曲線定理」である。）
－－垂心四面体の構成理論及びその展開図の作成(その4)－2009.8.21(金)---に続く

垂心四面体の構成理論及びその展開図の作成(その4)－2009.8.21(金)

垂心四面体の構成理論及びその展開図の作成(その4)－2009.8.21(金)


mは自然数、E^mでm次元ユークリッド空間を表すものとし、「ベクトルAB」などを(→AB)で表す。
ベクトル(→AB)と(→AC)の「内積」を((→AB)，(→AC))で表わし、また、「三角形ABC」の3辺BC,CA,ABを
　BC＝a，CA＝b，AB＝cとし、その面積をSで表す。
「垂心四面体ABCD」の6辺を、BC＝a，CA＝b，AB＝c，AD＝d，BD＝e，CD＝f　とする。
その体積をV,頂点A,B,C,Dの対面の△BCD,△ACD,△ABD,△ABCの面積をそれぞれ
S_A，S_B，S_C,S_D　とおく。またdetJ(2),detJ(3)はいつもの通りとする。
－－－－－　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－－－－
－－[垂心四面体の構成理論及びその展開図の作成(その3)－2009.8.21(金)]の続き－－－－－

6.
　それでは「定理4.1]のような造り方での「垂心四面体ABCD］の「展開図」について述べる。
[定理6.1]
　実数　x,y,z,wは条件(4.1.1)　x＋y>0,x＋z>0,x＋w>0,y＋z>0,y＋w>0,y＋w>0,yzw＋xzw＋xyw＋xyz＞0　を
　満たしているとする。このとき、△BCDを[命題5.1.2]のすぐ上にある「説明」のように平面上に描いておく。
　BC＝√(y＋z)，CD＝√(z＋w),BD＝√(y＋w)　である。このとき、[命題5.2.2]のように△A′BC≡△ABCで，
　Y＜0にある点A′をA(3)としよう。すると　A(3)D⊥BC　で、かつ　
　A(3)D＝A′D＝[√(zw＋yw＋yz)＋√(yz＋xz＋xy)]/√(y＋z)　…(5.2.2)　となる。　
　次に△BCDの頂点Bから対辺のCDに垂線を引き、直線CDとの交点をMとし、垂線BMの点Mの延長上に点A(1)を
　BA(1)＝[√(zw＋yw＋yz)＋√(zw＋xw＋xz)]/√(z＋w)　…(6.1.1)となるように取る。そして線分CA(1)、線分DA(1)を
　結べば、CA(1)＝√(x＋z)，DA(1)＝√(x＋w)　…(6.1.2)　となり、△A(1)DCが「辺CD」に隣接してできる。
　
　最後に△BCDの頂点Cから対辺のBDに「垂線」を引き「直線BD」との交点をNとし、
　垂線CNの点Nの延長上に点A(2)をCA(2)＝[√(zw＋yw＋yz)＋√(yw＋xw＋xy)]/√(y＋w)となるように取る。
　このとき、A(2)B＝√(x＋y),A(2)D＝√(x＋w)　…(6.1.3)　となり、△A(2)BDが「辺BD」に隣接してできる。
　こうして「△BCD」の周りに
　(1)CDに「隣接して」△A(1)DCができ、(2)BDに「隣接して」△A(2)BDができ、(3)BCに「隣接して」△A(3)BCができる。
　△BCDの周りに、この△A(1)DCを「辺CD」で「谷折り」にし、次に△A(2)BDを「辺BDで谷折り」にし、
　最後に△A(3)CBを「辺BC」で「谷折り」にして、3点A(1),A(2),A(3)を張り合わせて点Aとすれば、
　「垂心四面体ABCD]の出来上がりである。
「証明」
　△BCDについてBC＝√(y＋z)，CD＝√(z＋w),BD＝√(y＋w)，△BCDの面積S_A＝(1/2)√(zw＋yw＋yz)、また
　[命題5.1.2]より、頂点Dから対辺BCに下した垂線の足をLとしたとき、BL＝y/√(y＋z),LC＝z/√(y＋z),
　AL＝[2(S_A)]/BC＝√(zw＋yw＋yz)/√(y＋z)であった。これと同様なことが△BCDの残りの2辺についても成り立つ。
　まず、CM＝z/√(z＋w)，DM＝w/√(z＋w)　…(6.1.4)
　そしてBM＝√(zw＋yw＋yz)/√(z＋w)　…(6.1.5)。このとき、上記の作図法で造った△A(1)DCについて
　A(1)C＝√(x＋z)　…(6.1.6)　及び、A(1)D＝√(x＋w)　…(6.1.7)を示そう。CD＝√(z＋w)だから
　(6.1.1)よりMA(1)＝BA(1)－BM＝[√(zw＋yw＋yz)＋√(zw＋xw＋xz)]/√(z＋w)－√(zw＋yw＋yz)/√(z＋w)
　＝√(zw＋xw＋xz)/√(z＋w) つまり　MA(1)＝√(zw＋xw＋xz)/√(z＋w)…(6.1.8)「三平方の定理」より
　[A(1)C]^2＝CM^2＋[MA(1)]^2＝[z/√(z＋w)]^2＋[√(zw＋xw＋xz)]/√(z＋w)]^2＝[z^2＋(zw＋xw＋xz)]/(z＋w)
　＝[z(z＋w)＋x(z＋w)]/(z＋w)＝[(x＋z)(z＋w)]/(z＋w)＝x＋z　すなわち[A(1)C]^2＝x＋z　⇒A(1)C＝√(x＋z)
　…(6.1.6)　が示された。同様に　[A(1)D]^2＝DM^2＋[MA(1)]^2＝[w/√(z＋w)]^2＋[√(zw＋xw＋xz)]/√(z＋w)]^2
　＝[w^2＋(zw＋xw＋xz)]/(z＋w)＝[w(w＋z)＋x(z＋w)]/(z＋w)＝[(x＋w)(z＋w)]/(z＋w)＝x＋w　
　すなわち[A(1)D]^2＝x＋w　⇒A(1)D＝√(x＋w)　…(6.1.7)も示された。　
　同様に△A(2)BDについてもA(2)B＝√(x＋y)，A(2)D＝√(x＋z)となり△A(2)BD≡△ABD、△A(3)CBについてもA(3)B＝√(x＋y)、
　A(3)C＝√(x＋z)　となり△A(3)CB≡△ADBとなっている。したがって展開図が完成している。
[例6.2]　
　[例4.2]のもので、見てみよう。「定理6.1]は正しいのだから、展開図を描くには、実際は普通に三角形を４つ
　描けば良いのである。
　[例4.2]では、AB＝√3，AC＝2，BC＝√5，AD＝√6，BD＝√7，CD＝2√2　
　
　　△BCDの3辺は　a＝BC＝√5，f＝CD＝2√2，e＝DB＝√7，この△BCDの周りの辺DCの右上に
　　A(1)D＝AD＝√6＝d，A(1)C＝AC＝2＝bとなるように△A(1)DCを描き、次に辺BDの左上に△A(2)BD，
　　ただしA(2)B＝√3＝c，A(2)D＝√6＝dを描き、最後に辺BCの下に△A(3)CB，ただし、A(3)C＝2＝b,A(3)B＝√3＝c
　　を描いて「垂心四面体ABCD」の「展開図」のできあがりである。

　　上の長さを10倍して「cm単位」で「画用紙に展開図を描いて」この「垂心四面体ABCD」を作成してみると、
　　面白いのではないだろうか。△BCDの「垂心H_A」と△A(1)DCの「垂心H_B」を「定理6.1」で述べた直線BA(1)が通っている
　　こと、つまり「垂心四面体ABCD」で「各頂点から対面へ下した垂線の足」はその「対面の三角形の『垂心』」に
　　なっていることなどや「四面体のオイラー線の関係」，「各頂点から四面体の『重心G』を通る直線と対面の『交点』は
　　その「対面」の「重心」になること」などがハッキリと分かるだろう。なお、「垂心四面体ABCD」の「垂心H]は
　　AH：HH_A＝(1－κ)：κ＝(xzw＋xyw＋xyz)：yzw＝x(zw＋yw＋yz)：yzw＝x(2S_A)^2：yzw
　　　　　　＝1×(√(31)^2:(2×3×5)＝31：30（[例4.2]参照　）
　　すなわち　AH＝(AH_A)×(31/61)　…(6.2.1)　である。ここで　[例4.2]より　
　　V＝(1/6)√(61)＝(1/3)(S_A)(AH_A)＝(1/3)(1/2)√(31)(AH_A)　⇒　高さAH_A＝√(61)/√(31)これを
　　(6.2.1)に代入して　AH＝√(31)/√(61)　となっているので、頂点Aから対面の「垂心H_A」に引いた
　　「垂線上の頂点Aから√(31)/√(61)の距離」のところにこの「垂心四面体ABCD」の「垂心Hはある」ことを
　　注意しておく。私は未だ試していない。

　　[定理4.1]によって「垂心四面体ABCD」の「例」は無数に出きるのだから、他のも造ってみるとよいだろう。