四面体ABCDの実例で内接球面Iと側面の接点I^Dの重心座標の公式の確認その２

四面体ABCDの実例で内接球面Iと側面の接点I^Dの重心座標の公式の確認(その２) 2019.05.26(日)

ーーー接点I^Dの重心座標の公式の確認(その1)からの続きーーーー

(Ⅴ)
    それでは、いよいよ本題に入る。

 四面体ABCDを上の通りとする。このとき、内接球面Iと△ABCとの接点I^Dに対して、
(1) (→II^D)⊥△ABC かつ　(2)  |(→II^D)|=r [ここにrは内接球面Iの半径]
  ・・・(5.1.0)　となっていることを実際に計算して示そう。

 それには、内心Iの重心座標と、I^Dの重心座標を必要とする。
前に示したように、I(S_A/2F,S_B/2F,S_C/2F,S_D/2F)
だった。ここに 2F=S_A+S_B+S_C+S_D　である。また I^Dは、
(S_A(1+cosθ(A,D))/2F,S_B(1+cosθ(B,D))/2F,S_C(1+cosθ(C,D))/2F,0)である。
　・・・(#)

(1)
  よって、
(→II^D)=[S_A(1+cosθ(A,D))/2F-S_A/2F](→PA)+[S_B(1+cosθ(B,D))/2F-S_B/2F](→PB)
　　　　+[S_C(1+cosθ(C,D))/2F-S_C/2F](→PC)+[0-S_D/2F](→PD)
即ち、(→II^D)=1/2F[(S_A)cosθ(A,D))(→PA)＋(S_B)cosθ(B,D))(→PB)]
              +1/2F[(S_C)cosθ(C,D))(→PC)－(S_D)(→PD)]　　　・・・(5.1.1)
(5.1.1)において、P ⇒ Aとして
 　　 (→II^D)=(1/2F)[(S_B)cosθ(B,D))(→AB)]
              +(1/2F)[(S_C)cosθ(C,D))(→AC)－(S_D)(→AD)]　　　・・・(5.1.2)
(5.1.2)で内積 ((→II^D),(→AB))及び((→II^D),(→AB)) を計算して0となることを
 示したい。そのため次の[補題]を準備する。
[補題5.1]
 |(→AB)|^2=c^2=3^2=9，((→AC),(→AB))=6,((→AD),(→AB))=19/2,
 |(→AC)|^2=b^2=(√7)^2=7，((→AD),(→AC))=15/2
(証明)
 (4.1)を使う。
 AB=c=3,AC=b=√7より第1,4式は明らか。また第2式は、
 ((→AC),(→AB))=[AC^2+AB^2-BC^2]/2=[(√7)^2+3^2-2^2]/2=[7+9-4]/2=6
 第3式は、((→AD),(→AB))=[AD^2+AB^2-BD^2]/2=[4^2+3^2-(√6)^2]/2
         =[16+9-6]/2=19/2 ,第5式は,((→AD),(→AC))=[AD^2+AC^2-CD^2]/2
         =[4^2+(√7)^2-(2√2)^2]/2=[16+7-8]/2=15/2 による。
（証明終わり）

 内積 ((→II^D),(→AB))の計算。(5.1.2)と[補題5.1]と(4.1),(4.2.1)(4.3.1)より
 ((→II^D),(→AB))=(1/8F)[4(S_B)cosθ(B,D))|(→AB)|^2]
           +(1/8F)[4(S_C)cosθ(C,D))((→AC),(→AB))－4(S_D)((→AD),(→AB))]
　=(1/8F)[√223×{43/(√223√27)}×9]+(1/8F)[√215×{21/(√215√27)}×6]
  －(1/8F)[2√27×19/2]
  =(1/8F)[(43×9)/√27+(21×6)/√27-√27×19] この右辺の
　[　]=(1/√27)×[43×9+21×6-27×19]=(9/√27)×[43+7×2-3×19]
      =(9/√27)×[43+14-57]＝0　
 即ち、((→II^D),(→AB))=0    ・・・(5.1.3)が示された。

次に、
　内積 ((→II^D),(→AC))の計算。(5.1.2)と[補題5.1]と(4.1),(4.2.1)(4.3.1)より
 ((→II^D),(→AC))=(1/8F)[4(S_B)cosθ(B,D))((→AB),(→AC))]
           +(1/8F)[4(S_C)cosθ(C,D))|(→AC)|^2－4(S_D)((→AD),(→AC))]
　=(1/8F)[√223×{43/(√223√27)}×6]+(1/8F)[√215×{21/(√215√27)}×7]
  －(1/8F)[2√27×15/2] 　
  =(1/8F)[(43×6)/√27+(21×7)/√27-√27×15] この右辺の
　[　]=(1/√27)×[43×6+21×7-27×15]=(3/√27)×[43×2+7×7-9×15]
      =(3/√27)×[86+49-135]＝(3/√27)×[135-135]＝0　
 即ち、((→II^D),(→AC))=0    ・・・(5.1.4)が示された。
　
 (5.1.3)(5.1.4)と(→II^D)≠(→0) により、(5.1.0)の(1)の(→II^D)⊥△ABCが
 計算で証明された。

(2)
そこで、(5.1.0)の(2)の|(→II^D)|=r [ここにrは内接球面Iの半径]を示すため、
 |(→II^D)|^2=r^2=[3V/2F]^2=(6V/4F)^2=[√(detJ(3))/4F]^2=[detJ(3)/16F^2]を
 示したい。(5.1.2)より、
 (→II^D)=1/2F[(S_B)cosθ(B,D))(→AB)+(S_C)cosθ(C,D))(→AC)－(S_D)(→AD)]

よって、
16(2F)^2|(→II^D)|^2
=[{(4S_B)cosθ(B,D)}^2|(→AB)|^2+{(4S_C)cosθ(C,D)}^2|(→AC)|^2+(4S_D)^2|(→AD)|^2]
+2(4S_B)(4S_C)cosθ(B,D)cosθ(C,D))((→AB),(→AC))
-2(4S_B)(4S_D)cosθ(B,D)((→AB),(→AD))-2(4S_C)(4S_D)cosθ(C,D)((→AC),(→AD))
　　・・・(5.2.1)となる。
ここで、(Ⅳ)[と(4.1)などと二面角の余弦など]の結果より、
(4S_B)cosθ(B,D)=√223×43/[√223√27]=43/√27 ・・・(5.2.2)
(4S_C)cosθ(C,D)=√215×21/[√215√27]=21/√27 ・・・(5.2.3)
(4S_B)(4S_C)cosθ(B,D)cosθ(C,D))=√223√215×43/[√223√27]×21/[√215√27]
=(43×21)/27  ・・・(5.2.4)
(4S_B)(4S_D)cosθ(B,D)=√223(2√27)×43/[√223√27]=2×43 ・・・(5.2.5)
(4S_C)(4S_D)cosθ(C,D)=√215(2√27)×21/[√215√27]=2×21 ・・・(5.2.6)
これと[補題5.1]から、(5.2.1)は
16(2F)^2|(→II^D)|^2
=[43/√27]^2×9+[21/√27]^2×7+(2√27)^2×16+2×(43×21)/27×6
-2×2×43×(19/2)-2×(2×21)×(15/2)
=(43^2)/3+(7^2×7)/3+4×27×16+2×(43×7×2)/3
-2×43×19-2×21×15
=1/3[43^2+7^3+2^2×43×7]+2×[27×2×16-43×19-21×15]
=1132+2×(-268)
=4×283-4×134
=4×149
となる。
即ち 16×(4F^2)×|(→II^D)|^2=4×149 ⇔ 16(F^2)×|(→II^D)|^2=149
 ⇔ |(→II^D)|^2=149/(4F)^2 ⇔ |(→II^D)|=√149/(4F)=√[detJ(3)]/(4F)[∵(4.1)]
 ⇔ |(→II^D)|=(6V)/2[S_A+S_B+S_C+S_D]=(3V)/[S_A+S_B+S_C+S_D]=r
 ここにrは内接球面Iの半径である。
 よって |(→II^D)|=r が示された。これは(5.1.0)の(2)の示したかったことであった。
 ☆☆☆
以上計算が大変であったが、内接球面Iと△ABCとの接点I^Dの重心座標に間違いが
ないことが具体例で示された。なお、
　I^Dの真の重心座標は、
([2√23√27-10]/[{2√23+√223+√215+2√27}√27],
 [√223√27+43]/[{2√23+√223+√215+2√27}√27] ,
 [√215√27+21]/[{2√23+√223+√215+2√27}√27] , 0　）
　　となる。興味のある方は計算してみて下さい。[(Ⅴ)の(1)の前の(#)の式]
 その際  (5.2.2)(5.2.3) などを使用するとよいだろう。

四面体ABCDの実例で内接球面Iと側面の接点I^Dの重心座標の公式の確認(その1)

四面体ABCDの実例で内接球面Iと側面の接点I^Dの重心座標の公式の確認(その1) 2019.05.26(日)


以前、2016.04.25(月)に、blog「物言はぬは腹ふくるる業」で、以下の話題
を扱った。

「四面体の6辺の長さで、二面角の大きさの余弦を表す公式　2016.04.25(月)」

『一般的な四面体の例を挙げ、「重心座標による幾何学」PP225～226の公式を
用いて具体的に、二面角の大きさθ(A,D)を求めよう。なお二面角は内部から測る。
(Ⅰ) 四面体ABCDの6辺を以前のように、BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f・・・(1.1)と
おく。[図1参照]　また、
△BCD,△ACD,△ABD,△ABCの面積をそれぞれS_A,S_B,S_C,S_D で表す。・・・(1.2)
また便宜上、△BCD,△ACD,△ABD,△ABCそのものも、それぞれS_A,S_B,S_C,S_D で表す。
頂点Aの対面△BCDが S_Aという具合である。二面S_AとS_Dのなす二面角の大きさを
内部から測り、θ(A,D)で表すことにする。内部から測っているから、
0°<θ(A,D)<180°である。もちろん、θ(A,D)＝θ(D,A)。そして

四面体ABCDの実例として、
四面体ABCDの6辺を、BC=a=2,CA=b=√7,AB=c=3,AD=d=4,BD=e=√6,CD=f=2√2 ・・・(1.1)
とおく。[図2参照] 』

---という具合だった。

(Ⅱ)このとき、
計算したように、
detJ(3)=149 >0・・・(2.1)。
 4S_A＝2√23⇔ 2S_A＝√23,4S_D＝2√27⇔ 2S_D＝√27,
 4S_C＝√5√43=√215 ,    4S_B＝√223　　　　　　　   　　・・・(2.2)
 また、
 cosθ(A,D)＝－5/[√23√27]＝－0.200643088　位　
 sinθ(A,D)＝2√149/[√23√27]  (以前のblog「四面体の正弦定理と応用」より）
 θ(A,D)　 ＝101.5745676°位　(鈍角！)　　　　　　　　　　　　・・・(2.3)
また、
 cosθ(B,C)＝198/[2√223√215]＝99/[√223√215]
　(blog「物言はぬは腹ふくるる業」による）　　　　　　　　　　　　　　　　
 sinθ(B,C)＝16√149/[√223√215]　
 θ(B,C)　 ＝56.64751355°位　(これらは後の(Ⅲ)の(ア)でも求める)・・・(2.4)である。　　　　　　　　　　　　　　　

次に
(Ⅲ)
 cosθ(B,D)を求めよう。「本」のP226の「ややこしい公式(5)」より、
 16(S_B)(S_D)cosθ(B,D)
 ＝b^2(f^2+d^2-b^2)+a^2(d^2+b^2-f^2)+c^2(b^2+f^2-d^2)-2b^2e^2　・・・(3.1)
 ＝f^2(b^2+c^2-a^2)+b^2(c^2+a^2-b^2)+d^2(a^2+b^2-c^2)-2b^2e^2　・・・(3.2)
(3.1)の右辺は、(1.1)より
 ＝b^2(f^2+d^2-b^2)+a^2(d^2+b^2-f^2)+c^2(b^2+f^2-d^2)-2b^2e^2
 ＝(√7)^2[(2√2)^2+4^2-(√7)^2]+2^2[4^2+(√7)^2-(2√2)^2]+3^2[(√7)^2+(2√2)^2-4^2]
 －2×(√7)^2×(√6)^2
 ＝7×(8+16-7)+4×(16+7-8)+9×(7+8-16)-2×7×6
 ＝7×17+4×15+9×(-1)-7×12＝119+60-9-84
 ＝86
よって(2.2)を代入して、
  cosθ(B,D)＝86/[4(S_B)4(S_D)]＝86/[√223×2√27]＝43/[√223√27]　・・・(3.3)となる。
　ついでに sinθ(B,D)を求めよう。「本」のP217の[命題12.25]と同様にして、
 sinθ(B,D)＝AC√[detJ(3)]/[4(S_B)(S_D)]であるから、
 (2.1)(2.2)から、
  sinθ(B,D)＝AC√[detJ(3)]/[4(S_B)(S_D)]=(√7×√149×2)/[4(S_B)2(S_D)]
　　　　　　＝(2√7√149)/[√223×√27]　・・・(3.4)
　これらより、θ(B,D)=56.34721356°　位

さて、cosθ(A,D),cosθ(B,D)が求まったので、四面体の第１余弦定理
 S_D＝(S_A)cosθ(A,D)+(S_B)cosθ(B,D)+(S_C)cosθ(C,D)　・・・(3.5)から、cosθ(C,D)を
 求めることが できる。(2.2)及び(2.3)と(3.3)を、(3.5)を4倍したものに代入すれば、
 2√(27)=2√23×{－5/[√23√27]}+√223×{43/[√223√27]}
        +√215×cosθ(C,D)
 √215×cosθ(C,D)=2√27－2×{－5/[√27]}－{43/√27}
　　　　　　　　　=2√27－33/[√27]
この両辺を√27倍して、√27√215×cosθ(C,D)＝2×27－33
 ⇔  cosθ(C,D)＝21/[√27√215]　・・・(3.6)　となる。こうして、
 二面角 、θ(A,D),θ(B,D),θ(C,D)の余弦が求まった。[ Dがみな付いている事に注意]

☆  すると３つの四面体の第３余弦定理から、
 cosθ(B,C),cosθ(A,C),cosθ(A,B)が求まるのである。こうして
　6つの二面角の余弦 cosθ(A,D),cosθ(B,D),cosθ(C,D),cosθ(B,C),cosθ(A,C),cosθ(A,B)
  が全て求まる。これを実行しよう。
（ア） まず第３余弦定理  (S_A)^2+(S_D)^2－2(S_A)(S_D)cosθ(A,D)
　　　　　　　　　　　 ＝(S_B)^2+(S_C)^2－2(S_B)(S_C)cosθ(B,C)
　　により、cosθ(A,D)からcosθ(B,C)を求める。

    上の式を16倍すると、
　　　　　　　　　　　　 (4S_A)^2+(4S_D)^2－2(4S_A)(4S_D)cosθ(A,D)
　　　　　　　　　　　 ＝(4S_B)^2+(4S_C)^2－2(4S_B)(4S_C)cosθ(B,C)　　
　　これに、(2.2)(2.3)を代入して
   (2√23)^2+(2√27)^2－2(2√23)(2√27){－5/[√(23)√(27)]}
 ＝(√223)^2+(√215)^2－2(√223)(√215)cosθ(B,C)
 ⇔ 2(√223)(√215)cosθ(B,C)＝223+215－(4×23+4×27+8×5)
   　　　　　　　　　　　　　＝223+215－(92+108+40)
                             ＝223+215－200－40＝23+175
　　　　　　　　　　　　　　 ＝198
　よって cosθ(B,C)＝99/[√223√215]　・・・(3.7)
 
(イ)  
      次に第３余弦定理  (S_B)^2+(S_D)^2－2(S_B)(S_D)cosθ(B,D)
　　　　　　　　　　  ＝(S_A)^2+(S_C)^2－2(S_A)(S_C)cosθ(A,C)
　　により、cosθ(B,D)からcosθ(A,C)を求める。これは16倍した
　　　　 　　　　　　　 (4S_B)^2+(4S_D)^2－2(4S_B)(4S_D)cosθ(B,D)
　　　　　　　　　　  ＝(4S_A)^2+(4S_C)^2－2(4S_A)(4S_C)cosθ(A,C) と同値。
  　これに、(2.2)(3.3)を代入して
   (√223)^2+(2√27)^2－2(√223)(2√27)×{43/[√223√27]}
 ＝(2√23)^2+(√215)^2－2(2√23)(√215)cosθ(A,C)
　⇔ 2(2√23)(√215)cosθ(A,C)＝4×23+215－(223+4×27－4×43)
　　　　　　　　　　　　　　　＝92+215－(223+108-172)
                              ＝92+215－223－108+172
　　　　　　　　　　　　　　　＝(92-108)+(215-223)+172
　　　　　　　　　　　　　　　＝－16－8+172
　　　　　　　　　　　　　　　＝－24+172＝148
  よって cosθ(A,C)＝37/[√23√215] 　・・・(3.8)
 (ウ)
 最後に 第３余弦定理  (S_C)^2+(S_D)^2－2(S_C)(S_D)cosθ(C,D)
　　　　　　　　　　＝(S_A)^2+(S_B)^2－2(S_A)(S_B)cosθ(A,B)
  により cosθ(C,D)からcosθ(A,B)を求める。これは16倍した
　　　　 　　　　　　　 (4S_C)^2+(4S_D)^2－2(4S_C)(4S_D)cosθ(C,D)
　　　　　　　　　　  ＝(4S_A)^2+(4S_B)^2－2(4S_A)(4S_B)cosθ(A,B) と同値。　　　　　　
  　これに、(2.2)(3.6)を代入して
   (√215)^2+(2√27)^2－2(√215)(2√27)×{21/[√215√27]}
 ＝(2√23)^2+(√223)^2－2(2√23)(√223)cosθ(A,B)　　　　
 ⇔ 2(2√23)(√223)cosθ(A,B)＝(4×23+223)－(215+4×27-4×21）
　　　　　　　　　　　　　　 ＝92+223－(215+108－84)
　　　　　　　　　　　　　　 ＝223－215－108+84+92
　　　　　　　　　　　　　　 ＝8-108+176=76
  よって cosθ(A,B)＝19/[√23√223]　・・・(3.8)
以上(ア)(イ)(ウ)により、四面体ABCDの6つの二面角の余弦が全て求まった。
 二面角は全て、0°より大きく180°より小さいので、二面角の余弦から、全て
 求まるわけである。以上を含めて、二面角の正弦も全て求めて一覧にしてまとめておく。

(Ⅳ)
  BC=a=2,CA=b=√7,AB=c=3,AD=d=4,BD=e=√6,CD=f=2√2 のとき、四面体ABCDが
　できる。
　detJ(3)=149,　4S_A=2√23,4S_B=√223,4S_C=√215,4S_D=2√27
　そして四面体ABCDの体積をVとするとき、6V＝√detJ(3)=√149  ・・・(4.1)となる。
　
 (1) cosθ(A,D)＝－5/[√23√27]＝－0.200643088　位　・・・(4.1.1)
     sinθ(A,D)＝2√149/[√23√27]　　　　　　　　　　　・・・(4.1.2)
     θ(A,D)　 ＝101.5745676°位　(鈍角！)　　　　　　　・・・(4.1.3)

 (2) cosθ(B,D)＝43/[√223√27]　              ・・・(4.2.1)　　　　　　
 　　sinθ(B,D)＝2√7√149/[√223×√27]　    ・・・(4.2.2)
　　 θ(B,D) 　＝56.34721355°位               ・・・(4.2.3)

 (3) cosθ(C,D)＝21/[√27√215]    ＝          ・・・(4.3.1)
　　 sinθ(C,D)＝6√149/[√27√215]            ・・・(4.3.2)
     θ(C,D)   ＝74.00075251°　位             ・・・(4.3.3)

 (4) cosθ(B,C)＝99/[√223√215]               ・・・(4.4.1)
     sinθ(B,C)＝16√149/[√223√215]          ・・・(4.4.2)
     θ(B,C)   ＝63.11956117°　位             ・・・(4.4.3)

 (5) cosθ(A,C)＝37/[√23√215]                ・・・(4.5.1)
　　 sinθ(A,C)＝2√6√149/[√23√215]         ・・・(4.5.2)
     θ(A,C)   ＝58.25357225°　位             ・・・(4.5.3)
 
 (6) cosθ(A,B)＝19/[√23√223]                ・・・(4.6.1)
　　 sinθ(A,B)＝4√2√149/[√23√223]         ・・・(4.6.2)
     θ(A,B)   ＝74.61522034°　位             ・・・(4.6.3)
 
 ☆☆
 ここで 求め方の注意。

 まず、二面角 θ(A,D),θ(B,D),θ(C,D),θ(B,C),θ(A,C),θ(A,B)の中で、
　二面角の2つの添え字の内、1つずつ共通な文字の「余弦」を「本」P225からP226
　の「ややこしい」公式で、２つ求める。[先ほどの例では,θ(A,D)とθ(B,D)のDが共通]
　そのあとは覚えやすい四面体の第１余弦定理で、共通な文字を添え字にもつ
　残りの二面角の余弦をまず求める。[先ほどの例では、θ(C,D)の余弦を求める。]
　次に、四面体の第３余弦定理を３回使用して、2つの添え字に共通な文字がない
　二面角の余弦を３つ求めると良い。[先ほどの例ではcosθ(A,D)→cosθ(B,C)。
  cosθ(B,D)→cosθ(A,C)。cosθ(C,D)→cosθ(A,B)。のように求めるということ。]
　二面角の正弦については、detJ(3)、言い換えれば四面体ABCDの体積Vが求まって
　いれば、「本」の「四面体ABCDの二面角の正弦の公式」P217の[命題12.25]の
　sinθ(A,D)＝BC√detJ(3)/[4(S_A)(S_D)] などで、求めるのが簡単である。
　[なお、四面体の第２余弦定理を使って、θ(A,D),θ(D,B)から、θ(B,A)を求めても
　よいが、計算が大変である。ただし、この場合の第２余弦定理とは、
　(S_C)^2＝(S_A)^2+(S_D)^2+(S_B)^2
　－2(S_A)(S_D)cosθ(A,D)－2(S_D)(S_B)cosθ(D,B)－2(S_B)(S_A)cosθ(B,A)
　をさす。添え字A,D,Bが巡回的]
☆☆
 求め方の注意終わり。

ーーーーーーーーーー四面体ABCDの実例で内接球面Iと側面の接点I^Dの重心座標の公式の確認 (その２）へ続くーーーーー