「cotθの一般加法定理およびn倍角の公式について 2022.07.31(日)」
☆ 以下に述べるのは、約21年も昔の2001.09.08(土)に完成していたことである。さて、
Σが和の記号であるように、Πの方は「積」の記号であるとする。
cotθの加法定理を導くためには、少し準備がいる。まず、
sinθ＋icosθ＝i{cosθ－isinθ｝＝i{cos(－θ)＋isin(－θ)}であるから、
sinθ＋icosθ＝i{cos(－θ)＋isin(－θ)} ゆえにDe Moivre(ドゥ・モアブル)の公式
を用いて 角,θ1,θ2,・・・,θnに対して
Π[k=1,n]{sin(θk）＋icos(θk)}＝(i^n){cos(－Σ[k=1,n]θk)＋isin(－Σ[k=1,n]θk)}
＝{i^(n－1)}[sin(Σ[k=1,n]θk)＋icos(Σ[k=1,n]θk)]
そこで、i^(4n)＝1を用いて
sin(Σ[k=1,n]θk)＋icos(Σ[k=1,n]θk)＝{i^(3n＋1)}Π[k=1,n]{sin(θk）＋icos(θk)} ・・・(1.1)
となる。つまり、
sin(Σ[k=1,n]θk)＋icos(Σ[k=1,n]θk)＝{i^(3n＋1)}Π[k=1,n]{sin(θk）＋icos(θk)}
＝{(－1)^n}{i^(n＋1)}Π[k=1,n]{sin(θk）＋icos(θk)} ・・・(1.2)
[∵ i^(2n)＝(i^2)^n＝(－1)^n ]
こうして、
[命題1.3]
sin(Σ[k=1,n]θk)＋icos(Σ[k=1,n]θk)＝{(－1)^n}{i^(n＋1)}Π[k=1,n]{sin(θk）＋icos(θk)} ・・・(1.3)
を得た。
さて、［tanθの一般加法定理とn倍角の公式］のところで述べたことを一般化すれば、
次の命題が成り立つことが分かる。、
[命題1.4]
nを自然数、z1,z2，・・・,znを複素数とし、σ0,σ1,・・・,σnをz1,ｚ2,・・・,zn
のそれぞれ0次,1次,・・・n次の基本対称式とする。
例えば、σ0＝1,σ1=z1＋z2＋・・・＋zn,σ2=z1・z2＋z1・z3＋・・・＋z(n-1)・zn，・・・，
σn=z1×z2×・・・・×znとする。すると i^2=ー１から
{1＋i(z1)}{1＋i(z2)}・・・{1＋i(zn)}
=σ0＋i(σ1)＋(i^2)(σ2)＋(i^3)(σ3)＋・・・＋(i^n)(σn)
=σ0＋i(σ1)ー(σ2)ーi(σ3)＋σ4・・・＋(i^n)(σn)
このことを正確に表現すると
[命題1.5]
（ア）ではｍを1以上の整数、（イ）ではｍを0以上の整数とする。
1=σ0に注意して、
（ア） n=2ｍのときは、
{1＋i(z1)}{1＋i(z2)}・・・{1＋i(zn)}
＝{σ0ーσ2＋σ4ー・・・＋(-1)^m・(σ(2m))}＋i{σ1ーσ3＋σ5ー・・・＋(-1)^(m-1)・(σ(2m-1))}
（イ）n=2ｍ＋1のときは、
{1＋i(z1)}{1＋i(z2)}・・・{1＋i(zn)}
＝{σ0ーσ2＋σ4ー・・・＋(-1)^m・(σ(2m))}＋i{σ1ーσ3＋σ5ー・・・＋(-1)^m・(σ(2m+1))}
が成り立つことがわかる。
☆ この式は ガウス記号[ ]を用いればみやすくなる。
n=2m ⇒[n/2]=[2m/2]=m，また n-1=2m-1 ⇒[(n-1)/2]=[(2m-1)/2]=[m-1/2]=m-1
n=2m+1 ⇒[n/2]=[(2m+1)/2]=[m+1/2]=m，また[(n-1)/2]=[(2m)/2]=[m]=m
つまり、
[補題1.6]
（ア）n=2ｍのとき、m=[n/2]，m-1=[(n-1)/2]，（イ）n=2ｍ+1のとき、m=[n/2]=[(n-1)/2]
よって[命題1.5] は次のようになる。
[命題1.7]
nを自然数とすれば、
{1＋i(z1)}{1＋i(z2)}・・・{1＋i(zn)}
＝Σ[h=0,[n/2]](ー1)^h・σ(2h)＋iΣ[h=0,[(n-1)/2]](ー1)^h・σ(2h+1) ・・・(1.4)
よって(1.3)の右辺は次のようになる。
[命題1.8]
{(－1)^n}{i^(n＋1)}Π[k=1,n]{sin(θk）＋icos(θk)}
＝{(－1)^n}{i^(n＋1)}sin(θ1)sin(θ2)・・・sin(θn)×Π[k=1,n]{1＋i(cot(θk))}
＝{(－1)^n}{i^(n＋1)}sin(θ1)sin(θ2)・・・sin(θn)×
[Σ[h=0,[n/2]](ー1)^h・τ(2h)＋iΣ[h=0,[(n-1)/2]](ー1)^h・τ(2h+1)]・・・(1.5)
ここにτ0，τ1，τ2，・・・，τnは cot(θ1),cot(θ2),・・・，cot(θn)の
それぞれ、0次,1次,2次、・・・,n次の基本対称式とする。
つまり、τ0=1，τ1=cot(θ1)＋cot(θ2)＋・・・＋cot(θn)，
τ2=cot(θ1)・cot(θ2)＋cot(θ1)・cot(θ3)＋・・・＋cot(θ(n-1))・cot(θn)
，・・・，τn=cot(θ1)×cot(θ2)×・・・×cot(θn)である。
また[n/2]などはn/2のガウス記号を表す。
よってこの式が最初に述べた(1.3)の左辺であることに注意して(1.3)は、
[主公式1.9]
sin(Σ[k=1,n]θk)＋icos(Σ[k=1,n]θk)
＝{(－1)^n}{i^(n＋1)}sin(θ1)sin(θ2)・・・sin(θn)×
[Σ[h=0,[n/2]](ー1)^h・τ(2h)＋iΣ[h=0,[(n-1)/2]](ー1)^h・τ(2h+1)]・・・(1.9.1)となる。
そこで
（ア）n=2mのとき、i^(n＋1)＝i^(2m)×i＝(－1)^m×iだから
(1.9.1)の右辺
＝{(－1)^n}{i^(n＋1)}sin(θ1)sin(θ2)・・・sin(θn)×
[Σ[h=0,[n/2]](ー1)^h・τ(2h)＋iΣ[h=0,[(n-1)/2]](ー1)^h・τ(2h+1)]
＝{(－1)^n}(－1)^m×sin(θ1)sin(θ2)・・・sin(θn)×
[－Σ[h=0,[(n-1)/2]](ー1)^h・τ(2h+1)＋iΣ[h=0,[n/2]](ー1)^h・τ(2h)]
＝{(－1)^n}(－1)^(m＋1)sin(θ1)・・・sin(θn)×[Σ[h=0,[(n-1)/2]](ー1)^h・τ(2h+1)]
＋i{(－1)^n}(－1)^(m)sin(θ1)・・・sin(θn)×[Σ[h=0,[n/2]](ー1)^h・τ(2h)]
（イ）n=2m＋1のとき、i^(n＋1)＝i^(2m＋2)＝(－1)^(m+1)だから
(1.9.1)の右辺
＝{(－1)^n}{i^(n＋1)}sin(θ1)sin(θ2)・・・sin(θn)×
[Σ[h=0,[n/2]](ー1)^h・τ(2h)＋iΣ[h=0,[(n-1)/2]](ー1)^h・τ(2h+1)]
＝{(－1)^n}(－1)^(m＋1)sin(θ1)・・・sin(θn)×
[Σ[h=0,[n/2]](ー1)^h・τ(2h)＋iΣ[h=0,[(n-1)/2]](ー1)^h・τ(2h+1)]
これより式(1.9.1)の実部・虚部を比較して、次の公式[公式2.0]を得る。
[公式2.0]
nを自然数とする。(ア)では、mは1以上の自然数とし、(イ)では,mは0以上の整数とする。
(ア) n＝2mのとき、
cos(Σ[k=1,n]θk)＝{(－1)^n}(－1)^m×sin(θ1)・・・sin(θn)[Σ[h=0,[n/2]](ー1)^h・τ(2h)]
sin(Σ[k=1,n]θk)＝{(－1)^n}(－1)^(m＋1)sin(θ1)・・・sin(θn)[Σ[h=0,[(n-1)/2]](ー1)^h・τ(2h+1)]
(イ) n＝2m＋1のとき、
cos(Σ[k=1,n]θk)＝{(－1)^n}(－1)^(m＋1)sin(θ1)・・・sin(θn)[Σ[h=0,[(n-1)/2]](ー1)^h・τ(2h+1)]
sin(Σ[k=1,n]θk)＝{(－1)^n}(－1)^(m＋1)sin(θ1)・・・sin(θn)[Σ[h=0,[n/2]](ー1)^h・τ(2h)］
したがって
[主定理2.1] ＜ cotθの一般加法公式＞
nを自然数とする。
(ア) nが偶数のとき
cot(Σ[k=1,n]θk)
＝－{Σ[h=0,[n/2]](ー1)^h・τ(2h)}/{Σ[h=0,[(n－1)/2](ー1)^h・σ(2h＋1)}
＝－{1ーτ2＋τ4ー・・・＋(ー1)^[n/2]・τ(2[n/2])}
/{τ1ーτ3＋τ5ー・・・＋(ー1)^[(n-1)/2]・τ(2[(n-1)/2]+1)}
＝－{1ーΣcot(θ1)cot(θ2)＋・・・＋(ー1)^[n/2]・Σcot(θ1)cot(θ2)・・・cotθ_(2[n/2])}
/{Σcot(θ1)ーΣcot(θ1)cot(θ2)cot(θ3)＋・・・＋
＋(－1)^[(n-1)/2]Σcot(θ1)cot(θ2)・・・cotθ_(2[(n-1)/2]+1)} ・・・(2.0.1)
(イ) nが奇数のとき
cot(Σ[k=1,n]θk)
＝{Σcot(θ1)ーΣcot(θ1)cot(θ2)cot(θ3)＋＋・・・＋(ー1)^[(n-1)/2]Σcot(θ1)・・cot(θ(2[(n-1)/2]+1))}
/{１ーΣcot(θ1)cot(θ2)+Σcot(θ1)cot(θ2)cot(θ3)cot(θ4)ー・・・
＋(ー1)^[n/2]・Σcot(θ1)cot(θ2)・・・cot(θ(2[n/2]))} ・・・(2.0.2)
ここで [n/2]，[(n-1)/2]はそれぞれ n/2,(n-1)/2のガウス記号を表す。
また 記号Σの意味は「代数学の慣用法」にしたがっている。
[命題2.2]
＜cotθのn倍角の公式 ＞ nを自然数とする。
(ア) nが偶数のとき
cot(nθ)
＝－[1ーnC2・cot^2(θ)+nC4・cot^4(θ)-・・・+(ー1)^[n/2]・nC(2[n/2])・cot^(2([n/2])(θ)}
/[nC1cotθーnC3・cot^3(θ)+・・・＋(ー1)^[(n-1)/2]・nC(2([(n-1)/2)]+1)・cot^(2[(n-1)/2)]+1)(θ)]
(イ) nが奇数のとき
cot(nθ)
＝[nC1cotθーnC3・cot^3(θ)+・・・＋(ー1)^[(n-1)/2]・nC(2([(n-1)/2)]+1)・cot^(2[(n-1)/2)]+1)(θ)]
/[1ーnC2・cot^2(θ)＋nC4・cot^4(θ)・・・+(ー1)^[n/2]・nC(2[n/2])・cot^(2([n/2])(θ)}
「証明」
(2.0.1),(2.0.2)でθ1=θ2=・・・=θn=θとおけば、あとは基本対称式の定義から分かる。
（証明終わり）
「例１」
n＝4のとき [n/2]=[4/2]=2 ，2[n/2]=4，[(nー1)/2]=[3/2]=1，2[(n-1)/2]+1=3 だから
cot(θ1＋θ2＋θ3＋θ4)
＝－[1ーcot(θ1)cot(θ2)－cot(θ1)cot(θ3)－cot(θ1)cot(θ4)－cot(θ2)cot(θ3)－cot(θ2)cot(θ4)
－cot(θ3)cot(θ4)＋cot(θ1)cot(θ2)cot(θ3)cot(θ4)]
/[cot(θ1)＋cot(θ2)＋cot(θ3)＋cotθ4ーcot(θ1)cot(θ2)cot(θ3)－cot(θ1)cot(θ2)cot(θ4)
－cot(θ1)cot(θ3)cot(θ4)－cot(θ2)cot(θ3)cot(θ4)]
「例2」
n＝7のとき [(nー1)/2]=[6/2]=3，2[(n-1)/2]+1=7 ,[n/2]=[7/2]=3 ，2[n/2]=2[7/2]＝6だから
cot7θ＝ [7C1cotθー7C3・cot^3(θ)＋7C5・cot^5(θ)－7C7・cot^7(θ)]
/[1ー7C2・cot^2(θ)＋7C4・cot^4(θ)－7C6・cot^6(θ)]
となる。これらは21年も前の2001.09.08(土)に完成していたことだった。
タイピングするのが面倒だった。pdfファイルを改めて見たら、sinθ,cosθのn倍角の公式も
tanθの一般加法定理から、証明していたことを発見した。これについては、
atwikiのホームページからダウンロードしてください。