垂心四面体ABCDで成り立つベクトル等式の「証明」

垂心四面体ABCDで成り立つベクトル等式の「証明」2009.01.20(火)

［表記の約束］：　(→PQ)で「ベクトルPQ」を表し、E^mでm次元ユークリッド空間を表すことにする。
また　S_A　のAは下付きのA（添字）を表す。((→AB)，(→AC))でもって　(→AB)と(→AC)の「内積」を
表すことにし、一般の四面体に対してその「体積」をＶで表す。
◎さらに、J(3)は次のような3次の対称正方行列で、detJ(3)はその「行列式」を表す。detJ(3)は
いわゆる「Gramの行列式」である。

J(3)＝
(　(→AB,→AB)　(→AB,→AC)　(→AB,→AD)　）
(　(→AC,→AB)　(→AC,→AC)　(→AC,→AD)　）
(　(→AD,→AB)　(→AD,→AC)　(→AD,→AD)　）

(→AB),(→AC)，(→AD)は一次独立だから　detJ(3)＞0　である。

さて、2009.01.14(水)に与えた「ベクトル等式」を証明する。
次のようであった。

[命題1.1」

垂心四面体ABCDにおいて
△BCD、△ACD、△ABD、△ABCの面積を順 に S_A ,S_B, S_C,S_D とし、
頂点 A,B,C,D から対面の△BCD、△ACD、△ABD、△ABCに下した垂線の足をそれぞれ　
　H_A,H_B,H_C,H_Dとすれば、

等式　
　{(S_A)^2}(→AH_A)+{(S_B)^2}(→BH_B)+{(S_C)^2}(→CH_C)＋{(S_D)^2}(→DH_D)=(→0)

　・・・(1・1・1)

　　が成立する。
◎
△ABC　では、対応する等式は次のようになる。
[命題2.1]

３辺　BC,CA,AB　の長さをそれぞれ　a,b,c とし、頂点　A,B,Cから対辺 BC,CA,AB に
下した垂線の足を、順に　H_A , H_B, H_C　とし、△ABCの面積をSとすれば、
　等式

　　(a^2)(→AH_A)+(b^2)(→BH_B)+(c^2)(→CH_C)＝(→0)
　　　　・・・(2・1・1)
　　　が成立する。

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(ア)垂心四面体ABCDで成り立つ事柄の復習

[命題1.2]　　

　　「四面体ABCD」の「垂心Ｈ」が存在する
⇔(1)　AB⊥CD　かつ　AC⊥BD　かつ　AD⊥BC　・・・(1.2.1)

⇔(2)　(AB)^2＋(CD)^2=(AC)^2＋(BD)^2=(AD)^2＋(BC)^2 ・・・(1.2.2)
(1)は容易に

⇔　((→AB)，(→AC))=((→AB)，(→AD))=((→AC)，(→AD))　・・・(1.2.3)
⇔　((→BA)，(→BC))=((→BA)，(→BD))=((→BC)，(→BD))　・・・(1.2.4)
⇔　((→CA),(→CB))＝((→CA)，(→CD))=((→CB)，(→CD))　・・・(1.2.5)
⇔ ((→DA)，(→DB))=((→DA)，(→DC))=((→DB)，(→DC))　・・・(1.2.6)

そこで　x＝((→AB)，(→AC))=((→AB)，(→AD))=((→AC)，(→AD))，
　　　　y＝((→BA)，(→BC))=((→BA)，(→BD))=((→BC)，→(BD))，
　　　　z＝((→CA),(→CB))＝((→CA)，(→CD))=((→CB)，(→CD))，
　　　　w＝((→DA)，(→DB))=((→DA)，(→DC))=((→DB)，(→DC))　・・・(1.2.7)
　　　とおく。　このとき、
[命題1.3]　
　　垂心四面体ABCDにおいて
　 　x＋y＝(AB)^2　，x＋z＝(AC)^2， x＋w＝(AD)^2，
y＋z＝(BC)^2　，y＋w＝(BD)^2， z＋w＝(CD)^2 　・・・(1.3.1)
　　
　　　であった。
また
[命題1.4]
　垂心四面体ABCDにおいて

　detJ(3)＝(6V)^2＝yzw＋xzw＋xyw＋xyz　・・・(1.4.1)　であった。
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(イ)　△ABCで成り立つ事の復習
[命題2.2］
　△ABCにおいて、その面積をSとし，x＝((→AB)，(→AC))，y＝((→BA)，(→BC))，z＝((→CA),(→CB))と
　おけば、x＋y＝(AB)^2　，x＋z＝(AC)^2，y＋z＝(BC)^2　・・・(2.2.1)となる。
　その「垂心H」の「ベクトルによる重心座標表現」は任意の点P∈E^m（m≧２)
（　ただし△ABC⊆E^2⊆E^m）としておく）　に対して、

　(→PH)＝1/{4(S^2)}[yz(→PA)＋xz(→PB)＋xy(→PC)］　・・・(2.2.2)
　
　　また　4(S^2)＝yz＋xz＋xy　・・・(2.2.3)　であった。

◎　以上(ア)(イ)が復習である。

※※※※※※※※※※※※　それでは「証明」に入る　※※※※※※※※※
[命題1.1」の「証明」

垂心四面体ABCDの「垂心」をＨとする。
このとき、2008.11.3[垂心四面体で見落としていた大事な事］のブログで述べたように
H_A,H_B,H_C,H_D は順に△BCD,△ACD、△ABD,△ABCの「垂心」であった。よって[命題2.2］の
三角形での「垂心のベクトルによる重心座標表現」により、[命題1.2]の(1.2.7)に注意すれば、
　任意の点P∈E^m(m≧3)に対して、

　　(→PH_A)＝1/{4(S_A)^2}[zw(→PB)＋yw(→PC)＋yz(→PD)］　・・・(1.1.1)
　　かつ　4(S_A)^2＝zw＋yw＋yz　・・・(1.1.2)
　同様に　
　　(→PH_B)＝1/{4(S_B)^2}[zw(→PA)＋xw(→PC)＋xz(→PD)］　・・・(1.1.3)
　　　　　4(S_B)^2＝zw＋xw＋xz　・・・(1.1.4)

　　(→PH_C)＝1/{4(S_C)^2}[yw(→PA)＋xw(→PB)＋xy(→PD)］　・・・(1.1.5)
　　　　　4(S_C)^2＝yw＋xw＋xy　・・・(1.1.6)
　
　　(→PH_D)＝1/{4(S_D)^2}[yz(→PA)＋xz(→PB)＋xy(→PC)］　・・・(1.1.7)
　　　　　4(S_D)^2＝yz＋xz＋xy　・・・(1.1.8)
したがって(1.1.1)，(1.1.3)，(1.1.5)，(1.1.7)の分母を払い、四式を加えて　
　　(1.1.2)，(1.1.4)，(1.1.6)，(1.1.8)を使えば

　　{4(S_A)^2}(→PH_A)＋{4(S_B)^2}(→PH_B)＋{4(S_C)^2}(→PH_C)＋{4(S_D)^2}(→PH_D)
　　
　　＝zw(→PB)＋yw(→PC)＋yz(→PD)＋zw(→PA)＋xw(→PC)＋xz(→PD)
　　
　　＋yw(→PA)＋xw(→PB)＋xy(→PD)＋yz(→PA)＋xz(→PB)＋xy(→PC)
　　
　　＝(zw＋yw＋yz)(→PA)＋(zw＋xw＋xz)(→PB)
　　
　　＋(yw＋xw＋xy)(→PC)＋(yz＋xz＋xy)(→PD)
　　＝{4(S_A)^2}(→PA)＋{4(S_B)^2}(→PB)＋{4(S_C)^2}(→PC)＋{4(S_D)^2}(→PD)　

すなわち　
　　{4(S_A)^2}(→PH_A)＋{4(S_B)^2}(→PH_B)＋{4(S_C)^2}(→PH_C)＋{4(S_D)^2}(→PH_D)
　＝{4(S_A)^2}(→PA)　＋{4(S_B)^2}(→PB)　＋{4(S_C)^2}(→PC) 　＋{4(S_D)^2}(→PD)　 ・・・(1.1.8)

ゆえに　　{4(S_A)^2}[(→PH_A)－(→PA)]＋{4(S_B)^2}[(→PH_B)－(→PB)]　　
　　　　＋{4(S_C)^2}[(→PH_C)－(→PC)]＋{4(S_D)^2}[(→PH_D)－(→PD)]＝(→0)

　すなわち

　{(S_A)^2}(→AH_A)＋{(S_B)^2}(→BH_B)＋{(S_C)^2}(→CH_C)＋{(S_D)^2}(→DH_D)＝(→0)　
　
よって　　[命題1・1]は証明された。
（　[命題１・１]の「証明」終わり　）※　注意：[命題1.4]は使用しなかった。

次に　△ABCの場合の[命題2.1]は、次の[命題２．３]を使う。

[命題２．３]　　[命題2．2]から次の事が分かる。
　△ABCにおいて、頂点A、B、Cから対辺　BC、CA、AB　に下した垂線の足を順にH_A，H_B，H_Cとすれば、
H_A，H_B，H_C　は　辺　BC，CA　，ABを
　
B(H_A)：(H_A)C＝y:z　，C(H_B)：(H_B)A＝z:x　，A(H_C)：(H_C)B＝x:y
　の比に分ける点である。

[命題２．３]については、Gooのブログ「あれこれゆっくりと学びについて考える」
の2008.8.31の[三角形の垂心のベクトルによる重心座標表現」に
　書いてあるので,そちらを見ていただきたい。）

※※※※※※※※※※※※　[命題2.1]の「証明」をしよう※※※※※※※※※

　[命題２．３]から△ABCの場合の[命題2.1]の「証明」は簡単である。
[命題2.1]の「証明」
　[命題２．３]から
　　　
　[命題2.2]の(2・2・1)に注意すれば
　(→AH_A)＝{1/(y＋z)}[z(→AB)＋y(→AC)]＝{1/(a^2)}[z(→AB)＋y(→AC)]　・・・（2.1.1)
　(→BH_B)＝{1/(x＋z)}[z(→BA)＋x(→BC)]＝{1/(b^2)}[z(→BA)＋x(→BC)]　・・・（2.1.2)
　(→CH_C)＝{1/(x＋y)}[y(→CA)＋x(→CB)]＝{1/(c^2)}[y(→CA)＋x(→CB)]　・・・（2.1.3)
（　なお　BC＝a　，CA＝b　，AB＝c　に注意せよ　）
　　
　分母を払って　加えれば　
　(a^2)(→AH_A)＋(b^2)(→BH_B)＋(c^2)(→CH_C)
　＝[z(→AB)＋y(→AC)]＋[z(→BA)＋x(→BC)]＋[y(→CA)＋x(→CB)]　
　＝[z(→AB)＋z(→BA)]＋[y(→AC)＋y(→CA)]＋[x(→BC)＋x(→CB)]　
　＝(→0)＋(→0)＋(→0)＝(→0)
　
（　[命題2.1]の「証明」終わり　）
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◎　[命題1.1」の「別証明」
(1.1.1)で　P　⇒A　，(1.1.3)で　P　⇒B　，(1.1.5)で　P　⇒　C　，(1.1.7)で　P　⇒　D　として
　分母を払い四式を加えれば、

　{4(S_A)^2}(→AH_A)＋{4(S_B)^2}(→BH_B)＋{4(S_C)^2}(→CH_C)＋{4(S_D)^2}(→DH_D)
　＝[zw(→AB)＋zw(→BA)]＋[yw(→AC)＋yw(→CA)]＋[yz(→AD)＋yz(→DA)］
　＋[xw(→BC)＋xw(→CB)]＋[xz(→DB)＋xz(→BD)]＋[xy(→CD)＋xy(→DC)］　
　＝(→0)＋(→0)＋(→0)＋(→0)＋(→0)＋(→0)＝(→0)
（　[命題1.1」の「別証明」終わり）