算額（その596）

算額（その596）

Tony さんの問題
http://takasakiwasan.web.fc2.com/gunnsann/pdf/2019_04_02_1.pdf

外円の中に甲円 5 個，乙円 5 個が入っている。甲円は互いに外接し，外円に内接している。乙円は互いに外接し，甲円とも外接している。
甲円の直径が 74 寸のとき，乙円の直径は以下ほどか。

外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
甲円の半径と中心座標を r1, (x1, y1); x1 = r1, y1 = (R - r1)*cosd(36)
乙円の半径と中心座標を r2, (0, y2)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms R::positive, r1::positive, r2::positive, y2::positive;
eq1 = (R - r1)*sind(Sym(36)) - r1
eq2 = r1^2 + ((R - r1)*cosd(Sym(36))- y2)^2 - (r1 + r2)^2
eq3 = y2*sind(Sym(36)) - r2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (R, r2, y2))

   2-element Vector{Tuple{Sym, Sym, Sym}}:
    (sqrt(5)*r1*sqrt(10 - 2*sqrt(5))/10 + r1 + r1*sqrt(10 - 2*sqrt(5))/2, r1*(-36*sqrt(10) - 80*sqrt(2) + 37*sqrt(25 - 5*sqrt(5)) + 83*sqrt(5 - sqrt(5)))/(sqrt(5 - sqrt(5))*(21*sqrt(5) + 47)), -8*sqrt(5)*r1/(sqrt(5) + 5) + 2*r1*(3*sqrt(10) + 10*sqrt(2))/(sqrt(5 - sqrt(5))*(2*sqrt(5) + 5)))
    (sqrt(5)*r1*sqrt(10 - 2*sqrt(5))/10 + r1 + r1*sqrt(10 - 2*sqrt(5))/2, r1*(80*sqrt(2) + 36*sqrt(10) + 37*sqrt(25 - 5*sqrt(5)) + 83*sqrt(5 - sqrt(5)))/(sqrt(5 - sqrt(5))*(21*sqrt(5) + 47)), 8*sqrt(5)*r1/(sqrt(5) + 5) + 2*r1*(3*sqrt(10) + 10*sqrt(2))/(sqrt(5 - sqrt(5))*(2*sqrt(5) + 5)))

2 組の解が得られるが，最初のものが適解である。

乙円の直径は 23.0026755202222 である。

2res[1][2](r1 => 74/2).evalf() |> println

   23.0026755202222

その他のパラメータは以下の通り。

   乙円の直径 = 23.0027;  R = 99.9482;  r2 = 11.5013;  y2 = 19.5672;  x1 = 37;  y1 = 50.9261

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   plot()
   r1 = 74/2
   (R, r2, y2) = (
       (sqrt(5)*r1*sqrt(10 - 2*sqrt(5))/10 + r1 + r1*sqrt(10 - 2*sqrt(5))/2,
       r1*(-36*sqrt(10) - 80*sqrt(2) + 37*sqrt(25 - 5*sqrt(5)) + 83*sqrt(5 - sqrt(5)))/(sqrt(5 - sqrt(5))*(21*sqrt(5) + 47)),
       -8*sqrt(5)*r1/(sqrt(5) + 5) + 2*r1*(3*sqrt(10) + 10*sqrt(2))/(sqrt(5 - sqrt(5))*(2*sqrt(5) + 5)))
   )
   x1 = r1
   y1 = (R - r1)*cosd(Sym(36))
   @printf("乙円の直径 = %g;  R = %g;  r2 = %g;  y2 = %g;  x1 = %g;  y1 = %g\n", 2r2, R, r2, y2, x1, y1)
   circle(0, 0, R, :red)
   for i in 1:5
       x = cosd((i - 1)*72 + 54)*(R - r1)
       y = sind((i - 1)*72 + 54)*(R - r1)
       circle(x, y, r1, :blue)
       x = cosd((i - 1)*72 + 18)*y2
       y = sind((i - 1)*72 + 18)*y2
       circle(x, y, r2, :green)
   end
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:black, lw=0.5)
       vline!([0], color=:black, lw=0.5)
       point(0, y2, " r2,(0,y2)", :black, :left, :bottom, delta=delta/3)
       point(x1, y1, "r1,(x1,y1)", :blue, :center, delta=-delta/2)
   end
end;