算額（その42）

算額（その42）

山形県鶴岡市羽黒町 出羽三山神社 文政6年
http://www.wasan.jp/yamagata/haguro.html

外円内に大円 3 個と小円 4 個が収まっている。それぞれの径を求めよ。

下図のように記号を定め，方程式を解く。

using SymPy

@syms r1::real, r2::real, x1::positive, y1::negative, x2::positive, y2::negative;

x1 = (1 - r1)sqrt(Sym(3))/2
y1 = (r1 - 1)/2    

x2 = (r2 - r1)sqrt(Sym(3))/2
y2 = (r1 - r2)/2

eq1 = x1^2 + (1 - r2 - y1)^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = x2^2 + (1 - r1 - y2)^2 - (r1 + r2)^2

res = solve([eq1, eq2], (r1, r2))

   3-element Vector{Tuple{Sym, Sym}}:
    (1, 0)
    (-2*sqrt(7)/3 - 2*(-2 + sqrt(7))^2/3 + 7/3, -2 + sqrt(7))
    (-2*(-sqrt(7) - 2)^2/3 + 2*sqrt(7)/3 + 7/3, -sqrt(7) - 2)

2 番目の解が適。

(-2*sqrt(7)/3 - 2*(-2 + sqrt(7))^2/3 + 7/3, -2 + sqrt(7))

簡約化すると

(2*sqrt(7) - 5, sqrt(7) - 2)

   (0.291502622129181, 0.6457513110645907)

using Plots

function circle(ox, oy, r, color=:red; beginangle=0, endangle=360)
   θ = beginangle:0.1:endangle
   x = r.*cosd.(θ)
   y = r.*sind.(θ)
   plot!(ox .+ x, oy .+ y, color=color, linewidth=0.5)
end;

function point(x, y, string="", color=:green, position=:left, vertical=:top; mark=true)
   mark && scatter!([x], [y], color=color, markerstrokewidth=0)
   annotate!(x, y, text(string, 10, position, color, vertical))
end;

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r1, r2) = (2*sqrt(7) - 5, sqrt(7) - 2)
   x1 = (1 - r1)sqrt(3)/2
   y1 = (r1 - 1)/2   
   println("r1 = $r1;  r2 = $r2;  x1 = $x1;  y1 = $y1")
   plot()
   circle(0, 0, 1, :black)
   circle(0, 0, r1, :blue)
   circle(0, 1-r1, r1, :blue)
   circle((1-r1)sqrt(3)/2, -(1-r1)/2, r1, :blue)
   circle(-(1-r1)sqrt(3)/2, -(1-r1)/2, r1, :blue)
   x2 = (r2 - r1)sqrt(Sym(3))/2
   y2 = (r1 - r2)/2
   circle(x2, y2, r2, :magenta)
   circle(-x2, y2, r2, :magenta)
   circle(0, 1-r2, r2, :magenta)
   if more
       point(0, 1-r1, "1-r1 ", :blue)
       point(0, 1-r2, "1-r2 ", :magenta)
       point((1-r2)sqrt(3)/2, -(1-r2)/2, "  (x2,y2)", :magenta)
       point(x1, y1, "(x1,y1)", :blue, :center)
       point(0, 0, "0 ", :magenta)
       vline!([0], color=:black, linewidth=0.25)
       hline!([0], color=:black, linewidth=0.25)
   end
end;