算額（その451）

算額（その451）

岩手県一関市滝沢字駒場 新山神社 明治31年太陰3月28日
関流 阿部胤信門人 千葉胤美

数学史研究，通巻 185 号，2005年4月〜6月
http://www.wasan.jp/sugakusipdf/185.pdf
数学史研究，通巻 186 号，2005年7月〜9月
http://www.wasan.jp/sugakusipdf/186.pdf

七四 加須市大字外野 棘脱地蔵堂 明治7年(1874)
埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.

大円 2 個，中円 5 個，小円 4 個が図のように配置されている。大円の直径が 1 寸のとき，小円の直径はいかほどか。

大円の半径と中心座標を r1, (0, r2), (0, -r2) ただし r1 = 2r2
中円の半径と中心座標を r2, (0, 0), (2r2, 0)
小円の半径と中心座標を r3, (x3, x3)
とし，以下の連立方程式を解く。

小円は中円 2 個と，大円に外接している（接点は 3 個）と思われるが，図の左下部分では中円 2 個と外接し，大円に内接しているように見える。
少なくとも，接点の数が 4 個はありえない。

まずは，「小円は中円 2 個と，大円に外接している」と解釈した場合について解を求める。

include("julia-source.txt")

using SymPy

@syms r2::positive, r3::positive, x3::positive;
eq1 = (2r2 - x3)^2 + x3^2 - (r2 + r3)^2
eq2 = x3^2 + (x3 + r2)^2 - (2r2 + r3)^2
res = solve([eq1, eq2], (r3, x3))

   1-element Vector{Tuple{Sym, Sym}}:
    (3*r2/7, 8*r2/7)

小円の直径は中円の直径の 3/7 倍。中円の直径は大円の直径の 1/2 なので，小円の直径は大円の直径の 3/14 倍である。
大円の直径が 1 寸ならば，小円の直径は 0.214286寸 = 2分1厘4毛あまり である。

using Plots

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r2 = 1//4
   (r3, x3) = (r2*3/7, r2*8/7)
   #(r3, x3) = (-r2^2 + 2*r2*(r2/2 - sqrt(-r2^2/4 + sqrt(2)*r2/4 + 3*r2/2 + 1/8) + sqrt(2)/4) + 2*r2 - 2*(r2/2 - sqrt(-r2^2/4 + sqrt(2)*r2/4 + 3*r2/2 + 1/8) + sqrt(2)/4)^2, r2/2 - sqrt(-r2^2/4 + sqrt(2)*r2/4 + 3*r2/2 + 1/8) + sqrt(2)/4)
   @printf("r3 = %g;  x3 = %g\n", r3, x3)
   @printf("小円の直径 = %g\n", 2r3)
   plot()
   circle(0, r2, 2r2, :magenta)
   circle(0, -r2, 2r2, :magenta)
   circle(0, 0, r2, :blue)
   circle42(0, 2r2, r2, :blue)
   circle4(x3, x3, r3, :red)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /  3  # size[2] * fontsize * 2
       point(2r2, 0, "2r2", :blue, :center, :top, delta=-delta)
       point(0, -r2, " -r2", :blue, :left, :top, delta=-delta)
       point(x3, x3, " 小円:r3,(x3,x3)", :black, :left, :vcenter)
       hline!([0], color=:gray, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray, lw=0.5)
   else
      plot!(showaxis=false)
   end
end;

次に，「小円は中円 2 個と外接し，大円に内接している」と解釈した場合について解を求める。

using SymPy

@syms r2::positive, r3::positive, x3::positive;
eq1 = (2r2 - x3)^2 + x3^2 - (r2 + r3)^2
eq2 = x3^2 + (x3 - r2)^2 - (2r2 - r3)^2
res = solve([eq1, eq2], (r3, x3))

   1-element Vector{Tuple{Sym, Sym}}:
    (9*r2/17, 24*r2/17)

小円の直径は中円の直径の 9/17 倍。中円の直径は大円の直径の 1/2 なので，小円の直径は大円の直径の 9/34 倍である。
大円の直径が 1 寸ならば，小円の直径は 0.264706寸 = 2分6厘4毛あまり である。

using Plots

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r2 = 1//4
   (r3, x3) = (9/68, 6/17)
   #(r3, x3) = (-r2^2 + 2*r2*(r2/2 - sqrt(-r2^2/4 + sqrt(2)*r2/4 + 3*r2/2 + 1/8) + sqrt(2)/4) + 2*r2 - 2*(r2/2 - sqrt(-r2^2/4 + sqrt(2)*r2/4 + 3*r2/2 + 1/8) + sqrt(2)/4)^2, r2/2 - sqrt(-r2^2/4 + sqrt(2)*r2/4 + 3*r2/2 + 1/8) + sqrt(2)/4)
   @printf("r3 = %g;  x3 = %g\n", r3, x3)
   @printf("小円の直径 = %g\n", 2r3)
   plot()
   circle(0, r2, 2r2, :magenta)
   circle(0, -r2, 2r2, :magenta)
   circle(0, 0, r2, :blue)
   circle42(0, 2r2, r2, :blue)
   circle4(x3, x3, r3, :red)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /  3  # size[2] * fontsize * 2
       point(2r2, 0, "2r2", :blue, :center, :top, delta=-delta)
       point(0, -r2, " -r2", :blue, :left, :top, delta=-delta)
       point(x3, x3, " 小円:r3,(x3,x3)", :black, :left, :vcenter)
       hline!([0], color=:gray, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray, lw=0.5)
   else
      plot!(showaxis=false)
   end
end;

ところで，算額の答えは「小円の直径は 2分零7毛有奇」つまり 0.207ということで，上記 2 通りの解のいずれでもない。
なぜこの数値が出てくるのかは術でこう述べている。「0.5 の平方根から 0.5 を引き，大円の直径を掛ける。」0.5 は 5 分である。
外円の直径が 1 寸ならば，1 * (sqrt(0.5) - 0.5) = 0.20710678118654757 ということである。どこで 0.5 が出てくるのかは書かれていない。