算額（その1115）

算額（その1115）

四 岩手県花巻市南笹間 東光寺 慶応2年(1866)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：球4個，円錐台，3次元

円錐台の中に直径 4 寸の大球 2 個と直径 2 寸の小球 2 個が入っている。円錐台の高さを求めよ。
注：大球，小球は円錐台の側面にそれぞれ 2 点で接し，小球は円錐台の上面に接している。

2 個の小球が重なって見える方向から見た図

2 個の大球が重なって見える方向から見た図

円錐の高さ，底面の円の半径を h，a
大球の半径と中心座標を r1, (r1, 0, r1)
小球の半径と中心座標を r2, (0, r2, z2)
とおき，以下の連立方程式を解く。
円錐台の高さは，小球の中心の z 座標値に小球の半径を加えたもの z2 + r2 である。

include("julia-source.txt")

using SymPy
@syms a::positice, h::positive, r1::positive,
     r2::positive, z2::positive
eq1 = r1^2 + r2^2 + (z2 - r1)^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = a + h - sqrt(a^2 + h^2) - 2r1
eq3 = dist2(0, h, a, 0, r2, z2, r2)
eq4 = r2*(h + a + sqrt(a^2 + h^2)) - a*h;

z2 は eq1 を解くことにより求めることができる。

ans_z2 = solve(eq1,z2)[2]
ans_z2 |> println
ans_z2 + r2 |> println

   sqrt(2)*sqrt(r1)*sqrt(r2) + r1
   sqrt(2)*sqrt(r1)*sqrt(r2) + r1 + r2

円錐台の高さは sqrt(2r1*r2) + r1 + r2 である。
大球，小球の半径が 4/2 寸, 2/2 寸のとき，円錐台の高さは 5 寸である。

ans_z2(r1 => 4//2, r2 => 2//2) |> println
(ans_z2 + r2)(r1 => 4//2, r2 => 2//2) |> println

   4
   5

この連立方程式は，変数名のままでは適切な解が得られない。r1, r2 に特定の数値を与え，a, h を求める。

eq12 = eq2(z2 => ans_z2)
eq13 = eq3(z2 => ans_z2)/a 
eq14 = eq4(z2 => ans_z2)

eq12 = eq12(r1 => 4//2, r2 => 2//2)
eq13 = eq13(r1 => 4//2, r2 => 2//2)
eq14 = eq14(r1 => 4//2, r2 => 2//2)

円錐台の底面の円の直径は 8 寸，円錐の高さは 6 寸である。

res = solve([eq12, eq13], (a, h))[1]

   (8, 6)

function draw(type, more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r1, r2, a, h, z2) = (4/2, 2/2, 8, 6, 4)
   b = (h - (z2 + r2))/h*a
   plot([a, 0, -a, a], [0, h, 0, 0], color=:green, lw=0.5)
   if type == 1
       circle2(r1, r1, r1, :blue)
       circle(0, z2, r2)
   else
       circle(0, r1, r1, :blue)
       circle2(r2, z2, r2)
   end
   segment(-b, z2 + r2, b, z2 + r2)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       if type == 1
           point(r1, r1, "大球:r1,(r1,r1)", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
           point(0, z2, "小球:r2,(0, z2)", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
       else
           point(0, r1, "大球:r1,(0,r1)", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
           point(r2, z2, "小球:r2,(r2, z2)", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
       end
       point(a, 0, " a", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, h, "h", :green, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, z2 + r2, " z2+r2", :green, :center, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;