算額（その415）

算額（その415）

東京都府中市 大國魂神社 明治18年(1885)

早坂平四郎: 算額の一考察，苫小牧工業専門学校紀要
https://www.tomakomai-ct.ac.jp/wp01/wp-content/uploads/2014/06/kiyou5-8.pdf

甲円と乙円が交わっており，共通部分に丙円1こと丁円2個を入れる。それぞれの円は互いに内接・外接している。
甲円，乙円，丙円の直径が与えられたとき，丁円の直径を求めよ。

甲円の半径と中心座標を r1, (r1 - r3, 0)
乙円の半径と中心座標を r2, (r3 - r2, 0)
丙円の半径と中心座標を r3, (0, 0)
丁円の半径と中心座標を r4, (x4, y4)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms r1::positive, r2::positive, r3::negative,
     r4::positive, x4::negative, y4::positive;
eq1 = (r1 - r3 - x4)^2 + y4^2 - (r1 - r4)^2
eq2 = x4^2 + y4^2 - (r3 + r4)^2
eq3 = (r3 - r2 - x4)^2 + y4^2 - (r2 - r4)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r4, x4, y4))

   2-element Vector{Tuple{Sym, Sym, Sym}}:
    (r3*(r1 - r3)*(r2 - r3)/(r1*r2 - r3^2), -r3^2*(r1 - r2)/(r1*r2 - r3^2), -2*sqrt(r1)*sqrt(r2)*r3*sqrt(r1 - r3)*sqrt(r2 - r3)/(r1*r2 - r3^2))
    (r3*(r1 - r3)*(r2 - r3)/(r1*r2 - r3^2), -r3^2*(r1 - r2)/(r1*r2 - r3^2), 2*sqrt(r1)*sqrt(r2)*r3*sqrt(r1 - r3)*sqrt(r2 - r3)/(r1*r2 - r3^2))

最初の組が適解である。

res[1][1] |> simplify

甲円，乙円，丙円の半径 r1, r2, r3 がそれぞれ 55, 45, 17 のとき，丁円の半径は
(r3*(r1 - r3)*(r2 - r3)/(r1*r2 - r3^2) = 8.274473924977126 である。

   r1 = 55;  r2 = 45;  r3 = 17
   r4 = 8.27447;  x4 = -1.32205;  y4 = 25.2399

(r1, r2, r3) = (55, 45, 17)
r3*(r1 - r3)*(r2 - r3)/(r1*r2 - r3^2)

   8.274473924977126

using Plots

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r1, r2, r3) = (55, 45, 17)
   (r4, x4, y4) = (r3*(r1 - r3)*(r2 - r3)/(r1*r2 - r3^2), -r3^2*(r1 - r2)/(r1*r2 - r3^2), 2*sqrt(r1)*sqrt(r2)*r3*sqrt(r1 - r3)*sqrt(r2 - r3)/(r1*r2 - r3^2))
   @printf("r1 = %g;  r2 = %g;  r3 = %g\n", r1, r2, r3)
   @printf("r4 = %g;  x4 = %g;  y4 = %g\n", r4, x4, y4)
   plot()
   circle(r1 - r3, 0, r1, :blue)
   circle(r3 - r2, 0, r2, :red)
   circle(0, 0, r3, :green)
   circle(x4, y4, r4, :orange)
   circle(x4, -y4, r4, :orange)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /  3  # size[2] * fontsize * 2
       point(r1 - r3, 0, "r1-r3  甲円:r1", :blue, delta=-delta)
       point(r3 - r2, 0, "乙円:r2  r3-r2 ", :red, :right, delta=-delta)
       point(0, 0, "丙円:r3", :green, :center, delta=-delta)
       point(x4, y4, "    丁円:r4,(x4,y4)", :orange, :left, :vcenter)
       vline!([0], color=:black, lw=0.5)
       hline!([0], color=:black, lw=0.5)
   else
       plot!(showaxis=false)
   end
end;