算額（その1122）

算額（その1122）

二十九 一関市山ノ目 配志和神社 推定文政8年頃
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：円8個，外円，二等辺三角形

外円の中に二等辺三角形と甲円 4 個，乙円 1 個，丙円 2 個を容れる。丙円の直径が 1 寸のとき，乙円の直径はいかほどか。

二等辺三角形の底辺と y 軸の交点座標を (0, y)
外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
甲円の半径と中心座標を r1, (r1, y + r1), (r1, y - r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (0, y2)
丙円の半径と中心座標を r3, (x3, y3)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt")

using SymPy
@syms R::positive, y::negative, r1::positive,
     r2::positive, y2::positive,
     r3::positive, x3::positive, y3::positive
eq1 = r1^2 + (y - r1)^2 - (R - r1)^2
eq2 = x3^2 + y3^2 - (R - r3)^2
eq3 = r1^2 + (y2 - y - r1)^2 - (r1 + r2)^2
eq4 = dist2(0, R, sqrt(R^2 - y^2), y, r1, y + r1, r1)
eq5 = dist2(0, R, sqrt(R^2 - y^2), y, 0, y2, r2)
eq6 = dist2(0, R, sqrt(R^2 - y^2), y, x3, y3, r3)
eq7 = y3/x3 - sqrt(R^2 - y^2)/(R - y);

using NLsolve

function nls(func, params...; ini = [0.0])
   if typeof(ini) <: Number
       r = nlsolve((vout, vin) -> vout[1] = func(vin[1], params..., [ini]), ftol=big"1e-40")
       v = r.zero[1]
   else
       r = nlsolve((vout, vin)->vout .= func(vin, params...), ini, ftol=big"1e-40")
       v = r.zero
   end
   return Float64.(v), r.f_converged
end;

function H(u)
   (R, y, r1, r2, y2, x3, y3) = u
   return [
       r1^2 - (R - r1)^2 + (-r1 + y)^2,  # eq1
       x3^2 + y3^2 - (R - r3)^2,  # eq2
       r1^2 - (r1 + r2)^2 + (-r1 - y + y2)^2,  # eq3
       (-R*(-R^2 + 2*R*r1 + R*y + 2*r1*sqrt(R^2 - y^2) + y^2)/2 + r1^2*sqrt(R^2 - y^2) + r1*y^2 + r1*y*sqrt(R^2 - y^2) + y^3/2)/R,  # eq4
       R^3 + R^2*y - 2*R^2*y2 - 2*R*r2^2 - 2*R*y*y2 + R*y2^2 + y*y2^2,  # eq5
       (R*(R^2 + R*y - 2*R*y3 - 2*r3^2 + x3^2 - 2*x3*sqrt(R^2 - y^2) - 2*y*y3 + y3^2) - x3^2*y + 2*x3*y3*sqrt(R^2 - y^2) + y*y3^2)/(2*R),  # eq6
       -sqrt(R^2 - y^2)/(R - y) + y3/x3,  # eq7
   ]
end;
r3 = 1/2
iniv = BigFloat[2.5, -0.7, 0.8, 11/16, 42/31, 1.6, 1.2]
res = nls(H, ini=iniv)

   ([2.5, -0.7, 0.8, 0.6875388202501893, 1.3541019662496845, 1.6, 1.2], true)

丙円の直径が 1 寸のとき，乙円の直径は 2*0.6875388202501893 = 1.3750776405003786 寸である。

function draw(R, more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r3 = 1/2
   (R, y, r1, r2, y2, x3, y3) = res[1]
   @printf("丙円の直径が %g のとき，乙円の直径は %g である。\n", 2r3, 2r2)
   x = sqrt(R^2 - y^2)
   plot([x, 0, -x, x], [y, R, y, y], color=:black, lw=0.5)
   circle(0, 0, R)
   circle2(r1, y + r1, r1, :green)
   circle2(r1, y - r1, r1, :green)
   circle(0, y2, r2, :magenta)
   circle2(x3, y3, r3, :orange)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(R, 0, " R", :magenta, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(r1, y - r1, "甲円:r1,(r1,y-r1)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(r1, y + r1, "甲円:r1,(r1,y+r1)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(0, y2, "乙円:r2,(0,y2)", :magenta, :center, delta=-delta/2)
       point(x3, y3, "丙円:r3\n(x3,y3)", :blue, :center, delta=-delta/2)
   end
end;