算額（その1055）

算額（その1055）

九十一 陸前高田市小友町只出 小友八幡神社 明治26年(1893)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

直角三角形内に正方形と大円，甲円，乙円，丙円，丁円を容れる。甲円，乙円の直径がそれぞれ 1.17 寸，1.05 寸のとき，大円の直径はいかほどか。

術では「甲円と乙円の直径を加えて 1 で割れば大円の直径が得られる」などとデタラメを言っている。山村もなんのコメントも付けずオウム返しで解説しているだけ。

直角三角形の直角を挟む二辺の短い方を「鈎」，長い方を「股」とする
直角三角形の斜辺が正方形の頂点で分割されるが，短い方を「短弦」，長い方を「長弦」とする
大円の半径と中心座標を r1, (r1, r1)
甲円の半径と中心座標を r2, (2r1 + r2, r2)
乙円の半径と中心座標を r3, (r3, 2r1 + r3)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms r1::positive, r2::positive, r3::positive,
     短弦::positive, 長弦::positive,
     鈎::positive, 股::positive
eq1 = 2r1 + (股 - 2r1) - 長弦 - 2r2
eq2 = (鈎 - 2r1) + 2r1 - 短弦 - 2r3
eq3 = (鈎 - 2r1)^2 + 4r1^2 - 短弦^2
eq4 = 4r1^2 + (股 - 2r1)^2 - 長弦^2
eq5 = 鈎^2 + 股^2 - (長弦 + 短弦)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5], (r1, 短弦, 長弦, 鈎, 股))[2]  # 2 0f 2

   (r2/2 + r3/2 + sqrt(r2^2 + r3^2)/2, r2 + sqrt(r2^2 + r3^2) + r3^2/r2 + r3*sqrt(r2^2 + r3^2)/r2, r2^2/r3 + r2*sqrt(r2^2 + r3^2)/r3 + r3 + sqrt(r2^2 + r3^2), r2 + 2*r3 + sqrt(r2^2 + r3^2) + r3^2/r2 + r3*sqrt(r2^2 + r3^2)/r2, (r2^2 + 2*r2*r3 + r2*sqrt(r2^2 + r3^2) + r3^2 + r3*sqrt(r2^2 + r3^2))/r3)

res[1] |> println
res[1](r2 => 1.17, r3 => 1.05) |> println

   r2/2 + r3/2 + sqrt(r2^2 + r3^2)/2
   1.89603435039443

大円の半径は (r2 + r3 + sqrt(r2^2 + r3^2))/2 である。術がいうような単純な和ではない。
甲円，乙円の直径がそれぞれ 1.17 寸，1.05 寸のとき，大円の直径は 1.89603435039443 寸である。

その他のパラメータは以下のとおりである。
r2 = 1.17;  r3 = 1.05;  r1 = 1.89603;  短弦 = 5.09521;  長弦 = 5.67752;  鈎 = 7.19521;  股 = 8.01752

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r2, r3) = (1.17, 1.05)
   (r1, 短弦, 長弦, 鈎, 股) = (r2/2 + r3/2 + sqrt(r2^2 + r3^2)/2, r2 + sqrt(r2^2 + r3^2) + r3^2/r2 + r3*sqrt(r2^2 + r3^2)/r2, r2^2/r3 + r2*sqrt(r2^2 + r3^2)/r3 + r3 + sqrt(r2^2 + r3^2), r2 + 2*r3 + sqrt(r2^2 + r3^2) + r3^2/r2 + r3*sqrt(r2^2 + r3^2)/r2, (r2^2 + 2*r2*r3 + r2*sqrt(r2^2 + r3^2) + r3^2 + r3*sqrt(r2^2 + r3^2))/r3)
   @printf("甲円，乙円の直径が %g, %g のとき，大円の直径は %g である。\n", 2r2, 2r3, 2r1)
   @printf("r2 = %g;  r3 = %g;  r1 = %g;  短弦 = %g;  長弦 = %g;  鈎 = %g;  股 = %g\n", r2, r3, r1, 短弦, 長弦, 鈎, 股)
   plot([0, 股, 0, 0], [0, 0, 鈎, 0], color=:blue, lw=0.5)
   plot!([0, 2r1, 2r1, 0, 0], [0, 0, 2r1, 2r1, 0], color=:magenta, lw=0.5)
   circle(r1, r1, r1, :green)
   circle(2r1 + r2, r2, r2, :orange)
   circle(r3, 2r1 + r3, r3, :purple)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(股, 0, " 股", :blue, :left, :bottom, delta=delta)
       point(0, 鈎, " 鈎", :blue, :left, :bottom, delta=delta)
       point(r1, r1, "大円:r1,(r1,r1)", :green, :center, :bottom, delta=delta)
       point(2r1 + r2, r2, "甲円:r2\n(2r1+r2,r2)", :orange, :center, :bottom, delta=delta)
       point(r3, 2r1 + r3, "乙円:r3\n(r3,2r1+r3)", :purple, :center, :bottom, delta=delta)
   end
end;