算額（その520）

算額（その520）

岩手県一関市 観福寺 明治34年(1901)
一関市博物館>>和算に挑戦>>平成21年度出題問題&解答例>>平成21年度出題問題(2)[中級問題]
https://www.city.ichinoseki.iwate.jp/museum/wasan/h21/normal.html

大きさの同じ球を下段に7個，中段に3個，上段に1個，互いに接するように積み上げる。球の直径が 1 のとき，盤上から一番上の球の天辺までの高さを求めよ。

球の半径を r とする。最上段の 4 個の球の中心を結んでできる正四面体を考える。

x^2 + y^2 + z^2 = BA^2, y = r, x = y/√3, BA = 2r である。正四面体の高さは sqrt(x^2 + y^2 + z^2) - 2r を z について解けば求まる。
z = r*2√6/3 である。
下段の3個の球の中心を通る水平面と上の球の中心を通る水平面の距離は z である。
設問ではこの3個の球のそれぞれが上段になりその下にある3個が構成する同様の構造体がある。最下段の 7 個の球の中心とその上の3個の球の中心を通る2つお水平面の距離も z である。
最下段の中心を通る水平面と原点の距離は r，最上段の球の中心と天辺との距離も r である。
したがって，原点と最上段の球の天辺との距離は r + z + z + r = 2r(1 + 2√6/3)。
r = 1/2 のとき，1 + 2√6/3 = 2.6329931618554516 である。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms r::positive, x, y, z
y = r
x = y/sqrt(Sym(3))
eq = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) - 2r
z = solve(eq, z)[2] |> simplify
z |> println

   2*sqrt(6)*r/3

2r + 2z |> simplify |> println

   2*r*(3 + 2*sqrt(6))/3

(2z + 2r)(r => 1//2) |> println

   1 + 2*sqrt(6)/3

1 + 2*sqrt(6)/3

   2.6329931618554516