「青チャート式数学II」基本例題141
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極座標系でのグラフで悩んでいるようであるが，直交座標系で考えるべきである。（その後解決したようである）
https://existence-scholar.com/modules/d3diary/index.php?page=detail&bid=2440&req_uid=1
問題
0 ≦ θ < 2π で 4*sin(θ)^2 - 4*cos(θ) + 1 の最大値と最小値を求める。
using SymPy, Plots
@syms x, θ, f, g, h, t # 0 ≦ θ < 2π であるが，ここでは制約をつけないでおく
(x, θ, f, g, h, t)
1. 素直に原式を微分する
f = 4sin(θ)^2 - 4cos(θ) + 1;
plot(f, projection = :polar, label = "") # 極座標プロット
title!("極座標系でのグラフ", fontfamily="IPAMincho")
g = diff(f); # f の 導関数
plot(f, xlims = (0, 2pi), label = "f") # 関数
plot!(g, xlims = (0, 2pi), label = "f'") # 導関数
title!("直交座標系でのグラフ", fontfamily="IPAMincho")
hline!([0], label="")
solve(g) |> println # 導関数 = 0 を解く
Sym[0, -2*pi/3, 2*pi/3]
0 ≦ θ < 2π なので，-2π/3 は 2π - 2π/3 = 4π/3 である。
g(0), f(0) # θ = 0 で最小値 -3
(0, -3)
g(2pi/3), f(2pi/3) # θ = 2π/3 で最大値 6
(1.33226762955019e-15, 6.00000000000000)
g(4pi/3), f(4pi/3) # θ = 4π/3 で最大値 6
(3.10862446895044e-15, 6.00000000000000)
g(pi) = 0 であるが，これは極値である。
g(pi), f(pi) # θ = π で極値 5
(0, 5)
2. 置換による解
h = f(sin(θ)^2 => 1 - cos(θ)^2) # もとの式を cos(θ) だけを含む式にする
println(h)
-4*cos(θ)^2 - 4*cos(θ) + 5
i = h(cos(θ) => t) # 更に t = cos(θ) とする
println(i)
-4*t^2 - 4*t + 5
plot(i, xlims=(-1, 1), label="-4t^2 - 4t + 5")
plot!(diff(i))
hline!([0])
solve(diff(i)) |> println # 導関数が 0 になる t を求める
Sym[-1/2]
ans1 = solve(cos(θ) + 1//2) # 最大値は t = cos(θ) = -1/2 のとき
println(ans1)
Sym[2*pi/3, 4*pi/3]
ans2 = solve(cos(θ) - 1) # 最大値は t = cos(θ) = -1/2 のとき
println(ans2)
Sym[0, 2*pi]
ans1[1], ans1[2], ans2[1]
(2*pi/3, 4*pi/3, 0)
f(ans1[1]), f(ans1[2]), f(ans2[1])
(6, 6, -3)
