126. Z^2*sinZ+0.46：Q=1(log|X|log|Y|) の拡大画像の自己相似性

下図の画像の作成条件は、以下のとおり。

1. 複素関数：Z^2*sinZ+0.46。
2. N-loop脱出条件：Q=1/(log|X|log|Y|),(|Q|＞10 or |Q|＜0.1)
3. pset条件：|X|＜10 or |Y|＜10
4. 色設定：N-loop貫通時はC=15。N-loop脱出時は其の時のNをNoとすると C=No mod 16,C=7→8
5. Nmax=50



上の画像の中を下図に示した 4 箇所(1～4)を拡大する。






以下の画像は、上の 4 箇所の拡大画像である。これらの画像には奇妙な「腕」のような形をした図形が、ら腺階段状に１点へと収束しています。その様子は互いに相似な形をしている。









上図の 3 の画像の中の一部を更に拡大してみる。下図は、その拡大部分(1～3)を示す。





下図は上図の 3 箇所の拡大画像である。これらの画像には、上図と相似な図形であることが分かる。
つまり、Z^2*sinZ+0.46画像は自己相似(フラクタル)な画像となっています。
このブログの画像で常に現れる画像構造になっている。画像作成のプログラムが自己回帰になっているのですから、それが画像では自己相似(フラクタル)な構造として反映されているのである。

124 sinZcosZ+C：Q=1(log|X|log|Y|) 画像の変容

今回の画像の作成条件は、以下のとおり。

1. 複素関数：(sinZ)*(cosZ)+C。C は実定数で、その値は下の各画像に書いてある。
2. N-loop脱出条件：Q=1/(log|X|log|Y|),(|Q|＞10 or |Q|＜0.1)
3. pset条件：|X|＜10 or |Y|＜10
4. 色設定：N-loop貫通時はC=15。N-loop脱出時は其の時のNをNoとすると C=No mod 16,C=7→8
5. Nmax=50

下図は実定数を変化させた場合の画像の変化を示す。一画像で、6個の C を変化させている。
この場合のN-loop入力範囲は、0＜Xi＜π, |Yi|＜0.56π。





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下図はC=0.01 と C=0.1 の場合の画像。この場合のN-loop入力範囲は、0＜Xi＜π, |Yi|＜0.38π。

110 (cosZ)*(sinhZ)+1 画像の自己相似性

今回の画像の作成条件は、以下のとおり。

1. 複素関数：(cosZ)*(sinhZ)+1 。
2. N-loop脱出条件：X^2+Y^2＞100
3. pset条件：|X|＜10 or |Y|＜10
4. N-loop入力範囲：|Xi|＜Lπ, |Yi|＜L*0.75π

下図は、(sinZ)*(sinhZ)+1 画像を順次、拡大していった画像ある。
即ち、上記4項のN-loop入力範囲を、L=2,1 にした画像ある。





次に、L=2 の場合(即ち、|Xi|＜3π,|Yi|＜1.35πの画像の中の部分を下図のように、
4 箇所を選び、それらを拡大する。それらの拡大部分を、それぞれ子1～子4 と名づける。
これらの画像は、少し歪んだ自己相似(フラクタル)な画像となっている。



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087 sinZ*sinhZ+1 画像の自己相似性

今回の画像の作成条件は、以下のとおり。
1. 複素関数：(sinZ)*(sinhZ)+1 。
2. N-loop脱出条件：X^2+Y^2＞100
3. pset条件：もし、(|X|＜10 or |Y|＜10) ならば　pset する。
4. N-loop入力範囲：|Xi|＜Lπ, |Yi|＜L*0.75π

下図は、(sinZ)*(sinhZ)+1 画像を順次、拡大していった画像である。
即ち、上記4項のN-loop入力範囲を、L=3 ,2,1 にした画像である。







次に、L=3 の場合(即ち、|Xi|＜3π,|Yi|＜1.35πの画像の中の部分を下図のように、5 箇所を選び、それらを拡大します。それらの拡大部分を、それぞれ、子1～子5 と名づける。



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子2～子5 画像では、自己相似(フラクタル)な画像が存在しているが、子1 にはない。。

086 (Z^n)*sinZ +C 画像(n+1分割画像について)

今回の画像作成条件の複素関数は、(Z^n)*sinZ+C (C：実数)である。
ここで、n=2,3,4 の場合の画像を求める。

画像作成の他の条件は以下のとおり。
・N-loop脱出条件:X^2+Y^2＞100
・pset条件:(|X|＜10 or |Y|＜10
・N-loop入力範囲:|Xi|＜0.5π,|Yi|＜0.34π

以下の画像で気づくことは、画像が、(n+1)個の、ほぼ同一な画像で構成されていることだ。
なぜ、そうなるのか？ それについての検討は、この記事の脚注で示す。







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脚注：『(Z^n)*sinZ+C (C：実数) 画像は、N-loop入力範囲(|Xi|,|Yi|)が小さい領域では、同一な、(n+1)個の画像から構成される』ことの概略証明。

まず、上記条件下では、sinZ→Z となることを示す。
ガウス座標上の点Zを、Z=X+iY とする。ここで、X,Y は実数とする。

sinZ=coshY*sinX+i(sinhY*cosX) ・・・・・(1)

ここで、X, Y を充分小さいとすれば、

sinX=X-(X^3/3!)+(X^5/5!)-・・・・・→X
cosX=1-(X^2/2!)+(X^4/4!)-・・・・・→1
e^Y=1+Y+(Y^2/2!)+・・・・・→1+Y
e^(-Y)=1-Y+(((-Y)^2)/2!)+・・・→1-Y

従って、
coshY=((e^Y+e^(-Y))/2 →1
sinhY=((e^Y-e^(-Y))/2 →Y

従って、(1)より
sinZ→1*X+i(Y*1)=X+iY=Z
となる。

従って、 N-loop入力範囲(|Xi|,|Yi|)が小さい領域では、
(Z^n)*sinZ→(Z^n)*n=Z^(n+1)
となる。

従って、以前、証明したことにより、『(Z^n)*sinZ+C (C：実数) 画像は、
N-loop入力範囲(|Xi|,|Yi|)が小さい領域では、同一な、(n+1)個の画像から構成される』ことになる。 (記事011を参照)
　

085 Z^2*sinZ +0.5 画像(その2、自己相似性)

今回の画像は、前回記事084の画像のなかのニ番目画像( 即ち、Z^2*sinZ+0.5, |Xi|＜2πの画像であり、これを親画像と名づける )の中の3箇所を拡大表示する。
これらの画像を、それぞれ、子1、子2、子3 と名づける。

それらの子画像は、親画像と自己相似(フラクタル)な画像になっている。









次に、子1画像の中の3箇所を拡大する。それらの画像を、それぞれ、孫1、孫2、孫3 と名づける。それらの孫画像は、親及び子1画像と自己相似(フラクタル)な画像になっている。







このような画像の自己相似性(フラクタル性)は、このブログの画像で何度も出てきた。
その性質の要因は、画像作成プログラムのN-loopの存在にある。

N-loop、即ち、自己回帰のloopが、この自己相似(フラクタル)な画像を作っている。
自己回帰が永遠に続くならば、この自己相似な画像も永遠に続く。

つまり、親→子→孫→ひ孫→・・・・・。

084 Z^2*sinZ+0.5画像(その1)

画像作成条件は以下のとおり。
・複素関数:Z^2*sinZ+0.5
・N-loop脱出条件:X^2+Y^2＞100
・pset条件: |X|＜10 or |Y|＜10
・N-loop入力範囲：|Xi|＜Lπ, |Yi|＜Lπ
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下図は、Z^2*sinZ +0.5 画像を順次、拡大していった画像である。
即ち上記4項のN-loop入力範囲を、L=4 ,3 ,2,1,0.5 にした画像である。