PCが描く奇妙な画像集(数学的万華鏡と生物形態等の世界)

・インタープリタBASICによるフラクタルとカオスの奇妙な画集。

524 Z^Z+tanZ+0.3画像の No についての考察(その2)

2014-08-22 08:09:39 | ジュリィア集合の変形:f(Z)+g(Z)+C
前記事523において、Noが不規則に変化する部分は Z^Z+tanZ+0.3画像の中の 1-2部分である。




上図の1-2部分の拡大図が下図である。



この1-2画像の横軸の中央から縦軸を切った線での No を調べてみたグラフが下図である。



上図を見ると一見して No に規則性があるとは思えない。
厳密には此のグラフをフーリエ変換して調べれば、このグラフを特徴づけている周波数が分かるだろう。しかし私はフーリエ変換の方法を忘れてしまったし、現在そこまで挑戦する気力は残念ながらない。

ただ、No には歴然とした規則性はないと分かっただけで満足しよう。

***
この 1-2画像を見て分かるのは中央線を堺に左右対称であることである。
そして此の図から或る連想を生じさせることである。
私は『何か生物のミイラの顔』を連想した。また人によっては『耳の広がったネズミの顔』を連想するかも知れない。この画像の横軸の下側の左右に『目』のようなモノが在るからである。

こういう連想を生じさせる背景には、画像全体における No の何らかの規則性が存在している故かも知れない。もし其のような規則性が存在したとしても其れを定量的に示すには大変困難だろう。此の画像は、三角形とか円とかの単純な形の単純な構成の画像構造ではないからである。

しかし、このブログの絵作りの目的は其のような数学的分析ではなく、
画像として面白いか否かにあって、此の1-2画像は私には確かに面白いのである。

523 Z^Z+tanZ+0.3画像の No についての考察(その1)

2014-08-22 07:55:42 | ジュリィア集合の変形:f(Z)+g(Z)+C
下図がZ^Z+tanZ+0.3画像である。(前記事:m331の最初の画像と同じ)



この画像の作成条件は以下のものであった。

1.複素関数:Z^Z+tanZ+0.3 
2.入力範囲:横軸は -1.3π~+1.3π 縦軸は -π~+π
3.N-loop脱出条件:(X^2+Y^2)>100 ならば脱出する。Nmax=500
4.N-loop脱出後のpset条件:(|X|<100 or |Y|<100) ならばpsetする。
N-loop脱出ときのN値をNoとすると、psetの色:CはC=No mod 16 とする。
但し、C=7ならばC=8とする。
5.N-loop貫通時は、C=15とする。

上の3項において、N-loop脱出時のNoはcolor code Cと C=No mod 16 の関係があるから、No=C+16n (nは0を含む整数)となっている。

従って、画像の色を分析すれば、画像での No の構造が分かる。

Z^Z+tanZ+0.3画像を見ると、画像の四方の隅より画像の中央へ向かってNoが規則的に増加していることが色より分かる。

(注1) Z^Z+tanZ+0.3画像において白の部分は画像作成条件での4項を満足しない場合である。即ち、(|X|<100 or |Y|<100)にならない場合である。

***

Z^Z+tanZ+0.3画像は横軸は640ドット、縦軸は480ドットである。

この画像の横軸の中央から縦軸を切った線での No を調べてみる。画像から分かるように其の線の上下から中央へ向かって No は 1 ステップずつ増加している。但し、上記の注1による白部分は無視する。

下図は中央線での No を変化を示すグラフである。



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Z^Z+tanZ+0.3画像は規則的な No の部分と、煩雑に変化する No の部分 (画像中央部に在る茶色っぽい部分) から構成されているのが定量的に分かる。

興味深いのは『煩雑に変化する No の部分』で、この部分は全く不規則なのだろうか? 何か特徴があるのだろうか?

以前、記事514,515で、『Z^Z+sinZ+0.3画像の秩序性』について調べた。その結論は『無秩序性は存在しない』とした。この場合の検討は二次元画像としての検討であった。恐らく此の Z^Z+tanZ+0.3画像も同様な検討をすれば『無秩序性は存在しない』との結論になるだろう。

しかし今回の検討は一次元としての検討、即ち、画像の縦軸のみ(あるいは横軸のみ)のNoの変化を問題にしているから問題の切り口が異なっている。

二次元画像として或る種の規則性があっても、一次元変数を分析してみると不規則性が存在することは既に見てきた。

今回の画像:Z^Z+tanZ+0.3画像は既に検討したZ^3+0.5画像に比較して、画像自体が美しくない。Z^3+0.5画像に比べ画像として調和がない。

このことは、Z^Z+tanZ+0.3画像の『Noの不規則な部分』は真に不規則であることを予想させる。
このことは『感じ』だけであって定量的でない。

Z^Z+tanZ+0.3画像の『Noの不規則な部分』か゜真に不規則である(として)、其のことが定量的に示せるだろうか?


522 Z^Z+tanZ+0.3画像と其の部分の画像

2014-08-22 07:47:58 | ジュリィア集合の変形:f(Z)+g(Z)+C
画像の作成条件は以下のとおり。

1.複素関数:Z^Z+tanZ+0.3 
2.元図のN-loop入力範囲:横軸は -1.3π~+1.3π 縦軸は -π~+π
3.N-loop脱出条件:(X^2+Y^2)>100 ならば脱出する。Nmax=500
4.N-loop脱出後のpset条件:(|X|<100 or |Y|<100) ならばpsetする。
N-loop脱出ときのN値をNoとすると、psetの色:CはC=No mod 16 とする。
但し、C=7ならばC=8とする。
5.N-loop貫通時は、C=15とする。






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521 Z^Z+f(Z)+μ画像例(デカルト座標表示)

2014-08-22 07:39:00 | ジュリィア集合の変形:f(Z)+g(Z)+C
f(Z)が、sinhZ, sinhZ-Z^3, sinhZ+Z^3, cosZ, tanZ, cos(sinZ), e^(z^3) の場合、実定数:μを変化した場合の画像を示す。

画像の作成条件は以下のとおり。

1.複素関数:Z^Z+f(Z)+μ :f(Z),μは各画像に書いてある。
2.画像表示範囲(N-loop入力範囲):各図に書いてある。
3.N-loop脱出条件:(X^2+Y^2)>100 ならば脱出する。Nmax=500
4.N-loop脱出後のpset条件:(|X|<100 or |Y|<100) ならばpsetする。
N-loop脱出ときのN値をNoとすると、psetの色:CはC=No mod 16 とする。
但し、C=7ならばC=8とする。
5.N-loop貫通時は、C=15とする。

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520 記事519の 1-7 画像の中の部分の拡大画像

2014-08-22 07:19:13 | ジュリィア集合の変形:f(Z)+g(Z)+C
記事519の 1-7 画像の中の7箇所の部分を拡大する。

画像の作成条件は以下のとおり。

1.複素関数:Z^Z+sinsinZ+0.5 
2.元図のN-loop入力範囲:横軸は -2.7π~+2.7π 縦軸は -2π~+2π
3.N-loop脱出条件:(X^2+Y^2)>100 ならば脱出する。Nmax=50
4.N-loop脱出後のpset条件:(|X|<100 or |Y|<100) ならばpsetする。
N-loop脱出ときのN値をNoとすると、psetの色:CはC=No mod 16 とする。
但し、C=7ならばC=8とする。
5.N-loop貫通時は、C=15とする。
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上図の 7 箇所の部分を拡大する。




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519 Z^Z+sin(sinZ)+0.5画像と其の部分の画像

2014-08-22 07:09:35 | ジュリィア集合の変形:f(Z)+g(Z)+C
画像の作成条件は以下のとおり。

1.複素関数:Z^Z+sinsinZ+0.5 
2.元図のN-loop入力範囲:横軸は -2.7π~+2.7π 縦軸は -2π~+2π
3.N-loop脱出条件:(X^2+Y^2)>100 ならば脱出する。Nmax=50
4.N-loop脱出後のpset条件:(|X|<100 or |Y|<100) ならばpsetする。
N-loop脱出ときのN値をNoとすると、psetの色:CはC=No mod 16 とする。
但し、C=7ならばC=8とする。
5.N-loop貫通時は、C=15とする。

此の Z^Z+sinsinZ+0.5 画像自身、相似図形が随所に存在している画像であることが分かる。



次に上図の 8 箇所の部分を拡大する。画像が自己相似(フラクタル)になっていることが分かる。




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518 Z^Z+sin(sinZ)+1画像と其の部分の画像

2014-08-22 06:56:36 | ジュリィア集合の変形:f(Z)+g(Z)+C
Z^Z+sinsinZ+μ,μ=0.1, 0.3, 0.5, 0.75, 1, 2
の連続画像を示す。画像の上段の左よりμ=0.1, 0.3, 0.5
下段の左よりμ=0.75, 1, 2 である
画像の作成条件は以下のとおり。

1.複素関数:Z^Z+sinsinZ 
2.元図のN-loop入力範囲:横軸は -1.5π~+2.7π 縦軸は -1.7π~+1.1π
3.N-loop脱出条件:(X^2+Y^2)>>100 ならば脱出する。Nmax=50
4.N-loop脱出後のpset条件:(|X|<100 or |Y|<100) ならばpsetする。
N-loop脱出ときのN値をNoとすると、psetの色:CはC=No mod 16 とする。
但し、C=7ならばC=8とする。
5.N-loop貫通時は、C=15とする。



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次に、Z^Z+sinsinZ+1画像を示す。
画像の作成条件は以下のとおり。

1.複素関数:Z^Z+e^sinZ+0.1 
2.元図のN-loop入力範囲:横軸は -2.7π~+2.7π 縦軸は -2π~+2π
3.N-loop脱出条件:(X^2+Y^2)>100 ならば脱出する。Nmax=50
4.N-loop脱出後のpset条件:(|X|

次に上図の 6 箇所の部分を拡大する。
画像が自己相似(フラクタル)になっていることが分かる。




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517 Z^Z+e^sinZ +0.1画像と其の部分の画像

2014-08-22 06:42:30 | ジュリィア集合の変形:f(Z)+g(Z)+C
画像の作成条件は以下のとおり。

1.複素関数:Z^Z+e^sinZ+0.1 
2.元図のN-loop入力範囲:横軸は -2.7π~+2.7π 縦軸は -2π~+2π
3.N-loop脱出条件:(X^2+Y^2)>100 ならば脱出する。Nmax=50
4.N-loop脱出後のpset条件:(|X|<100 or |Y|<100) ならばpsetする。
N-loop脱出ときのN値をNoとすると、psetの色:CはC=No mod 16 とする。
但し、C=7ならばC=8とする。
5.N-loop貫通時は、C=15とする。


Z^Z+e^sinZ+0.1 画像の部分の拡大画像は元の画像と微妙に変化した自己相似画像となっていて愉快である。さながら音楽の変奏曲のようである。






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515 Z^Z+sinZ+0.3 画像に無秩序部分があるか?(その2)

2014-08-21 08:58:26 | ジュリィア集合の変形:f(Z)+g(Z)+C
前記事において、Z^Z+sinZ+0.3 画像の中の部分である 1-4 画像を拡大し「秩序部分」と「無秩序に見える」境界部分を幾つか選び其れを拡大して、その境界部分がどのような構造になっているのか調べてみた。そして以下のことを確認した。

1.少なくとも画像の一部・・・・其れは明確に縞模様の秩序部分が在る部分に挟まれた部分・・・・では縞模様の秩序性が存在する。
2.拡大画像の随所に自己相似な画像が存在する。

今回は此の事を更に確認するために 1-4画像 の中の部分の 1-4-1画像の中の幾つかの部分を更に拡大して調べる。この時点での画像の拡大率は元のZ^Z+sinZ+0.3画像の6500倍~4000倍になる。拡大率は下の各図に書いてある。

以下にそれらの画像を示す。

其の結果を先に述べると、要するに上記の 1,2事項の再確認となった。
ということは、結局、此のZ^Z+sinZ+0.3画像は、1,2事項が永遠に続いていることを意味している
と思われる。

つまり論理が飛躍するかも知れないが、『Z^Z+sinZ+0.3画像には無秩序部分は存在しない』と予想できそうだ。此の画像をどんなに拡大しても其処には一見無秩序に見える部分が存在するが、しかし其処は縞模様の秩序が在るのだ、ということ。実に面白い結果だと私は思う。

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(下図の1-4-1部分については前記事参照)






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514 Z^Z+sinZ+0.3 画像に無秩序部分があるか?

2014-08-21 08:29:55 | ジュリィア集合の変形:f(Z)+g(Z)+C
前の画像で、Z^Z+sinZ+0.3 画像は、Noが偶数・奇数を正確に繰り返す「秩序部分」とNoがランダムに混濁した「無秩序に見える部分」から構成されていることを示した。しかし、無秩序に見える部分は本当に無秩序なのか?

こういう疑問のもとに、 Z^Z+sinZ+0.3 画像の中の部分である 1-4 画像(095図)を、さらに拡大し、「秩序部分」と「無秩序に見える」境界部分を幾つか選び其れを拡大して、その境界部分がどのような構造になっているのか調べてみる。

下図で分かることは以下のとおり。

1.少なくとも画像の一部・・・・其れは明確に縞模様の秩序部分が在る部分に挟まれた部分・・・・では縞模様の秩序性が存在する。
2.拡大画像の随所に自己相似な画像が存在する。

恐らく、 Z^Z+sinZ+0.3 画像を、どんなに拡大しても下図のような画像になるだろう。つまり『「秩序部分」とNoがランダムに混濁した「無秩序に見える部分」』は画像の拡大率に依存せず存在しているだろう、ということである。

従って、下図の解析だけで、 Z^Z+sinZ+0.3 画像構造が分かるはずである。

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513 Z^Z+sinZ+0.3 画像の構造の明瞭化

2014-08-21 08:11:30 | ジュリィア集合の変形:f(Z)+g(Z)+C
記事511で詳しく解説したように、NoをN-loopを脱出した時のN値とした場合、
Noが偶数ならば赤、奇数ならば黒とすると画像の構造が明瞭になる。

そこで前記事のZ^Z+sinZ+0.3画像を、『Noが偶数ならば赤、奇数ならば黒』と単純化してみる。

下図から分かるように画像は、Noが偶数・奇数を正確に繰り返す「秩序部分」とNoがランダムに混濁した「無秩序部分」から構成されていることが分かる。
しかし、無秩序部分は本当に無秩序なのか?

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上図の「秩序部分」と「無秩序部分」との境界部分は、どのような画像構造となっている
のだろうか? 無秩序部分は本当に無秩序なのか?






512 Z^Z+sinZ+0.3画像と其の中の部分の拡大画像

2014-08-21 07:56:56 | ジュリィア集合の変形:f(Z)+g(Z)+C
Z^Z+sinZ+0.3画像と其の中の7箇所の部分を拡大する。

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画像作成条件は以下のとおり。

1.複素関数:Z^Z+sinZ+0.2 
2.元図のN-loop入力範囲:横軸は -1.4π~+π 縦軸は -0.9~+0.9
3.N-loop脱出条件:(X^2+Y^2)>100 ならば脱出する。Nmax=500
4.N-loop脱出後のpset条件:(|X|<100 or |Y|<100) ならばpsetする。
N-loop脱出ときのN値をNoとすると、psetの色:CはC=No mod 16 とする。
但し、C=7ならばC=8とする。
5.N-loop貫通時は、C=15とする。
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501 放散虫:Z^2+sinZ+0.5 の仲間とフラクタル性

2014-08-20 07:45:48 | ジュリィア集合の変形:f(Z)+g(Z)+C
複素関数:Z^2+f(Z)+0.5 において、f(Z)がsinに関連する関数について調べてみる。
即ち、f(Z)=sinZ, sinhZ, e^sinZ, sin(sinZ) の画像を作る。

これらの関数は、sinZ と数学的に関連があるというより、sin が当該関数に含まれているという理由だけで選んだ。しかし、画像を見てみると其の画像構成は或る類似性があり面白い。

この画像の作成条件は以下のとおり。

1.複素関数:Z^2+f(Z)+0.5 ,f(Z)=sinZ, sinhZ, e^sinZ, sin(sinZ)
2.N-loop入力範囲:Xs=-4.5,Xe=3,Ys=-2.8,Ye=2.8
3.N-loop脱出条件:X^2+Y^2>100 ならば脱出する。Nmax=50 or 100
4.N-loop脱出後のpset条件:(|X|<10 or |Y|<10) ならばpsetする。
N-loop脱出ときのN値をNoとすると、psetの色:CはC=No mod 16 とする。
但し、C=7ならばC=8とする。
5.N-loop貫通時は、C=15とする。

以下に、Z^2+f(Z)+0.5 ,f(Z)=sinZ, sinhZ, e^sinZ, sin(sinZ) の画像を順に示す。各画像の中の部分も拡大してみる。

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・Z^2+sinZ+0.5 画像








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・Z^2+sinhZ+0.5 画像







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・Z^2+e^sinZ+0.5 画像











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・Z^2+sin(sinZ)+0.5 画像











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以上の画像より部分の画像が元の画像の相似となっているフラクタル性があることが分かる。こんなところにも、という意外な箇所にも自己相似の画像が存在し驚く。そもそも此れらの画像作成プログラムは「自己回帰、即ちN-loop」が本質だから、そのようなフラクタル性は当然であるとも言える。しかし、そうであるにせよ、この自己回帰性のもつ創造性、豊潤性さには目を見張るものがある。


499 Z^s+e^sinZ+μ画像の s による変容画像

2014-08-20 06:53:55 | ジュリィア集合の変形:f(Z)+g(Z)+C
今回の画像は複素関数が、Z^s+e^sinZ+0.5 のとき、s を 2,3,4,5,6,7 にしたときの画像の変容を調べる。

この画像の作成条件は以下のとおり。
1.複素関数:Z^e^sinZ+μ,s=2, 3,4,5,6,7:μ=0.5 or 1
2.N-loop脱出条件:X^2+Y^2>100 ならば脱出する。Nmax=50
3.N-loop脱出後のpset条件:(|X|<10 or |Y|<10) ならばpsetする。
N-loop脱出ときのN値をNoとすると、psetの色:CはC=No mod 16 とする。
但し、C=7ならばC=8とする。
4.N-loop貫通時は、C=15とする。





下図は上図の、s=2 の場合の画像。



498 Z^s+sin(sinZ)+0.5画像の s による変容画像

2014-08-20 06:48:41 | ジュリィア集合の変形:f(Z)+g(Z)+C
今回の画像は複素関数が、Z^s+sin(sinZ)+0.5 のとき、s を 2,3,4,5,6,7 にしたときの画像の変容を調べる。

この画像の作成条件は以下のとおり。
1.複素関数:Z^s+sin(sinZ)+0.5,s=2, 3,4,5,6,7
2.N-loop脱出条件:X^2+Y^2>100 ならば脱出する。Nmax=50
3.N-loop脱出後のpset条件:(|X|<10 or |Y|<10) ならばpsetする。
N-loop脱出ときのN値をNoとすると、psetの色:CはC=No mod 16 とする。
但し、C=7ならばC=8とする。
4.N-loop貫通時は、C=15とする。

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上図を離れて見ると・・・ 




以下の画像は、s=2 及び s=3 の場合の拡大図である。