2012年東北大入試理系数学第2問その1

どもども。


今回は今年の東北大入試理系数学の第2問をやります～

問題はこちら


1次変換に関する問題です～
解答の方針がいろいろ考えられるタイプの問題ですが，
ある直線に関して点を対称移動させてその座標を求める，という計算は
恐らく受験までに何度も何度もやらされたことでしょうから
自分に合った方法を既に確立していることでしょう
今回は対称点をいろんな方法で求めてみたいと思いますですよ～

(1)はどのようなやり方でやっても労力はそんなに変わりませんが，
(3)は結構変わってくると思います
行列Bが回転を表す行列だと気付いて利用するかしないかが分かれ目でしょう


まずは(1)です


直線ｙ＝ｘに関して反転させるのがｆ，直線ｙ＝ｍｘに関して反転させるのがｇです。
P(X,Y)をｇによって写した点がP’(s，t)であるとしましょう。
色んな解法パターンを示しますが，いちいち断らないかもしれません。

考え方1
一番基本的な解法からやってみましょ～
・線分PP´の中点が直線ｙ＝ｍｘ上にあること
・直線PP´と直線ｙ＝ｍｘが直交すること
の2点に基づいてs，tに関する連立方程式を立てて解きます






考え方２
ベクトルを使ってみます～
コレ，個人的によく使うやり方です～
ベクトルPP´のことは(→PP´)みたいに書くことにしますね
(→PP´)は直線ｙ＝ｍｘの方向ベクトル(1，m)に垂直なベクトルなので
(→ｄ)＝(-m,1)の定数倍になっています。PP´の中点をMとして，
(→PM)＝ｋ(→ｄ)とおきます。このｋさえ求めれば(→OP´)＝(→OP)＋２ｋ(→ｄ)です





考え方３
もういっちょベクトルでいってみましょ
互いに垂直な1次独立なベクトル(→a)=(1,m)と(→b)=(-m,1)を使って
(→OP)と(→OP´)を表します。そのときの係数を求めましょう





考え方４
直線PP´は点Pを通る傾き(-1/m)の直線です。これとｙ＝ｍｘの交点Mの座標を
求めてそれが線分PP´の中点であることからP´の座標を求めます





考え方５
2点P，P´が与えられたとき，線分PP´の垂直二等分線の方程式を求めることが出来ますが
今回これがｙ＝ｍｘと一致するので，それを使って立式します





考え方６
線分PP´の中点をM，∠POM=∠P´OM=θとおくと，点P´は点Pを原点を中心として
角度２θまたは－２θの回転移動を施したものになっています
２θになるか－２θになるかはPの位置，ｍの正負によって変わってくるので場合分けが必要になってきます。
ただし向き付きの角を考えると，常に２θとおくことも出来そうです
また，θを鋭角のほうに取るか鈍角のほうに取るかによってもcosθ，sinθの符号が変わってきます。
ここでは鋭角のほうを取ってみます。




めんどくさいので最後は割愛してしまいましたが
なるべくならこういうめんどくさい解法は取らないほうがよさげです



考え方７
回転といえば複素数
そんなわけで複素数計算を使ってみましょう～



あとは上の解法みたいに２倍角のcosとsinを求めて代入すればOKです。
向き付きの角を考えてるし，鋭角鈍角の区別もいらないので場合分けなく出来てます





そんなこんなで幾つかの解法方針を挙げましたが，他にもまだまだ色々あるかと思われます
相似を使ってみるとか三平方の定理を使ってみるとか。
またいくつかの解法パターンの合体版みたいのも考えられるでしょうね


続いては(２)です
といっても（２）は一瞬で終わるサービス問題です～

ｇとｆの合成を表す行列Bを求めよっていう問題です
ｆは直線ｙ＝ｘに関する対称移動をする変換ですから
（１）で求めたｙ＝ｍｘに関する対称移動で特にｍ＝１としたものです。
だからｆに対応する行列Cはすぐ求まります
ｇとｆの合成は行列の積ACを計算すればよかです～



なお，ｆは（X,Y）を（Y,X）に写す変換だから～っていう観点からもCを求められます



あとは(１)と同様に多彩な方法でCを求めることが出来ます～
特に４５°の角を活かして求めることも出来そうですね


さて，答えのBの形をよくみると～～。
コレ，回転行列になってます
m=tan(θ/2)とおくと，cosθ＝(1-m^2)/(1+m^2)，sinθ＝2m/(1+m^2)
と書けるので，置換積分するときなど，よくこの変数変換を用いますが，
おかげでこの行列Bに出てくる成分の数値にピンとくる人も多いはずです

今回は　cosφ＝2m/(1+m^2)，sinφ＝(m^2-1)/(1+m^2)　とおけば
回転角φの回転行列になってる事に気付きます

これは今回が特別なわけではなく，直線に関する対称移動を２回施すと
回転移動になるようです
（直線に関する対称移動も上の考え方6，7でみたように原点中心の回転移動を
表していましたが，その回転角は点Pの位置に依存していました。）

試しに１つの図を使ってみてみましょう。


∠POQはαには依存してないですね
これ以外の図の場合も考えてみてください

Bが回転行列だと気付けば（３）は比較的楽に解けるはず。
それはとりあえず次回やりませう～～



　　

2012年東北大入試理系数学第1問その2

どもども。

前回に続いて今年の東北大入試理系数学第1問をやっていきます

問題はこちら


前回：http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/33187e612de08726a749204fe231aac2

ｓ，ｔという2つのパラメータに依存してｘ，ｙが動くという状況でした～
(2)を今回はやりますよ～

基本的には前回と同じ手法が使える（考え方４は使えないっすね）ので，前回と同じ解法の順序でやっていってみましょう～

考え方１
(X，Y)という点が答えの領域に含まれているならば X=st+s-t+1，Y=s+t-1 を満たす
何かしらの実数s，tが存在するはずだ，それを具体的に求めてしまうことでそのようなｓ，ｔの存在性を実証しよう，
こういう発想でやってみます

ｓ，ｔについて解いてしまえばいいんですが２次方程式が出てくるので，
その解は√を含んだ式になってしまいます。
根号内が非負でありさえすれば，その解は実数になるので
判別式≧０をすればよいわけですね






考え方２
２つもあるパラメータが邪魔なので一旦１つにしてしまう方針です
ｘ=st+s-t+1……，ｙ=s+t-1……
からｓを消去すると
ｘ=(y-t+1)t+(y-t+1)-t+1……
が出てきます。tを消去すると
ｘ=s(y-s+1)+s-(y-s+1)+1……
が出てきます。

「かつ」を考える代わりに
「かつ」 を考えるのですが
ちょっと面倒そうなので，更に代わりに
「かつ 」を考えることにします

から，y＝{1/(t+1)}x-{2/(t+1)}+tが得られますが，
分母が０になるｔ＝－１の場合は別に考えなきゃいけません。
まずはｔ≠-1の場合について考えます
ｔがあれこれ動いたときに，直線ｘ＝ｘ_0上でｙがどのような範囲を動くのか考察します。



ｘ_0と２の大小によって状況が変わるようですね



ｘ_0＝２のときは，そもそもf(t)=tになってしまいます



次はｔ＝－１の場合を考えます。このときは直線ｘ＝２を表すみたいです




あとはまとめればOKですね
ただしについても触れなくてはいけません。
ｔが実数全体を動いたときにを満たす（ｘ，ｙ）の存在域は上の考察から分かりますが
その領域上の各点（X,Y）とｔに対してｓをによって定めることが出来るので
「かつ」を満たす（ｘ，ｙ）の存在域もまた上で求めた領域と一致してしまいます





ちなみに，「かつ」を考えると，
どちらも同じ領域が出てきます

ｘをｘ＝ｘ_0に固定するのではなく，ｙをｙ＝ｙ_0に固定してもOKです，
というかそっちのほうが2次関数なので簡単です
その場合の計算はほぼ次に挙げる解法と変わらなくなります～


考え方３
すべての実数を動くｓ，ｔを変数とする２変数関数ｙ(s,t)=s+t-1の値域は全実数です。
そこでＹを定数として，ｙ(s,t)＝Ｙを満たすｓ，ｔに限定してx(s,t)=st+s-t+1の値域を考える方針です

ｓ＝-t+Y+1であるので，x(-t+Y+1,t)の値域を考えればよいわけですね




考え方４
2次方程式が実数解を持つ条件の議論を利用した解法です。
まぁ，考え方1と大体同じですが～

ｓ－１とｔ＋１の和と積が与えられているとみなします



あとは図を描くだけですね

2012年東北大入試理系数学第1問その1

どもども。


今回からは今年の東北大入試理系数学の問題をやっていこうと思いますです～
と言いますのも，当方，現在宮城県在住なものでして，
そういうのもあってここらで東北大の問題でもやっつけましょう～っていう話なわけであります

そんなわけで今年の問題を見てみますと，
難易度的には並，といった感じで標準的な入試問題っぽいセットになってます。
簡単そうに見せかけといて，意外とうっかりつまずいちゃうかもしれない，
しかもそのまま動揺が止まらなくなってしまうかもしれない，
そんな予感がするのは１，５，６あたり？
落ち着いてやれば決して出来ないことはない問題ですので，頑張って泥沼に沈まないようにしたいところです。

ではでは今回は第1問です
問題はこちら


2つのパラメータs，tが動くときの(x,y)の存在領域を求める問題です～
こういうの嫌いな受験生，多いんじゃないでしょうか
考え方は幾つかあるので，その場その場で上手く使い分けられると素敵です
そんな幾つかの考え方を使って解いていってみます。

考え方１
(X，Y)という点が答えの領域に含まれているとしましょう～
ということは，何かしらのｓ，ｔ（ｓ≧０，ｔ≧０）が存在して
X＝ｓ＋ｔ＋１，Y＝ｓ－ｔ－１を満たしているわけですね。
それじゃあ，具体的にその「何かしらのｓとｔ」を求めてしまいましょうという作戦です。
実際にその「何かしらのｓとｔ」が求められたのなら，
確かにこの(X，Y)という点は答えの領域に含まれているわけだといえますね。




X＝ｓ＋ｔ＋１，Y＝ｓ－ｔ－１を満たす(ｓ，ｔ)がもしも存在するのなら
それはｓ＝(X+Y)/2，ｔ＝(X-Y-2)/2 というモノでなければならない。
そして実際にこのようなものが存在するのはX+Y≧０かつX-Y-2≧０という条件を満たしているときである
という理屈ですね～～


考え方２
ｓとｔという２つのパラメータがあるから話がややこしくなるんだ～
じゃあ～1個消しちゃえばいいじゃん～～
という発想です。
ｘ＝ｓ＋ｔ＋１……，ｙ＝ｓ－ｔ－１……
の2式を使えばｓとｔのうち片方を消去することが可能です。
例えば足せばｘ＋ｙ＝２ｓ……，引けばｘ－ｙ＝２ｔ＋２……
が得られますね。ただし，注意しなきゃいけないことがあります。
「かつ」という条件は「かつ」と同値なので，
くれぐれもだけを考えておしまいにしないようにしなきゃならんのです

さて，の考察ですが，これはｓをパラメータとした直線を表していますね。
ｓ（≧０）が動くことによって様々な直線を表します。
これらの直線の合併集合を考えることによってを満たす(x,y)の存在領域が分かります。
そこでその合併集合の中で特にｘ＝ｘ_0である部分を考えます。
つまりｘを固定する，とか，縦の切り口を考える，とか，そういう作業です
ｓがあれこれ動いたときにｙはどのような範囲を動くでしょうか。
ｘ_0ごとにそれを考えてそれを合体させれば全体の形が分かります。

一方でもまたｔをパラメータとした直線群を表しますので，こっちも同じように考察してください。
両方を同時に満たす領域が答えです





上の解答の中では「ｓ≧０，ｔ≧０よりｘ≧１なので」などと触れていますが
を考える上ではｓ≧０だけ考えれば実際は十分です（にはｔとかは無関係なので）。


考え方３
ｘ＝ｓ＋ｔ＋１をs，tに関する２変数関数だと思いましょう。
ｓ≧０，ｔ≧０のときのｘの値域はｘ≧１です
そこでX（≧１）を定数として，ｘ＝Xとなる(ｓ，ｔ)全体を考えます。
そのような(ｓ，t)たち限定で２変数関数ｙ(s,t)＝ｓ－ｔ－１の値域を求めるという発想です




考え方４
ｘ＝ｓ＋ｔ＋１，ｙ＝ｓ－ｔ－１をベクトル表記して
(ｘ，ｙ)＝ｓ(1,1)+ｔ(1,-1)+(1,-1)　と書いてみましょう
変形して，　(ｘ-1，ｙ+1)＝ｓ(1,1)+ｔ(1,-1)
この右辺は１次独立なベクトル(1,1)と(1,-1)の１次結合になってるわけですな
普段我々が使うｘｙ座標は，(ｘ，ｙ)＝ｘ(1,0)＋ｙ(0,1)と書き直すことが出来て，
(1,0)方向の成分がｘで(0,1)方向の成分がｙであるという解釈が可能でした
それと同じ考えをすればいいんですね～





長くなってきたので(２)は次回に回します～
今回と同じような手法などでやっていきます～

2012年京大入試理系数学第6問その3

どもども。

今回も前回・前々回に引き続き今年の京大入試理系数学の第6問が主題です

問題：http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/kyoto/zenki/sugaku_ri/mon6.html
前々回：http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/5db101a423ac4dfec98e19f118e41750
前回：http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/2943822d5ce9f8720cd2b44d749d8ffd

既に述べたように，この問題は連分数を題材にした確率の問題です。



登場する分数の分子が全て１であるものを正則連分数と呼びます
この連分数を[X_n；X_{n-1}，X_{n-2}，…，X_1]と書くことにしましょう。
(連分数の表記法としてよく使う方法です)
すなわちY_n＝[X_n；X_{n-1}，X_{n-2}，…，X_1]です
いまは正則連分数[A_1；A_2，A_3，…，A_n，…]としては常に，A_1が整数，A_k（k≧１）は自然数であるもののみを考えるものとします。
またn個の成分で表現できる[A_1；A_2，A_3，…，A_n]型の連分数をn階層の連分数と呼ぶことにしましょう
今回の問題ではX_1，X_2，…，X_nの数字をサイコロの出目で決めよう，という
なかなか面白いことをやっています。
その際に (√3+1)/2≦[X_n；X_{n-1}，…，X_1]≦(√3+1) となる確率p_nを
求めなさいというものでしたね～。凄まじいです
前回までは不等式評価と確率漸化式を駆使してこれを解いたので
あまり連分数の色合いはあまり感じられませんでしたので，
今回は(√3+1)と(√3+1)/2の正則連分数表示などを駆使してこの問題に挑んでみたいと思います


さてY_nは有理数ですので，Y_n＝(√3+1)/2 または (√3+1) となることは無いです。
すると，条件式： (√3+1)/2≦[X_n；X_{n-1}，…，X_1]≦(√3+1) は無理数を含まない形で書き換えられるはずです。
サイコロを振って作られる [X_n；X_{n-1}，…，X_1] は ６^n 通りしかないので，
その中にはY_nの最小値と最大値があります。それを用いることで上の条件は書き換えられるってわけです

そんなわけで，(√3+1) と (√3+1)/2 の正則連分数表示を求めるところから始めましょー

ｘ＝√3+1 を解とする有理係数2次方程式を利用する方法がこちら




出てきたｘをひたすら置き換え続けていくという単純な手法です。
これによって√3+1＝[2；1，2，1，2，1，2，1，2，1…]であることが分かりました

もう1つのやり方を紹介します。ガウス記号[ ]を使って実数をひたすら
整数部分と小数部分に分解していくやり方です



√3+1と(√3+1)/2が交互に現われるので(√3+1)/2の連分数表示の方も即座に求められてしまいます
かくて，
√3+1＝[2；1，2，1，2，1，2，1，2，1…]
(√3+1)/2＝[1；2，1，2，1，2，1，2，1，2…]
であることがわかりました

これを基にして，n階層の正則連分数 a_n，b_n を次のように定めます。



ここで，√3+1とa_nの大小関係に関して次の補題を証明します




√3+1とa_nの大小関係はnの偶奇によってころころ入れ替わるようです
同様に(√3+1)/2とb_nの大小関係にも触れておきます。




さて，n階層の正則連分数（分数の中に出てくる数字は自然数ばかりのものを考えてます）の中で
最も√3+1に近いのがa_n，(√3+1)/2に最も近いのがb_n になっています。
実数を小数で表示したとき，例えば 3.1415＜α＜3.1416 を満たすαは
α＝3.1415******…… の形で表示されますが，同じようなもので
√3+1＜α＜a_{2k} を満たすαはやはりα＝[2；1，2，1，2，1,…2，1，*，*，*，…]（2k階層までは2，1が続く）
という形で表示されます。

そんなわけで， (√3+1)/2≦[X_n；X_{n-1}，…，X_1]≦(√3+1) の書き換えが得られます



６^n 個あるY_nの組み合わせのうち，上記の条件を満たすものはいくつあるんでしょうか
実際に場合の数を計算してみます。
どんな要領か知るために，p_2とp_3なんかを求めてみましょう



各階層の分数を大きくしたり小さくしたりというのを使い分けなきゃいけないぽいです



それを踏まえてnの偶奇で状況を分けて考えてみます
更にはX_nが１か２かによっても場合分けします。



(１)～(３)までの３パターンに分類できるので，それぞれの個数を足し合わせればOKです
X_n=２の場合も同様です～



Y_n＜a_n なのでa_nは含んではいけません。注意しましょう

あとは足すだけですね



となり，前回までに求めた答えと一致しました
よく見ると１≦ℓ≦k-１みたいな条件式が途中入っていたのでｋ≧２での議論に
なってたぽいですがk=１でもこの結果は正しいですね。

お次はｎが奇数の場合です～～







こちらも結果が一致しました
すべてのｋに対して合ってます。


…というわけで，長々とした考察になりましたが無事に答えが導けました
しかしながら，そんな苦労しなくても前々回の最初にやったように，
漸化式立ててアッサリスッパリ解いちゃうことが出来ちゃうんですね～

とても面白い問題だったと思います

2012年京大入試理系数学第6問その2

どもども。

前回に引き続いて今年の京大入試理系数学第6問を取り扱っていきます
問題：http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/kyoto/zenki/sugaku_ri/mon6.html
前回：http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/5db101a423ac4dfec98e19f118e41750

これの別解と，関連する注意事項について今回は述べてみます

ではまず，前回と同様に確率q_kを定義しておきましょう～



ここで，前回の二つ目の解法を再掲してみます




これと似た解法を挙げます



(-√3+1)≦-1/Y_{k-1}≦(-√3+1)/2 と， (√3+1)/2≦Y_{k}≦(√3+1)
を辺々足すことで(-√3+3)≦X_{k}≦(√3+3)/2 というX_kの取り得る範囲を出しています。
残りの場合も同様です




先に挙げた解法と今挙げた解法の違いを考えてみます

先に挙げた方は，1/Y_{k-1}の値に応じて条件を満たせるX_kが変わってくるので，
X_k＝１のみ，X_k＝１または２，X_k＝２のみ，
のそれぞれの場合になる1/Y_{k-1}の範囲を求めてそれで場合分けした，というものです

一方後者は，p_k，q_k，r_kの定義式に出てくる不等式を参考にして
1/Y_{k-1}について，とりあえず無難な範囲で場合分けして考察してみました～というものです。
つまりこのように条件分岐させた必然性は無くて，
"根拠のある場合分け"ではなくて"期待を込めた場合分け"であるわけです。
X_kに関する不等式からX_kの候補値をあぶり出して（これが必要性），
それが実際に条件を満たすことをチェックする（これが十分性），
という作業をしていることが目に付きます。
テキトーに根拠の無い場合分けをしたのでこういった作業をしなければなりません

もし，この作業を怠ったらどうなるか，別の場合分けをした答案を考えてみます。



これは最初の場合分けと2番目の場合分けを合併しているものです。
このときは，実際は対応するX_kが，X_k＝１のみ，の場合と，X_k＝１または２，の場合が
混在しているわけですから，上の答案は常に"X_k＝１または２"としているため誤りです



こういうことが起こり得るので，要注意というわけなのです。
もし，この場合分けで考えるなら，どういう風にすればいいんでしょう。
それは，(√3-1)/2≦1/Y_{k-1}≦(√3-1) という大きな場合分けの中で
更にそれを細かく分類すればいいんです






もうひとつ，似たような答案を挙げてみます



X_kの不等式がさっきとは違っています。
これは，α≦X_k≦β と (√3-1)/2≦1/Y_{k-1}≦(√3-1) を辺々足して
出てくる不等式がp_kの定義に対応する (√3+1)/2≦Y_{k}≦(√3+1) になるように
αとβを求めた，という事にあたりますね

それで出てきたのが１≦X_k≦２である，と。
さっき出てきたのは(-√3+3)/2≦X_{k}≦(√3+3)/2 でした。
同じ不等式たちをいじいじしてたはずなのに，何で違う不等式が出てきたんでしょうねぇ

(√3+1)/2≦Y_k≦(√3+1) という条件を満たすX_kの範囲はY_{k-1}の値ごとに変わってきます。
具体的には1/Y_{k-1}＝aとおくと， (√3+1)/2－a≦X_k≦(√3+1)－a です。
これを (√3-1)/2≦1/Y_{k-1}≦(√3-1) であるようなY_{k-1}全ての分について
合併したのが(-√3+3)/2≦X_k≦(√3+3)/2 です
言い換えると，これを満たすどのX_kに対しても必ず最低1個は(√3+1)/2≦Y_k≦(√3+1) を満たすようなY_{k-1}が存在しますよ～～っていうわけです
だから，ここから出てくるX_k=1,2は，この時点では， (√3-1)/2≦1/Y_{k-1}≦(√3-1) を満たす
全てのY_{k-1}に対して (√3+1)/2≦Y_k≦(√3+1) を満たす保証はありません（だから十分性のチェックが要ります）。
とりあえず必要条件にはなるので，全てのY_{k-1}に対して (√3+1)/2≦Y_k≦(√3+1) を満たすような
X_kがあるとするならばそれはX_k=1または2以外にはあり得んというわけですな

一方で， (√3+1)/2－a≦X_k≦(√3+1)－a に関して，
(√3-1)/2≦1/Y_{k-1}≦(√3-1) であるようなY_{k-1}全ての分の
共通部分をとったものが１≦X_k≦２です。
言い換えると， (√3-1)/2≦1/Y_{k-1}≦(√3-1) を満たすどのY_{k-1}に対しても
必ず(√3+1)/2≦Y_k≦(√3+1) を満たすようなX_kの範囲が１≦X_k≦２ですよ～～っていうわけです
だから，X_k=1または2のときは， (√3-1)/2≦1/Y_{k-1}≦(√3-1) を満たす全てのY_{k-1}に対して
(√3+1)/2≦Y_k≦(√3+1) を満たすよ♪てことは分かるものの，それとは別に
一部のY_{k-1}の値に関しては(√3+1)/2≦Y_k≦(√3+1) を満たすような別のX_kが
存在する可能性が否定できません
具体例を見てみましょ



(√3-1)/2≦1/Y_{k-1}≦(√3-1) のときはX_k=2も条件を満たすのに省かれてしまっています。
このようなことが起こり得るので要注意てわけですね

よって，一見正しそうに見える以下の答案は減点対象になります。









こーいうのは，急いでると採点する側も見落としてしまいそうになっちゃうパターンですね
自分がやってる操作の必要性，十分性には常に注意を払いたいものであります



次回もまだこの問題を取り扱います～
連分数を題材にした問題なので，そういう観点に着目してこの問題を解いてみたいと思いますです